城市轨道交通列车追踪间隔与牵引能耗优化

第20卷第6期2020年12月交通运输系统工程与信息
Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology
V ol.20No.6
December 2020文章编号：1009-6744(2020)06-0170-08中图分类号：U268.6
文献标志码：A
DOI:10.16097/ki.1009-6744.2020.06.022
城市轨道交通列车追踪间隔与牵引能耗优化
高豪，郭进*，张亚东
(西南交通大学信息科学与技术学院，成都611756)
摘要：针对城市轨道交通高峰小时列车密集追踪运行的特点，将降低列车牵引能耗和提
升线路通过能力同时作为优化目标，研究列车运行操纵优化问题.给出移动闭塞条件下列车牵引能耗和最小追踪间隔的计算方式，考虑列车安全、正点运行约束，构建双目标优化模型.结合ε-约束法，提出一种基于动态规划的搜索算法求解模型.以亦庄线为优化算例，求解得到一组列车最优操纵Pareto 解，体现两优化目标之间的均衡关系：列车进站过程采用两次制动操纵策略可有效压缩最小追踪间隔，为弥补两次制动过程额外消耗的运行时间，列车需付出更多的牵引能耗提升进站以前的运行速度以满足正点运行约束.关键词：铁路运输；列车最优操纵；动态规划；列车；最小追踪间隔；节能
Optimization of Train Headway and Traction Energy
Consumption in Urban
Rail Transit
GAO Hao,GUO Jin,ZHANG Ya-dong
(School of Information Science and Technology,Southwest Jiaotong University,Chengdu 611756,China)Abstract:Focusing on the characteristics of dense train tracking operation during the peak hour in urban rail transit,this paper takes both reducing traction energy consumption and improving line capacity as objectives in the train driving strategy optimization.The calculation method of traction energy consumption and minimum headway is given under the moving block system.Considering the constraint of safe running and punctual arriving,the two-objective optimization model is constructed.A dynamic programming based approach combined with ε-constraint method is proposed to solve the model.A case study of Yizhuang urban rail line was executed and a set of Pareto solutions were achieved which reflecting the trade-off between those two objectives.The results showed that the multi-step braking strategy during the phase of entering a station can compress the minimum headway effectively.To reduce the increased running time because of the multi-step braking strategy,trains need to improve their velocity before the phase of entering a station to satisfy the constraint of punctual arriving,which consumes more traction energy.
Keywords:railway transportation;optimum driving strategy;dynamic programming;train;minimum headway;energy saving
0引言
随着城市轨道交通大量新建线路投入网络化运营，我国轨道交通客运量增长明显，北京、上海两市日均客运量均已超过1000万人.为满足日益增长的客运需求，以基于通信的列车运行控制
(Communication Based Train Control,CBTC)为代表的移动闭塞系统取代了传统固定闭塞系统，并得到广泛应用.利用高精度列车定位、双向大容量车地无线通信等新兴技术，CBTC 系统可以进一步提升高峰小时线路通过能力.据资料统计，2019年
收稿日期：2020-07-15修回日期：2020-09-16
录用日期：2020-09-17
基金项目：国家自然科学基金青年科学基金/Young Scientists Fund of the National Natural Science Foundation of China
(61703349).
作者简介：高豪(1989-)，男，江苏苏州人，博士生.
*通信作者：*******************.cn
第20卷第6期城市轨道交通列车追踪间隔与牵引能耗优化
全国城市轨道交通高峰小时最小发车间隔平均为290s，进入120s以内的线路共12条.同线路能力一样，列车牵引能耗是制约城市轨道交通可持续发展的关键因素.面向高峰小时多列车密集追踪的运行场景，能耗问题尤为突出.在保证列车安全、正点运行前提下，通过调整列车操纵策略，进一步压缩行车间隔并减少牵引能耗，可有效提升城市轨道交通服务水平和经济效益.
针对多列车运行操纵优化问题，国内外学者开展了广泛讨论.Wang[1]面向固定闭塞和移动闭塞系统下的列车追踪运行场景，以最小追踪间隔为约束条件，研究列车运行受扰后的多列车节能操纵优化问题.Ye[2]考虑快慢车越行场景下的列车安全追踪及正点运行约束，通过构建多阶段优化控制模型求解多列车节能操纵最优策略.进一步地，柏赟[3]考虑追踪间隔要求和再生制动能利用，研究以列车净能耗最少为目标的快慢车线路列车协同操纵优化问题.Wang[4]在确保列车运行满足最小追踪间隔的前提下，通过调整各列车的站间运行时间来最大化多列车追踪优化的节能效果.以上文献将最小追踪间隔作为约束条件，研究不同场景下多列车节能驾驶优化问题.优化后的列车运行间隔发生改变，但线路能力并未得到本质提升.
Takeuchi[5]将最小追踪间隔作为衡量线路能力的性能指标，分析列车运行速度对最小追踪间隔的影响.陈荣武[6]通过调整车站限速区域及限速值压缩了近6.3%的列车最小追踪间隔.Nakamura[7]指出列车采用多级制动的进站操纵策略可有效压缩最小追踪间隔，并利用遗传算法优化列车进站操纵策略.上述文献将最小追踪间隔作为优化目标，通过调整列车操纵策略提升线路通过能力，却忽略了操纵策略改变带来的牵引能耗增加问题.
针对高峰小时地铁列车密集追踪运行的特点，本文同时将降低列车牵引能耗和缩短最小追踪间隔作为优化目标，通过优化列车操纵策略实现列车节能驾驶并提升线路通过能力.首先给出移动闭塞条件下列车牵引能耗和最小追踪间隔的计算方式，在此基础上考虑列车正点运行和线路限速约束，构建双目标优化模型；引入ε-约束法将模型转为单目标形式，并利用动态规划方法作进一步求解.1列车运行性能指标
1.1列车牵引能耗
对运行过程中的列车进行受力分析，构建基于单质点的列车运动学计算模型，即
d v()x
d x=u()x-r()x
M⋅()
1+α⋅v()x
(1)
r()x=r b()x+r1()x(2) r b()x=M⋅[]
a+b⋅v()x+c⋅v2()x(3)
r1()x=r g()x+r c()x+r t()x(4)式中：M为列车质量；x为列车位置；v()x为列车速度；α为回转系数；u()x为列车牵引制动力；r()x为列车运行阻力，包括基本阻力r b()x和和附加阻力r1()x；r b()x由戴维斯方程来表示，其系数a、b及c根据列车型号而定；r1()x包括坡道附加阻力r g()x、曲线附加阻力r c()x和隧道附加阻力r t()x.
列车以操纵策略U={u()x|u min()x≤u()x≤
}
u max()x,x∈[0,X]在线路上追踪运行，其中，u max()x 和u min()x分别为列车保证乘客安全、舒适条件下的最大牵引力和最大制动力，X为列车站间运行距离.列车执行U后的牵引能耗E()U和运行时间T()U为
E()U=∫0X max[]0,u()x⋅d x(5)
T()U=∫0X1v()x⋅d x(6) 1.2最小追踪间隔
线路通过能力体现为列车追踪运行过程中最小追踪间隔的倒数[5]，取决于列车在线路最受限制点处的最小安全追踪距离及通过该距离的运行速度[6].移动闭塞系统中，相邻列车的间隔距离必须始终大于最小安全追踪距离.现有CBTC系统均采用不考虑先行列车速度的“硬撞墙”模型来计算最小安全追踪距离，即
S min()x a=L react()x a+L eb()x a+L sm+L train(7)
L react()x a=T react⋅v()x a(8)
L eb()x a=
v2()x a
2a eb(9)式中：S min()x a为列车在位置x a处的最小安全追踪
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交通运输系统工程与信息2020年12月
距离；L react()x a为列车在反应时间T react内的走行距
离；L eb()x a为列车紧急制动距离；a eb为紧急制动
率；L sm为安全余量；L train为列车车长.为简化计
算，假设T react、a eb、L sm和L train为固定值.
根据列车在通过最小安全追踪距离期间是否
停靠站台，将最小追踪间隔的计算分为区间和车
站两种模式.图1为区间最小追踪间隔示意，相邻
两车以最小安全追踪距离为间隔分别运行至x a和
x a+S min()x a处，其中，x a+S min()x a<x S，x S为站台位
置.相邻列车沿图中实线所示的运行轨迹连续经
过x a的最小时间间隔H min()x a为
H min()x a=∫x a x a+S min()x a1v()x⋅d x
(10)
图1区间最小追踪间隔
Fig.1Minimum headway of interstation
地铁车站一般不设配线，列车到达车站后需在正线上完成停站作业，且同一时间只允许1列列车进行停站作业.车站最小追踪间隔的计算不考虑存在多配线条件下的列车到达、到通、出发、发通等间隔，如图2所示.相邻两车分别运行至x a和x a+S min()x a处，其中，x a+S min()x a≥x S，列车通过S min()x a期间需经历减速进站、停车和加速出站过程.因此，相邻列车连续经过x a的最小时间间隔H min()x a为
H min()x a=T in()x a+T dwell+T out()x a(11)
T in()x a=∫x a x S1v()x⋅d x(12)
T out()x a=∫x S x a+S min()x a1v()x⋅d x(13)式中：T in()x a、T out()x a分别为列车进站、出站运行时间；T dwell为停站时间
.
图2车站区域最小追踪间隔
Fig.2Minimum headway of station area
对于任意位置x a，H min()x a取决于S min()x a和通过S min()x a的列车运行速度.由式(7)~式(9)可知，S min()x a取决于v()x a和x a以前的列车操纵策略有关，通过S min()x a的列车运行速度和x a以后的列车操纵策略有关.因此，操纵策略决定了列车追踪运行过程中可实现的最小追踪间隔.全线列车执行相同U在线路上追踪运行，可实现的最小追踪间隔H()U为列车连续通过最受限制点的最小时间间隔，即
H()U=max
x∈[]
0,X
H min()x(14) 2列车运行性能优化
2.1问题描述
列车站间运行时间由运行图预先给定，理论上存在无数种操纵策略保证列车安全、正点运行.面向高峰小时地铁列车密集追踪的运行场景，将其中可实现追踪间隔最小且牵引能耗最小的操纵策略作为最优操纵策略.
Takeuchi[5]对最小追踪间隔计算进行了灵敏度分析，结果表明，增大列车牵引/制动加速度可有效压缩最小追踪间隔.Liu[8]利用极大值原理推导出连续控制条件下的列车节能驾驶最优控制应包括最大牵引、巡航、惰行和最大制动.上述文献表明，列车最大牵引和最大制动是实现节能驾驶和高效追踪的必要控制条件.因此，本文选择最大牵引、巡航、惰行和最大制动组成列车最优操纵策略的4种控制变量，目标问题转化为寻找这些控制变量之间的组合顺序及其对应的转换点.
本文假设列车装备自动驾驶系统，能够在线
172
第20卷第6期城市轨道交通列车追踪间隔与牵引能耗优化路任意位置实现巡航控制.因现有地铁系统并未完全装备再生制动设备，为不失一般性，再生制动能不在本文考虑范围内.2.2优化模型
将U 作为决策变量，将min E ()U 和min H ()U 作为优化目标，设置列车安全、正点运行约束条件，构建双目标优化模型为
ìí
î
ï
ïïïmin E ()
U min H ()U s.t.T ()U =T set
v ()x <V limit ()x ,x ∈[0,X ]
(15)
式中：V limit ()x 为线路限速条件；T set 为指定站间运
行时间.2.3模型求解
构建双目标优化模型旨在降低列车牵引能耗的同时压缩列车最小追踪间隔，期望得到一组准确的Pareto 最优解以体现两目标之间的均衡，采用基于动态规划方法的精确算法求解式(15).由于最小追踪间隔指标在动态规划逐段递推过程中并不严格单调，不具备动态规划方法所需的“无后效性”，引入ε-约束法将其转化为约束条件，并将式(15)转化为单目标优化模型，并以Δε为间隔由小到大调整ε参数值后多次利用动态规划方法进行求解.
ìí
î
ï
ïïïmin E ()
U s.t .H ()U ≤εT ()U =T set
v ()x <V limit ()x ,x ∈[0,X ]
(16)
对式(16)的状态空间进行离散，将列车运行过程在空间域上划分K 个阶段，保证各阶段线路条件不变且各阶段长度不大于Δx .在k 阶段开始位置x k 处，按间隔Δv 划分k 阶段的开始状态集
{}
s k,i
|s
k,i
=()x k ,i ⋅Δv ,0≤i ⋅Δv ≤V
ˉ()x ,i ∈Ν，其中，V
ˉ()x 为列车在最速策略下运行至x 处的速度.如图3所示，实线为列车最速运行轨迹，圆点为各阶段开始状态，亦为上一阶段的结束状态.列车运行过程的起点和终点分别记为s 1,0和s K +1,0.动态规划始终运行在基于上述离散划分规则的状态空间内，其优化结果一定能够满足安全运行约束v ()x <V limit ()x
.
图3
模型阶段状态划分示意图
Fig.3
Stages and vertices of optimization model
列车在k 阶段运行时固定采用最大牵引、巡航、惰行和最大制动中的一种工况，将其简记为u k ，列车在相邻阶段的最优控制工况切换还应满
足图4所示的接续条件
.
图4
列车控制接续约束
Fig.4
Train regime switching constraint
列车在k 阶段s k,i 处施加u k 后运行至k +1阶
段()x k +1,v ′处，()x k +1,v ′有可能不属于已划分的开始状态集，需要对其进行近似处理并修正至s k +1,j 处，其中j =round ()v ′Δv ，将上述状态转移过程简
写为
s k +1,j =F ()
s k,i ,u k (17)
列车在s k,i 处施加u k 阶段牵引能耗e ()s k,i ,u k 和
运行时间t ()s k,i ,u k 计算为
e ()s k,i ,u k =∫x k
x k +1
max []0,u ()x ⋅d x
(18)t ()s k,i ,u k =∫x
k
x k +1
1v ()
x ⋅d x
(19)
为获取式(16)在ε参数下的最优操纵策略
U *
ε
，采用后向动态规划的求解方式，从s K +1,0开始逐段向前推进寻找列车在各阶段的最优控制决策
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交通运输系统工程与信息
2020年12月
直至s 1,0.对于阶段k ，将列车从s k,i 运行至s K +1,0的
操纵子策略记为U ()
s k,i ，其对应的牵引能耗和运行
时间分别为E []
U () s k,i 和T []
U ()
s k,i ，下面建立评价U ()
s k,i 最优性的过程指标函数.
将列车从s 1,0运行至s k,i 处的操纵子策略记为
U ()
s k,i ，其对应的牵引能耗及运行时间分别记为
E []
U () s k,i 和T []
U ()
s k,i .因此，式(16)的优化目标
min E ()U 可拆解为min E []U () s k,i 和min E []
U ()
s k,i .
在后向动态规划求解过程中，E []
U ()
s k,i 无法直接
求解得到.列车牵引能耗与运行时间在节能操纵
条件下呈反比关系，故min E []U ()
s k,i 等效于
max T []U () s k,i .因T []U () s k,i +T []
U ()
s k,i =T set ，故
min E []
U () s k,i 等效于min T []
U ()
s k,i .因此，评价U ()
s k,i 最优性的过程指标函数为
E []U *() s k,i =min u k
{}e ()s k,i ,u k +E {}U *éëùû F ()s k,i ,u k (20)T []
U *() s k,i =min u k
{
}
t ()s k,i ,u k +T {
}U *éëùû
F ()s k,i ,u k (21)U ()
s k,i 对应的最小追踪间隔H []
U () s k,i 应满足
ε约束，即
H []
U ()
s k,i ≤ε
(22)
U ()
s k,i 应满足准点运行约束为
T min []U () s k,i ≤T []U () s k,i ≤T max []
U () s k,i (23)
式中：T min []U () s k,i 、T max []
U ()
s k,i 分别为列车从s k,i 到
s K +1,0的最短、最长运行时间.
特别的，列车在s 1,0和s K +1,0的准点约束条件为
T []U () s 1,0=T min []U () s 1,0=T max []U ()
s 1,0=T set (24)T []U () s K +1,0=T min []U () s K +1,0=T max []U ()
s K +1,0=0(25)
T min []U () s k,i 和T max []
U ()
s k,i 的计算方法如图5所示.点划线为列车从s k,i 到s K +1,0的最速运行轨迹，
其对应的运行时间为T min []
U ()
s k,i .虚线为列车从s 1,0到s k,i 的最速运行轨迹，其对应的运行时间为
T min []U () s k,i ，则T max []U () s k,i =T set -T min []
U () s k,i .
图5
T min []
U () s k,i 和T max []
U ()
s k,i 计算原理
Fig.5
Calculation principle of T min []
U () s k,i and T max []
U ()
s k,i
由于存在2个冲突的过程指标，即式(20)和式(21)，列车从s k,i 处运行至s K +1,0的最优操纵子策略
应为一组Pareto 解，记为{}U *w () s k,i ，其中，U *
w ()
s k,i 为
s k,i 处的第w 个最优子策略.动态规划方法从s K +1,0
开始逐段向前推进，求解各阶段各状态点的Pareto 最优子操纵策略集直至起点s 1,0.由于准点运行式(24)的限制，
s 1,0处的最优操纵策略有且只有一个，为式(16)在ε参数下的最优解，即U *
ε=U *1()
s 1，0.
式(16)的具体求解步骤描述如下：
Step 1读入线路数据及列车参数并计算
V ˉ()x ，设定模型参数Δx 、Δv 和ε，划分离散状态
集合{}s k,i ，设定边界条件E []
U *1()
s K +1,0=0，
T []
U *1()
s K +1,0=0，令k =K ，完成模型求解初始化.
Step 2对于k 阶段所有的s k,i ，遍历4种最优
控制工况u k ，获取k +1阶段F ()s k,i ,u k 处的最优子
策略集{}
U *w éëùû
F ()s k,i ,u k .在满足式(22)和式(23)的条件下，将u k 加入{}
U *w éëùû
F ()s k,i ,u k 生成s k,i 处的可行子策略集{}
U ()
s k,i .
Step 3根据过程指标式(20)和式(21)，对{}
U ()
s k,i 进行Pareto 占优操作，得到s k,i 的Pareto 最
优子策略集{}
U *
w () s k,i .若k ≠1，则令k =k -1，跳转
174
第20卷第6期城市轨道交通列车追踪间隔与牵引能耗优化至Step 2；若k =1，输出式(16)的最优解U *
ε.
3算例分析
基于C++开发优化程序，以北京地铁亦庄线
为算例，选择文献[2]中线路数据和车辆参数，在此基础上进一步设定，a eb =-1.0m/s 2
、L sm =30m 、L train =90m 、T react =0.5s 和T dwell =30s .根据
“计算时间—优化效益可接受原则”设置模型参数如下：Δx =10m 、Δv =1km/h 和Δε=0.1，模型参数决定
模型的求解精度和求解效率，间隔越小，模型求解精度越高且求解效率越低.以第7区间“万源街—荣京东”为例：首先，令ε=0，不断迭代计算ε=ε+Δε后的式(16)直至获取第1个有效解，该解
即为能够实现理论最小追踪间隔的操纵策略
U *
headway ，令εmin =H ()U *headway ；
其次，将ε设置为一个较大的正值后对式(16)进行求解，所得解即为只考
虑节能目标的最优操纵策略U *energy ，令
εmax =H ()U *
energy ；最后，以Δε为间隔在[]εmin ,εmax 内由小到大调整ε参数值，多次求解式(16)，获得一组Pareto 最优解，如图6所示
.
图6
列车最优操纵Pareto 解
Fig.6
Pareto solution of optimum driving strategy
选取ε=70条件下的最优操纵策略U *
70，对比
U
*energy
、U *
70
和U
*
headway
这3种策略下的v ()x 及其对应
的H min ()x ，如图7所示.U
*energy
条件下列车从起点开
始最大牵引至A 1，然后以惰行和巡航的组合方式运行至B 1，最后施加最大制动至终点；列车从C 1开始进入车站追踪模式，H min ()x 发生跃变；U *energy
的性能指标分别为E ()U
*
energy
=9.8kW ⋅h ，
H ()U *
energy =77.2s .U *70
条件下列车最大牵引至A 2，惰行并巡航至B -2后开始施加第1次最大制动至
C 2，然后惰行至B 2后施加第2次最大制动至终点；
由于提前制动，列车在C 2处才进入车站追踪模式，其性能指标为
E ()U *
70=10.7kW∙h
，
H ()U *70=70.0s .同U *70一样，U *headway 在B -3处提前制
动，采用两次制动的进站模式分别经过了
A 3-
B -3-
C 3-B 3点，
列车自C 3开始进入车站追踪模式，性能指标为E ()U *
headway =13.0kW∙h ，
H ()U *
headway =67.1s .相较于U *energy
，U *70和U *headway 在进站过程中执行两次制动策略，压缩了列车最小追踪间隔，为弥补两次制动进站过程中额外消耗的
运行时间，U *70
和U *headway 提升了进站以前的运行速度，额外增加了牵引能耗
.
图7U *energy 、U *70和U *headway 的列车运行轨迹及
最小时间间隔
Fig.7
Train trajectory and minimum time separation of
U *energy ,U *70and U *
headway
列车进站操纵策略变化本质上影响的是车站
追踪模式下T in ()x 和T out ()x ，从而改变H min ()x .
U *energy 、U *70
和U *
headway 策略下的T in ()x 和T out ()x 随v ()x 的变化趋势如图8所示.上述操纵策略在车站追踪模式下的运行过程均包含1次惰行和1次最大制动.随着列车向终点运行，3种操纵策略对应的
175
交通运输系统工程与信息2020年12月
T out()x从0开始递增并分别在列车进站的制动初始点B1、B2和B3处达到极大值，T in()x呈递减趋势并在终点处减为0.由于不同操纵策略下T in()x和T out()x存在差异，U*energy条件下的H min()x呈先增后减趋势，在B1处达到极大值；U*70和U*headway条件下，H min()x分别在C2和C3处达到极大值
.
图8车站追踪模式下列车运行轨迹及相关时间间隔
Fig.8Train trajectory and related time separation under station tracking mode 计算全线13个站间的最优操纵Pareto解，选
取各站间的U*headway与U*energy进行比较，如表1所示.
与U*energy相比，列车在U*headway下的全线通行能力提
升了17.0%，牵引总能耗增加了19.3%.各站间的
U*headway均采用两次制动的进站策略且第2次制动的
进站初速度都为23.0km/h，各站间U*headway的最小
追踪间隔均达到约67s的极小值.各站间的U*energy
都采用一次制动进站策略，其最小追踪间隔的大
小与列车进站制动初速度正相关.不失一般性，
图9以第2区间和第4区间为例，描绘U*headway和
U*energy策略下v(x)和H min(x)来进一步印证上述结论.
表1列车操纵策略优化结果
Table1Optimaziton results of driving
strategy
176
第20卷第6期
城市轨道交通列车追踪间隔与牵引能耗优化图9U *headway 和U *
energy 的列车运行轨迹及最小时间间隔
Fig.9
Train trajectory and minimu time separation of U *headway 和U *
energy
4结论
列车操纵策略决定了列车在线路上运行的牵引能耗和可实现的最小追踪间隔.列车采用两次制动的进站策略可以有效压缩最小追踪间隔，但需要消耗更多的牵引能耗.列车最小追踪间隔和进站制动初速度正相关且存在极小值.相较于只考虑节能目标的最优操纵策略，追踪间隔压缩后的最优操纵策略最多可提升17.0%的线路通过能力，同时也增加了19.3%的牵引能耗.运营商可权衡地铁高峰小时服务水平和运营成本的实际需求，利用本文方法获得列车追踪运行最优操纵策略，具有一定实际意义.随着再生制动设备在城市轨道交通系统的应用普及，考虑再生制动能利用的列车运行能耗和追踪间隔多目标优化问题有待进一步讨论.
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