2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 新高考I卷第21题

2023年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会
新高考I卷第21题
CONTENTS
目录
01试题讲解030402方法总结模型应用溯源推广05
[2023全国I ，21] 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下: 若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况
如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第1次投篮的人选，第一次是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i 次投篮的人是甲的概率(3)已知:若随机变量X i 服从两点分布，且
P(X i =1)=1−P(X i =0)=q i ,i =1,2，...n,
则E
σi=1n X i
=
σi=1n q i .记前n 次(即从第1次到第n 次投篮中甲投篮的次
数为Y ，求E Y .
试题赏析
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
实际问题
数学抽象
数学问题
A 1
A 2
A 1A 2
B 2
A 2
B 2
A 1
B 2
B 1
B 1A 2 B 1B 2
记A i ：第i 次投篮的人是甲；B i ：第 i 次投篮的人是乙由全概率公式得：
P(B 2)= P(A 1B 2)+P(B 1B 2)= P(A 1)P(B 2|A 1)+P(B 1)P(B 2|B 1) =0.5 x （1-0.6）+ 0.5 x 0.8 = 0.6
第2次
第1次
[2023全国I ，21] 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下: 若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况
如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第1次投篮的人选，第一次是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i 次投篮的人是甲的概率(3)已知:若随机变量X i 服从两点分布，且
P(X i =1)=1−P(X i =0)=q i ,i =1,2，...n,
则E
σi=1n X i
=
σi=1n q i .记前n 次(即从第1次到第n 次投篮中甲投篮的次
数为Y ，求E Y .
试题赏析
思路1：依托教材，分析递推
A 1
A 2 A 1A 2
B 2
A 2
B 2
A 1
B 2 B 1
B 1A 2 B 1B 2
第2次
第1次
A 2
A 3 A 2A 3
B 3
A 3
B 3
A 2
B 3 B 2
B 2A 3
B 2B 3
第3次
第2次
第4次？第5次？ …… 第i +1次呢？
A i
A i+1 A i A i+1
B i+1
A i+1
B i+1
A i
B i+1 B i
B i A i+1
B i B i+1
第i +1次
第i 次
由全概率公式得：
因
果
执果索因、追根求源
p i+1=0.6p i +(1−0.8)(1−p i )=0.4p i +0.2 ……②
P(A i )+ P(B i )=1
P(A i+1)= P(A i A i+1)+P(B i A i+1)= P(A i )P(A i+1|A 1)+P(B i )P(A i+1|B i )……①记P(A i )=p i ，则P(B i )=1-p i ,则 式可写作：
0.2
一阶线性递推求通项的数列问题
同除法不动点法配凑法差分法
得出递推式②后，则问题转化为一阶线性递推求数列通项，接下来，提供四种方法:
(一)同除法
对于递推式: p i+1+1 = 0.4p i + 0.2 ....②等式两边同除0.4i+1得:
p i+1 0.4i+1=
p i
0.4i
+
0.2
0.4i+1
……③
③式可改写为:q i+1−q i=0.2
0.4i+1
……④累加法
不妨换元，令p i
0.4i =q
i
，
初始条件q 1=
p 10.4
=
54
q i =q 1+q 2−q 1+q 3−q 2+⋯+(q i −q i−1)
q i+1−q i =
0.2
0.4i+1
q i =54+0.210.42+10.43+⋯+10.4i
=512+56∙(52)
i−1∴p i =0.4i ×q i =16×(25)i−1+
13
p i
0.4i =q i
(二)不动点法
一般地，对于递推数列{X n}，若其递推式为X n+1=f(X n)，且存在实数x0，使得f(x0)，则称x0是数列{X n}的不动点.
递推关系
结合p1=1
2,p1=1
2
,p1−1
3
=1
6
不动点
考虑初始条件
构造等比数列
p i+1=0.4p i+0.2……②0.4x+0.2=x x=1 3
p i+1−1
3
=
2
5
(p i−
1
3
)
p i−1
3
=
1
6
×(
2
5
)i−1
p i=1
6
×(
2
5
)i−1+
1
3
特征方程
(三)配凑法
p i+1=2
5
p i+0.2②
p i+1−
1
3
=
2
5
(p i−
1
3
)
λ=
1
3
利用待定系数
构造等比数列
设p i+1+λ=2
5
p i+λ
计算整理
构造等比数列
p i+1−1
3=2
5
(p i−1
3
)
殊途同归
做法同方法(二)
(四) 差分法
p i+1=0.4p i +0.2
……②
②-⑤
p i+1−p i =0.4(p i −p i−1)……⑥
r i =0.4r i−1
令r i =p i−1−p i
（等比数列）
r i =(−0.1)×0.4i−1
r i =p 2−p 1=−0.1
p i =0.4p i−1+0.2,i ≥2……⑤
r i =(−0.1)×0.4i−1p i =p 1+p 2−p 1+p 3−p 2+⋯+(p i −p i−1)r i =p i−1−p i
累加法p i =16×
25
i−1
+1
3
即：p i+1−p i =0.4
i−1
×(−0.1)
同除法不动点法配凑法差分法
实际问题
数学问题
依托教材活用全概率公式
考虑基本事实P(B i )=1−P(A i )
得出递推式p i+1=0.4p i +0.2
一阶线性递推求通项的数列问题
思路2:数形结合，直观递推
设第n 次甲投篮的概率为a n ,是乙投篮的概率为b n
由题意列出第n 次投篮到第n +1次投篮的状态转移图如下:状态转移图
第n 次
第n +1次
甲投篮
乙投篮
甲投篮
乙投篮
中(0.6)
中(0.8)
a n+1=0.6a n +0.2
b n b n+1=0.4a n +0.8b n
a n +
b n =1
a n+1=0.4a n +0.2
a n+1
b n+1
a n
b n
思路3:马尔可夫，一招致胜
借助思路2的状态转移图，可整理得到条件概率表:状态转移图
第n 次第n +1次
甲投篮
乙投篮
甲投篮
乙投篮
中(0.6)
中(0.8)
a n+1
b n+1
a n
b n
第n +1次第n 次
甲乙
甲0.60.4乙
0.2
0.8
条件概率表
概率转移矩阵
P(A n+1|A n )
Q =
0.60.40.20.8
a i =a 1q i−1
πi =π1Q i−1
类比
等比数列马尔可夫链
马尔可夫链在时刻n 的分布完全由初始分布π(1)和概率转移矩阵Q 决定.第一次是甲、乙的概率各为0.5.则本题的初始状态π(1) = (0.5 0.5).
为方便计算Q i−1，将Q 对角化(《线性代数》)可得:Q =0.60.40.20.8=
121−110
00.4121−1
−1
Q
i−1
=
121
−1=1i−1
00
0.4
12
1−1
−1
∴πi =π1∙Q i−1=0.50.5⋅
1
21
−1
1
i−1
00
0.4i−1
121−1
−1
∴πi =π1∙
Q i−1=
16
×
25
i−1
+
13
−16
×
25
i−1+
23
1/21/2
1/2
1/211
2-1
×
+
×
=
实际问题数学问题
思路1:全概率公式
思路2:
数形结合法
思路3:
马尔可夫链
●根据情境判断马尔可夫问题●画出状态转移图、写出概率转移矩阵●考虑初始状态π(1),代入公式π(i) =
π(1)Q
i−1
1
2
3
(3) 已知:若随机变量X;服从两点分布，且
P X I =1=1−P X i =0=q i ,i =1,2，…n,
则E σi=1n X i =σi=1n q i .记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)
中甲投篮的次数为Y ，求E(Y).
前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮
的次数的期望E(Y)
思路1:利用定义，代入公式思路2:利用结论，突出本质
思路1:利用定义，代入公式
由(2)知:第i次投篮是甲的概率为p i=1
6×(2
5
)i−1+1
3
,i=1,2…n
第i次投篮第1次投篮第2次投篮...第n次投篮每次共投篮个数11 (1)
第i次甲投篮概率p;p1p2…p n
E Y=1×p1+1×p2+⋯1×p n
=1
61−2
5
n
1−2
5
+n
3
=5
18
1−2
5
n
+n
3
思路2:利用结论，突出本质
(3) 已知:若随机变量X i 服从两点分布，且P X i = 1= 1−P X i = 0=q i ,
i =1，2，..n ，,则E(σi=1n X i )=σi=1n q i 记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投
篮的次数为Y ，求E(Y).
构造两点分布:设第i 次投篮中甲的投篮次数为Y i P(Y i = 1)= 1− P(Y i =0)=p i ,
E Y =E ෍i=1
n
Y i =E ෍i=1
n
p i
E Y =p 1+p 2+⋯p n =5181−
2
5n
+n
3
数学期望的线性性
基础知识、基本技能、
基本思想、基本活动经验
发现问题的能力、提出问题
的能力、分析问题的能力、
解决问题的能力
数学抽象、逻辑推理、数学建模直观想象、数学运算、数据分析。