运筹学 刁在筠 部分作业的参考答案线性规划部分

第二章 线性规划
73P 4. 将下面的线性规划问题化成标准形式
12312312312max 2..236230316x x x s t x x x x x x x x −+⎧⎪−+≥⎪⎪
+−≤⎨⎪≤≤⎪⎪−≤≤⎩
解：将max 化为 min ， 3x 用45x x −代替，则
1245124512451245min 2()
..23()62()30316
,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x −+−−⎧⎪−+−≥⎪⎪+−−≤⎪⎨≤≤⎪⎪−≤≤⎪≥⎪⎩
令221x x ′=+，则12
4512
4512451245min
12()..2(1)3()62(1)()30307,0
x x x x s t x x x x x x x x x x x x ′−+−−−⎧⎪′−−+−≥⎪⎪′+−−−≤⎪
⎨
≤≤⎪
⎪′≤≤⎪
≥⎪⎩
将线性不等式化成线性等式，则可得原问题的标准形式
12
4512
45612457182
912
456789min
221..23342437,,,,,,,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ′−+−+−⎧⎪′−+−−=⎪⎪′+−++=⎪⎨+=⎪⎪′+=⎪′≥⎪⎩
73P 5、用图解法求解下列线性规划问题：
(1) 121212min 3..
206122x x s t x x x x +⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪
⎪≥⎩
解：图2.1的阴影部分为此问题的可行区域.将
目标函数的等值线123x x c +=(c 为常数)沿它的负法线方向()13T
−−，移动到可行区域的边界上.
于是交点T
），（812就是该问题的最优解，其最优值为36.
75P 16. 用单纯形法求解下列线性规划问题：
(1) 123
123123123min 2..360210200,
1,2,3
j z x x x s t x x x x x x x x x x j ⎧=−−+⎪++≤⎪⎪−+≤⎨
⎪+−≤⎪⎪≥=⎩
解：将此问题化成标准形式
123
1234
1235
1236min 2..36021020
0,
1,2,3,4,5,6
j z x x x s t x x x x x x x x x x x x x j ⎧=−−+⎪+++=⎪⎪−++=⎨⎪+−+=⎪⎪≥=⎩
以456,,x x x 为基变量，可得第一张单纯形表为
以1x 为进基变量，5x 为离基变量旋转得
以2x 为进基变量，6x 为离基变量旋转得
1x 2x 3x 4
x 5x 6
x RHS z
2 1 -1 0 000 4x 3
1 1 1 0060 5x 1-1
2
1
010 6x 1
1 -1 0 0
1
20
1x 2x 3x 4
x 5x 6x RHS z
0 3 -5 0 -20-204x 0 4 -5 1 -3030 1x 1
-1 2 0 1010 6x 0
2
-3
-1
1
10
1 注意单纯形表的格式！
2 要用记号把转轴元标出来 3
要记住在单纯形表的左边，用进基变量代替离基变量
注（零行元素的获得）：先将目标函
数化成求最小值的形式，再把所有变量移到等式左边，常数移到等式右边。

则变量前的系数为零行对应的元素.
所以最优解为*(15,5,0)T x =，最优值为-35. ********用单纯形法求解线性规划问题的步骤 1 将问题化成标准形式； 2 找出初始解；
3 写出第一张单纯形表，并化成典式；
4 判定和迭代.
z 判定：<1> 最优解(检验数向量0≤ξ)；
<2> 问题无界(某个非基变量k x 的检验数0>k ξ，且k x 在典式中的系数向量
0≤k A )
z 迭代步骤：
<1> 确定进基变量 k x (检验数向量T
ζ中最大的正分量)；
<2> 确定转轴元 rk a (进基变量所在的这一列中的正分量与右端向量中对应元素比值最小的)；
<3> 确定离基变量 r x (转轴元所在的这一行对应的基变量)；
<4> 迭代计算(利用初等行变换，将转轴元变为1，转轴元所在的这一列其它元素
全部变为0)；
<5> 用进基变量 k x 代替离基变量 r x .
(3) 12356356234163min ..
3 6 2 10 0 x z x x x x x s t x x x x x x x x =−++−++=+−=−+=67 x 60,1,2,3,4,5,6,7j x x j ⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪
⎪++=⎪
≥=⎪⎩
解：在第三个等式两端同乘以-1，并以5217,,,x x x x 为基变量可得其单纯形表为
z
4x 1x 2x
将第0行的元素化为检验数可得
由于4x 的检验数014>=ξ，并且4x 在典式中的系数向量0)0,0,1,0(4≤−=T
A ，所
以问题无界.
75P 17. 用两阶段法求解下列线性规划问题：
(2) 12121212min 24..
2323,0z x x s t x x x x x x =+⎧⎪−≥⎪⎨−+≥⎪⎪≥⎩
解：将此问题化为标准形式
121231241234min 24..
23 2
3,,,0z x x s t x x x x x x x x x x =+⎧⎪−−=⎪⎨
−+−=⎪
⎪≥⎩
添加人工变量65,x x 得到辅助问题
z -1 1 -1 0 -1 1 00 5x 00 3 0 1
1 0 6 2x 0 1
2 -10
0 010 1x 10 0 0 0
-100 7x 00 1 0 0
1
1
6
1x 2x 3x 4x 5x 6x 7
x RHS z 00 0 1 0 1 0-4 5x 00 3 0 1
1 0 6 2x 0 1
2 -10
0 010 1x 10 0 0 0
-100 7x 00 1 0 0
1
1
6
注：必须先将线性方程组和目标函数化成典式，再用单纯形方法开始判定、迭代！
5612351246123456min ..
23 2
3,,,,,0g x x s t x x x x x x x x x x x x x x =+⎧⎪−−+=⎪⎨
−+−+=⎪
⎪≥⎩
以65,x x 为基变量，可得辅助问题的单纯形表为
把g 所在的这一行的元素化成检验数
以1x 为进基变量，5x 为离基变量旋转得
所以，辅助问题的最优解为*(1,0,0,0,0,4)T x =，其最优值为*40g =>.因此，原问题没有可行解.
1x 2x 3x 4x 5x
6
x RHS z -2-4 0 00 00 g 00 0 0-1 -10 5x 2-3
-1
1
2 6x -1
1 0 -10 1
3
1x 2x 3x 4
x 5x 6
x RHS z -2-4 0 0000 g 1-2 -1 -100 5 5x 2-3 -1
10 2 6x -1
1 0 -1
1
3
1x 2x
3x
4x 5x 6
x RHS z g
1x 6x
(4)1234123412341234max 2456..
4282
23 41,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =−+−⎧⎪+−+=⎪⎨
−+++=⎪⎪≥⎩
解：将此问题化成标准形式
1234123412341234min 2456..
4282
23 41,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =−+−+⎧⎪+−+=⎪⎨
−+++=⎪
⎪≥⎩
添加人工变量65,x x 得到辅助问题
561234512346123456min ..
42 8 2
23 4 1,,,,,0g x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x =+⎧⎪+−++=⎪⎨
−++++=⎪⎪≥⎩
以56,x x 为基变量，可得辅助问题的单纯形表为
把g 所在的这一行的元素化成检验数
以4x 为进基变量，5x 为离基变量旋转得
1x 2x 3x 4
x 5x 6x RHS z 2-4 5 -6000 g
0 0 0-1-10 5x 14
-2
8
102 6x -1
2 3 4
1
1
以3x 为进基变量，6x 为离基变量旋转得
所以，辅助问题的最优解为1
(0,0,0,,0,0)4
T x ′=，其最优值为0g ′=.因此，原问题的初始
解为01
(0,0,0,)4
T x =，其第一张单纯形表为
以1x 为进基变量，4x 为离基变量旋转得
1x
2x 3x 4
x 5x 6
x RHS
z
g
4x 3x
因此，原问题的最优解为*(8,0,3,0)T x =，最优值为31. 76P 18. 写出下列线性规划问题的对偶规划： 123123123123123min 24..2342263355,0,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≥⎪⎪++=⎨⎪++≤⎪⎪≥⎩
为自由变量
解：先将此问题化成一般形式
123
123123123
123min 24..2342263355
,0,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪
++≥⎪⎪
++=⎨
⎪−−−≥−⎪⎪≥⎩
为自由变量 所以，其对偶规划为
123123123123132max 235..2213324654,0,s t ωωωωωωωωωωωωωωω+−⎧⎪
+−≤⎪⎪
+−≤⎨⎪+−=⎪⎪≥⎩
为自由变量 77P 20. 给定线性规划问题
131223123min ..251
32
,,0
z x x s t x x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪⎨+=⎪⎪≥⎪⎩
记为(P)
(1)用单纯形算法解P;
1
x 2x 3x 4x RHS
z
0-66 0 -130-31
1x 1
16 0 32 8 3x 0
6 1 12 3
(2)写出P 的对偶问题D;
(3)写出P 的互补松紧条件,并利用它们解对偶D; 解：(1) 把问题(P)化为标准形式
131********min ..251
32,,,0z x x s t x x x x x x x x x =+⎧⎪++=⎪⎪
⎨+=⎪⎪
≥⎪⎩
以31,x x 为基变量，可得到其单纯形表为:
把第0行化成检验行，得
以2x 为进基变量，1x 为离基变量，旋转得
根据最优化准则知，问题(P)的最优解为*57
(0,,)24
T x =, 最优值为 47.
(2) 将问题(P)化为一般形式
1x 2x 3x 4x RHS z
1x 3x
1
x 2x 3x
4
x RHS z 2x 3x
131223123min ..251
32,,0z x x s t x x x x x x x =+⎧⎪−−≥−⎪⎪
⎨+=⎪⎪
≥⎪⎩
因此其对偶问题(D)为 1211221max 53..
11
20210s t ωωωωωωω−+⎧⎪−≤⎪⎪−+≤⎨
⎪
≤⎪⎪
≥⎩
(3) 由问题(P)的最优解为*57
(0,,)24
T x =以及互补松紧性定律可得
1
2212021
ωωω⎧−+=⎪⎨
⎪=⎩ 解得121,14ωω==.所以，对偶问题(D)的最优解为*1
(,1)4T ω=，最优值为473521=+−ωω.
77P 22. 用对偶单纯形法解下列问题.
(1)123
123123min 234..232340,1,2,3.i z x x x s t x x x x x x x i =++⎧⎪++≥⎪⎨−+≥⎪
⎪≥=⎩
解：引入剩余变量将原问题标准化
12312341235min 234..232340,1,2,3,4,5.i z x x x s t
x x x x x x x x x i =++⎧⎪++−=⎪⎨
−+−=⎪⎪≥=⎩
再将约束条件两边同时乘以1−得
12312341235min 234..232340,1,2,3,4,5.i z x x x s t
x x x x x x x x x i =++⎧⎪−−−+=−⎪⎨
−+−+=−⎪⎪≥=⎩
以45,x x 为基变量，可得其单纯形表为
注：若问题存在一个基本解，并且该解
的检验数向量小于等于零，则可使用对偶单纯形方法。

特别地，要将问题典式化
以5x 为离基变量，1x 为进基变量，旋转得
以4x 为离基变量，2x 为进基变量，旋转得
根据最优化准则知，原问题的最优解为T x )0,52,511(
*=, 最优值为5
28. ***************用对偶单纯形方法求解线性规划问题的步骤： 1 将问题化成标准形式； 2 找出初始解；
3 写出第一张单纯形表，并化成典式；
4 判定和迭代.
① 判定：<1> 最优解(右端向量0≥b
)；<2> 没有可行解(某个0<r b ，并且在
典式中r b 所在的这一行内没有负分量)
② 迭代步骤：
<1> 确定离基变量 r x (右端向量最小的负分量)
1
x 2x 3x 4
x 5
x RHS z -2 -3 -4 0 0
0 4x -1 -2 -1 1 0
-3 5x -2
1 -3 0 1
-4
1
x 2x 3x
4
x 5x RHS
z 2x 1x
<2> 确定转轴元 rk a (离基变量所在的这一行中的负分量与 T
ζ 中对应元素
比值最小的)
<3> 确定进基变量 k x (转轴元所在的这一列对应的非基变量)
<4> 迭代计算(利用初等行变换，将转轴元变为1，转轴元所在的这一列其它元素全部变为0)；
<5> 用进基变量 k x 代替离基变量 r x .
(2) 1231231323
min 32..6 4 3
0,1,2,3.i z x x x s t x x x x x x x x i =++⎧⎪++≤⎪⎪−≥⎨⎪−≥⎪⎪≥=⎩
解：先将原问题标准化
1231234135236
min 32.. 6 4 3
0,1,2,3,4,5,6.i z x x x s t x x x x x x x x x x x i =++⎧⎪+++=⎪⎪
−−=⎨
⎪−−=⎪⎪≥=⎩
在第2、3个等式的两端同乘以-1，并以45,x x 为基变量，可得其单纯形表为
以5x 为离基变量，1x 为进基变量，旋转得
1x 2x 3x 4
x 5x 6
x RHS z -3
-2 -1 0 000 4x 1
1 1 1 00 6 5x -10
1
1
0-4 6x 0
-1 1 0 0
1
-3
以6x 为离基变量，2x 为进基变量，旋转得
所以，原问题没有可行解.
78P 23. 考虑第20题中的线性规划(P)，利用问题(P)的最优单纯形表继续求解下列问题.
(1) 1c 由1变为4
5
−；
解： 因为只有非基变量1x 的价值系数1c 由1变为4
5
−, 故只需要在问题(P)的最优单纯形
表中，把1x 的检验数按如下规则改变： 1))4
5
(1(45)(1
111=−−+−=′−+=′c c ξξ，得到新问题的单纯形表如下
以1x 为进基变量，2x 为离基变量，旋转得
1x 2x 3x 4
x 5x 6
x RHS z
0-2 -4 0 -3012 4x 0 1 2 1 10 2 1x 1
0 -1 0 -10 4 6x 0
-1
1
1
-3
1x 2x 3x 4x 5x 6
x RHS z 00 -6 0 -3-218 4x 00 3 1 1
1-1 1x 10 -1 0 -1
0 4 2x 01 -1 0 0
-1
3
注：要先写出变化规则，再由原问题的最优单纯形表得到新问题的单纯形表。

特别地，该规则是针对标准形式的。

若原问题
不是标准形式，要注意参数符号的相应变化
根据最优化准则知，修改后的线性规划问题的最优解为T x )0,3,0,5(=,最优值为4
13−
. (4) b 由⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛35变为⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛32.
解：利用问题(P)的最优单纯形表和问题(P)的标准形式，可知问题(P)的最优解
T x )0,5
2,511(*=的基变量为2x 、3x ，其对应的可行基为⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=121
02B .因此， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=′=′−251321410211b B b ，25251)1,0(),(320=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=′=′=′b c c b c z T
B . 所以只需修改(P)的最优单纯形表的最后一列，可得新问题的单纯形表，
根据最优化准则知，新问题的最优解为T x 25,1,0(*=, 最优值为25
.
1x 2x 3x
4
x RHS z
1x 3x
1x 2x 3x 4x RHS z 2x 3x。