高等数学微分中值定理

定理2（拉格朗日中值定理） 设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续，在 a , b 内可导， 则至少存在一点 a, b ，
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
分析：如 图3.3，定理2实际是让我们证明曲线 f ( x )
B 点所在直线 其切线平行于 A， 上存在一点 , f ， y f ( ) l ( x ) 0 l ( x )， 即 y f ( x)
y
C
y f ( x)
o a
1
2
b
x
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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定理1（罗尔定理） 设
f ( x ) 在 a , b 上连续，在
y
y f (x)
(a , b) 内可导，且 f (a ) f (b)， o
则至少存在一点 a, b 使得 f ( ) 0 ．
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§3.1 微分中值定理
第三章
微分中值定理与导数的应用
第二我们给出了函数导数的定义，研究了导性态与函数的图像．
由于函数在一点的导数只反映函数的局部性态，因此要
用导数来研究函数的性质及其图像，就必须在函数的定义域
内研究函数的自变量、因变量与导数之间的关系，这一理论 就是微分中值定理，微分中值定理是研究函数性态和函数图 像的理论基础．
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
f ( ) l ( x ) 0 f ( x ) l ( x ) x = 0．

因此，只要证明 f ( x ) l ( x ) 在 a , b 上满足罗尔定理条件， 定理即可证明. 事实上, 易知
§ 3.1微分中值定理
罗尔中值定理 微分中值定理
拉格朗日中值定理 柯西中值定理
一、罗尔定理
定义1 设 f ( x ) 在 x0 的某一邻域有定义，若对
x U ( x0 ) 有 f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 ))， 则称 x0
点为函数 f ( x ) 的极大（小）值点， f ( x0 ) 称为函数
f a l a ，f (b) l (b)，
f (a ) l (a ) f (b) l (b).
y
o x0 x
f ( x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0 ，
通过
证得
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0
通常我们称函数导数为零的点为函数
的驻点（或稳定点，临界点）．
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
C
f (b ) f (a ) （l ( x ) ）， ba A f ( ) l ( x ) 0 o a f ( x ) l ( x ) x = 0．
M N
D
B
1
x
2 b
x
定理2（拉格朗日中值定理） 设函数 f ( x ) 在 a , b
注意: 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.
例如,
y
o
y
1
1
x
y
o
1x
o
1
x
二、拉格朗日中值定理 罗尔定理对函数 f (a ) f (b) 的条件限制太强， 一般函数很难满足此条件， 法国数学家拉格朗日利用罗尔定理得到了函数的微
分中值定理．
拉格朗日是 18 世纪的伟大科学家，在数学、力学 和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献。但主要 是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱 离几何与力学方面起了决定性的作用。使数学的独立 性更为清楚，而不仅是其他学科的工具。同时在使天 文学力学化、力学分析上也起了历史性的作用，促使 力学和天文学（天体力学）更深入发展。由于历史的 局限，严密性不够妨碍着他取得更多成果。
a
1
b x
2
利用闭区间上连续函数一定取得最大值 M 和最小 值 m 性质和费马定理，即可证明罗尔定理．
若 f ( x ) 在 a , b 上 M m，则 f ( x ) 在 a , b
上为常数，函数在 a , b 内任意点导数为0； 若 M m ，由于 f (a ) f (b)， M 与 m 至少有 一个值在 a , b 内取得，即 a, b 使 f ( ) m （或 M ）， 由费马定理知 f ( ) 0.
y
y f (x)
判断 右图 极值 点
x5 x6
ax
1
o
x2
x3
x4
b
x
费马引理 设 f ( x ) 在 x0 的某一邻域 U ( x0 ) 有定义，
且在 x0 点处可导，若 f ( x0 ) 是 f ( x ) 在 U ( x0 ) 上的 极值，则 f ( x0 ) 0.
通过研究 费马引理的证明仅需利用函数极值的特点， 函数 f ( x ) 在 x0 点的左右导数即可． 如若 f ( x0 ) 是极大值，可证得
上连续，在 a , b 内可导， 则至少存在一点 a, b ，
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
y f ( x)
M N
D
B
A
o a
1
x
2 b
x
定理2（拉格朗日中值定理） 设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续，在 a , b 内可导， 则至少存在一点 a , b ，
f ( x ) 的极大（小）值．
y y
o
x0
x
o
x0
x
极大值点: x2，x5
极小值点: x1，x4，x6
非极值点: x3
若在这些极值点上作函数曲线的切线，其都为 水平切线 水平切线.若函数在这些点可导，则 斜率为0 f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x4 ) f ( x5 ) f ( x6 ) 0 这个结论是法国数学家费马得到的．