南京师大附中 2022-2023 学年度第 1 学期期中考试数学试卷及参考答案

南京师大附中2022－2023学年度第1学期
高一年级期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|x∈A且x∈B}，集合A＝{3，4，5，6，7}，集合B＝{2，4，6，8}，则M＝
A．{4，5，6}B．{5，6，7}C．{2，8}D．{3，5，7} 2．已知α为实数，使“∀x∈[3，4]，x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A．a≥4B．a≥5C．a≥3D．a≤5
3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是
A．若a＜b，1
a＞1
b
B．若a＞b＞0，则b＋1
a＋1
＜
b
a
C．若a＞b，ac2≥bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b 4．设a log29＝3，则9－a＝
A．1
81B．1
9
C．1
8
D．1
6
5．设m为实数，若二次函数y＝x22x＋m在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点，则m的取值范围是
A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．R
6．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg2≈0．3010，lg3≈0．4771，设，N＝45×910，则N所在的区间为
A．(1010，1011)B．(1011，1012)C．(1012，1013)D．(1013，1014) 7．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，在下列不等式中，一定成立的是
A．f(－1)＞f(－2)B．f(－1)＜f(－2)C．f(－2)＞f(1)D．f(－2)＜f(1) 8．已知函数f(x)是定义域为区间[－1，3]，且图象关于点(1，1)中心对称．当1＜x≤3时，
f (x )＝x ＋1－1x
，则满足f (x －1)＋f (x )≤2的x 的取值范围是A ．[－1，1]B ．[32，＋∞]C ．[0，32]D ．[32
，3]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．
9．若“∃x ∈M ，x ＜0”为真命题，“∃x ∈M ，x ≥3”为假命题，则集合M 可以是
A ．(－∞，1)
B ．[－1，3]
C ．[0，2)
D ．(－3，3)
10．下列说法正确的是
A ．“a ＞1”是“1a
＜1”的充分不必要条件B ．命题“∀x ＞1，x 2＜1”的否定是“∃x ≤1，x 2≥1”
C ．“x ≥1”是“x ＋2x －1≥0”的既不充分也不必要条件
D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件
11．设a ，b 为正实数，ab ＝4，则下列不等式中对一切满足条件的a ，b 恒成立的是
A ．a ＋b ≥4
B ．a 2＋b 2≤8
C ．1a ＋1b ≥1
D ．a ＋b ≤2212．已知函数f (x )＝|x |x ＋1
，则A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在[0＋∞)上单调递增
C ．方程f (x )－x ＝0有两个实数根
D ．函数f (x )的值域是(－∞，－1)∪[0，＋∞)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．命题“∃x ∈R ，x ＜1或x ≥2”的否定是．14．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b
；③bc ＞ad ．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则共可组成个正确命题．
15．lg(4＋15＋4－15)的值为_____
16．已知函数f (x )＝[x 2＋(λ－1)x ](x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝1对称．若λ＝2，则a ＋b ＝．，若λ∈[3，4]，函数y ＝f (x )的最小值记为g (λ)，则g (λ)的最大值为．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
化简求值(需要写出计算过程) (1)若100a＝4，10b＝25，求2a＋b的值；
(2)(8
27)－
2
3＋e ln2＋log
1
4
2－log332 log23．
18．(本小题满分12分)
已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合B＝{x|x－5
x≤0}．
(1)设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1，且C⊆(A∩B)，求a的取值范围：
(2)设m为实数，集合D＝{x|x2－(2m＋1
2)x＋m(m＋1
2
)≤0}，若x∈(A∪B)是x∈D的必要不充
分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由．
设a，b，c为实数，且a≠0，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝－2x－1．
(1)求函数f(x)的解析式：
(2)设t∈R，当x∈[t，t＋2]时，求函数f(x)的最大值g(t)(用t表示)．
20．(本小题满分12分)
某高校为举办百年校庆，需要40L氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氮气8L，按计划社团必须在30天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天x L的速度制备氮气．已知每制备1L氦气所需的原料成本为1百元．若氮气日产量不足4L，日均额外成本为W1＝4x2＋16(百元)；若氨气日产
量大于等于4L，日均额外成本为W2＝17x＋9
x－3(百元)．制备成本由原料成本和额外成本两
部分组成．
(1)写出总成本W(百元)关于日产量x(L)的关系式
(2)当社团每天制备多少升氮气时，总成本最少?并求出最低成本．
设定义在R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，恒有f(x－y)＝f(xy－f(y)．若x＞0时，f(x)＜0．
(1)判断f(x)的奇偶性，并加以说明；
(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；
(3)设k为实数，若∀t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)＞0恒成立，求k的取值范围．
22．(本小题满分12分)
设a为实数，已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)
x2－
1
|x|为偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；
(3)已知λ为实数，存在实数m，n0＜n＜m，当函数f(x)的定义域为[1
m，1
n
]时，函数f(x)
的值域恰好为[2－λm，2－λn]，求所有符合条件的λ的取值集合．
南京师大附中2022－2023学年度第1学期
高一年级期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|x∈A且x∈B}，集合A＝{3，4，5，6，7}，集合B＝{2，4，6，8}，则M＝
A．{4，5，6}B．{5，6，7}C．{2，8}D．{3，5，7}
2．已知α为实数，使“∀x∈[3，4]，x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A．a≥4B．a≥5C．a≥3D．a≤5
3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是
A．若a＜b，1
a＞1
b
B．若a＞b＞0，则b＋1
a＋1
＜
b
a
C．若a＞b，ac2≥bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b
4．设a log29＝3，则9－a＝
A．1
81B．1
9
C．1
8
D．1
6
5．设m为实数，若二次函数y＝x2－2x＋m在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点，则m的取值范围是
A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．R
6．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg2≈0．3010，lg3≈0．4771，设，N＝45×910，则N所在的区间为
A．(1010，1011)B．(1011，1012)C．(1012，1013)D．(1013，1014)
7．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，在下列不等式中，一定成立的是
A．f(－1)＞f(－2)B．f(－1)＜f(－2)C．f(－2)＞f(1)D．f(－2)＜f(1)
8．已知函数f(x)是定义域为区间[－1，3]，且图象关于点(1，1)中心对称．当1＜x≤3时，f(x)＝x＋1－1
x，则满足f(x－1)＋f(x)≤2的x的取值范围是
A．[－1，1]B．[3
2，＋∞]C．[0，3
2
]D．[3
2，3]
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．若“ x∈M，x＜0”为真命题，“∃x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是A．(－∞，1)B．[－1，3]C．[0，2)D．(－3，3)
10．下列说法正确的是
A．“a＞1”是“1
a＜1”的充分不必要条件
B．命题“∀x＞1，x2＜1”的否定是“ x≤1，x2≥1”
C．“x≥1”是“x＋2
x－1
≥0”的既不充分也不必要条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11．设a，b为正实数，ab＝4，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是
A．a＋b≥4B．a2＋b2≤8C．1
a＋1
b≥1D．a＋b≤22
12．已知函数f(x)＝|x|
x＋1，则
A．f(x)是奇函数B．f(x)在[0＋∞)上单调递增
C．方程f(x)－x＝0有两个实数根D．函数f(x)的值域是(－∞，－1)∪[0，＋∞)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．命题“ x ∈R ，x ＜1或x ≥2”的否定是．
14．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b
；③bc ＞ad ．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则共可组成个正确命题．
15．lg(4＋15＋4－15)的值为_____
16．已知函数f (x )＝[x 2＋(λ－1)x ](x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝1对称．若λ＝2，则a ＋b ＝．，若λ∈[3，4]，函数y ＝f (x )的最小值记为g (λ)，则g (λ)的最大值为．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
化简求值(需要写出计算过程)
(1)若100a ＝4，10b
＝25，求2a ＋b 的值；
(2)(827)－23＋e ln2＋log 142－log 332 log 23．
18．(本小题满分12分)
已知集合A ＝{x ||x |－2≤0}，集合B ＝{x |x －5x
≤0}．(1)设a 为实数，若集合C ＝{x |x ≥3a 且x ≤2a ＋1，且C ⊆(A ∩B )，求a 的取值范围：
(2)设m 为实数，集合D ＝{x |x 2－(2m ＋12)x ＋m (m ＋12
)≤0}，若x ∈(A ∪B )是x ∈D 的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m 的取值范围：若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分12分)
设a ，b ，c 为实数，且a ≠0，已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝－2x －1．
(1)求函数f (x )的解析式：
(2)设t ∈R ，当x ∈[t ，t ＋2]时，求函数f (x )的最大值g (t )(用t 表示)．
20．(本小题满分12分)
某高校为举办百年校庆，需要40L 氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氮气8L ，按计划社团必须在30天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天x L 的速度制备氮气．已知每制备1L 氦气所需的原料成本为1百元．若氮气日产量不足4L ，日均额外成本为W 1＝4x 2＋16(百元)；若氨气日产
量大于等于4L ，日均额外成本为W 2＝17x ＋9x
－3(百元)．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．
(1)写出总成本W (百元)关于日产量x (L)的关系式
(2)当社团每天制备多少升氮气时，总成本最少?并求出最低成本．
21．(本小题满分12分)
设定义在R 上的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，恒有f (x －y )＝f (xy －f (y )．若x ＞0时，f (x )＜0．
(1)判断f (x )的奇偶性，并加以说明；
(2)判断f (x )的单调性，并加以证明；
(3)设k 为实数，若∀t ∈R ，不等式f (t －t 2)－f (k )＞0恒成立，求k 的取值范围．
22．(本小题满分12分)
设a 为实数，已知函数f (x )＝
(x ＋1)(x ＋a )x 2
－1|x |为偶函数．(1)求a 的值；
(2)判断f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；
(3)已知λ为实数，存在实数m ，n 满足0＜n ＜m ，当函数f (x )的定义域为[1m ，1n
]时，函数f (x )的值域恰好为[2－λm ，2－λn ]，求所有符合条件的λ的取值集合．。