(详细解析)1992年高考数学全国卷文

1992年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）
考生注意：这份试卷共三道大题（28个小题）．满分120分．考试时间120分钟．用钢笔直接答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一．选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分．在每小题给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题中括号内．
1． 3
log 9log 28的值是 A ．
32 B ．1 C ．23 D ．2 【答案】A 【解析】82lg 92lg 3
log 92lg83lg 2lg 3lg 3log 33
lg 2lg 2
===．
2．已知椭圆116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是A ．2 B ．3 C ．5 D ．7
【答案】D 【解析】由椭圆定义可知1210PF PF +=，所以P 到另一焦点的距离是7．
3．如果函数()sin cos f x x x ωω=的最小正周期是4π，那么常数ω为
A ．4
B ．2
C ．
21 D ．41 【答案】D
【解析】()sin cos sin 2f x x x x ωωω==，由242T ππω=
=，所以14
ω=．
4．在831()2x x -的展开式中常数项是 A ．28- B ．7 C ．7 D ．28
【答案】C
【解析】4883181()(1)2r r r r r T C x --+=-，当4803r -=得6r =，则常数项是26681()(1)72
C -=．
5．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是
A ．6:5
B ．5:4
C ．4:3
D ．3:2
【答案】D
【解析】设球的半径为R ，则22222342
S R R R S R πππ+⨯==圆柱球．
6．图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图像．已知n 取12,2
±±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为
A ．112,,,222--
B ．112,,,222
-- C ．11,2,2,22-- D ．112,,2,22-- 【答案】B
【解析】根据幂函数的性质可知B 正确．
7．若log 2log 20a b <<，则
A ．01a b <<<
B ．01b a <<<
C ．1a b >>
D ．1b a >>
【答案】B
【解析】由log 2log 20a b <<可得22110log log a b
<<，220log log a b >>，所以 01b a <<<．
8．原点关于直线8625x y +=的对称点坐标为
A ．3(2,)2
B ．2525(
,)86
C ．(3,4)
D ．(4,3) 【答案】D
【解析】设对称点坐标(,)x y ，则8625,224()1,3x y y x
⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=-⎪⎩解得4,3,x y =⎧⎨=⎩．
9．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】本小题考查四棱锥中线面位置关系的判断．底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，其四个侧面都是直角三角形．
10．圆心在抛物线2
2y x =上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A ．221204
x y x y +---
= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．221204x y x y +--+= 【答案】D
【解析】设圆心为(,)a b ，则21,22,a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
解得1,12a b ==±，从而得到一个圆的方程为221204x y x y +--+
=．
11．在[0,2]π上满足1sin 2
x ≥的x 的取值范围是 A ．]60[π， B ．]656[ππ， C ．]326[ππ， D ．5[,]6
ππ 【答案】B
【解析】画出图象，可知B 正确．
12．已知直线1l 和2l 夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0ax by c ++= (0)ab >，那么2l 的方程是
A ．0bx ay c ++=
B ．0ax by c -+=
C ．0bx ay c +-=
D ．0bx ay c -+=
【答案】A
【解析】两直线共有y x =对称，则两直线互为反函数，则0ay bx c ++=，则A 正确．
13．如果,(,)2π
αβπ∈且tan cot αβ<，那么必有
A ．αβ<
B ．βα<
C ．32αβπ+<
D ．32
αβπ+> 【答案】C 【解析】方法一：由已知得
3(,)22ππβπ-∈，而3tan cot tan()2παββ<=-，在(,)2
ππ上正切函数单调递增，∴32παβ<-，则32αβπ+<． 方法二：由题设sin cos cos sin αβαβ
<，又cos 0,sin 0αβ<>，所以 cos cos sin sin 0αβαβ-<，即cos()0αβ+<，又(,2)αβππ+∈，故32
παβπ<+<．
14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，
那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是
A ．23
B ．1010
C ．53
D ．5
2 【答案】D
【解析】过1B 作10//B A MA ，交AB 于0A ，作10//B C NC ，交1CC 于0C ，则010A B C ∠即为所求，在010A B C ∆中易得0102cos 5
A B C ∠=
．
15．已知复数z 的模为2，则z i -的最大值为
A ．1
B ．2
C ．5
D ．3
【答案】D
【解析】3z i z i -≤+=．
16．函数2
x x
e e y --=的反函数 A ．是奇函数，它在(0,)+∞上是减函数 B ．是偶函数，它在(0,)+∞上是减函数
C ．是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数
D ．是偶函数，它在(0,)+∞上是增函数
【答案】C
【解析】函数2
x x
e e y --=为奇函数，在(0,)+∞上是增函数，所以其反函数为奇函数，在(0,)+∞上是增函数．
17．如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么
A ．(2)(1)(4)f f f <<
B ．(1)(2)(4)f f f <<
C ．(2)(4)(1)f f f <<
D ．(4)(2)(1)f f f <<
【答案】A
【解析】由题设可得，二次函数开口向上，对称轴为2x =，所以(2)(1)(4)f f f <<．
18．长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为
A ．32
B ．14
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】设长方体的长、宽和高分别为,,a b c ，由题设得11,62
ab bc ac a b c ++=++=
，所以角线长为5==．
二．填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上．
19．]3
1)1(2719131[lim 1
n n n -∞→-+++-
的值为 ． 【答案】4
1 【解析】1
11[1()]1111133lim[(1)]lim 13927341()3n n n n n -→∞→∞---+++-==--．
20．已知α在第三象限且tan 2α=，则cos α的值是 ． 【答案】5
5- 【解析】由已知sin 2cos αα=，22sin (2cos )αα=，化简得21cos 5
α=，由于cos 0α<，
∴cos α=．
21．方程13313
x
x -+=+的解是 ． 【答案】1x =- 【解析】由已知得231333
x x x +=+，化简得23(3)2310x x ⋅+⋅-=，即2(31)(331)0x x +⋅-=， 由于310x +>，所以3310x ⋅-=，解得1x =-．
22．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则
S T 的值为 ． 【答案】128
15 【解析】31010152128
C T S ==．
23．焦点为1(2,0)F -和2(6,0)F ，离心率为2的双曲线的方程是 ．
【答案】()112
4222=--y x
【解析】由已知得28,
2c c a ==，故4,2,c a b ===(2,0)，所以 双曲线的方程是()112
4222=--y x ．
三．解答题：本大题共5小题；共51分．解答应写出文字说明、演算步骤
24．（本小题满分9分）
求22
sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒︒的值．
【解】本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力．满分9分．
22sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒︒
1cos 401cos160sin 60)22-︒+︒=++︒-︒ ——3分
131(cos160cos 40)24
=+︒-︒︒- ——5分
112sin100sin 60422
=-⋅︒︒+︒ ——7分
1sin100422=
-︒+︒ 14
=
． ——9分
25．（本小题满分10分）
设z C ∈，解方程274z z i -=-+．
【解】本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识．满分10分．
设(,)z x yi x y R =+∈．
依题意有74x yi i +-=-+． ——2分
由复数相等的定义，得7,4.x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩
——5分
将②代入①式，得7x -=-． 解此方程并经检验得1253,3x x ==
． ——8分 ∴22534,43
z i z i =+=
+． ——10分
26．（本小题满分10分）
如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，,E F 分别为棱1AA 与1CC 的中点，求四棱锥的11A EBFD -的体积．
【解】本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推
理能力．满分10分． 解法一：∵22115()22
a EB BF FD D E a a ====+=， ∴四棱锥11A EBFD -的底面是菱形． ——2分
连结111,,A C EF BD ，则11//A C EF ．
根据直线和平面平行的判定定理，11A C 平行于
11A EBFD -的底面，
从而11A C 到底面1EBFD 的距离就是11A EBFD -的高． ——4分
设,G H 分别是11,A C EF 的中点，连结1,D G GH ，
则1,FH HG FH HD ⊥⊥．
根据直线和平面垂直的判定定理，有
FH ⊥平面1HGD ，
又，四棱锥11A EBFD -的底面过FH ，根据两平面
垂直的判定定理，有11A EBFD -的底面⊥平面
1HGD ．
作1GK HD ⊥于K ，根据两平面垂直的性质定理，有
GK 垂直于11A EBFD -的底面． ——6分
∵正方体的对角面11AAC C 垂直于底面1111A B C D ，∴190HGD ∠=︒．
在1Rt HGD ∆内，111213,,2222
BD GD a HG a HD a ====． ∴312222a GK a a ⋅=⋅，从而66
GK a =． ——8分 ∴1111111332
A EBFD EBFD V S GK EF BD GK -=⋅=⋅⋅⋅⋅菱形 316123666
a a a a =⋅⋅⋅=． ——10分
解法二：∵22115()22
a EB BF FD D E a a ====+=， ∴四菱锥11A EBFD -的底面是菱形． ——2分
连结EF ，则1EFB EFD ∆≅∆．
∵三棱锥1A EFB -与三棱锥11A EFD -等底同高，
∴111EFD A EFB A V V --=．
∴EFB A EBFD A V V --=1112． ——4分
又11EBA F EFB A V V --=，
∴1112EBA F EBFD A V V --=， ——6分
∵1//CC 平面11ABB A ，
∴三棱锥1F EBA -的高就是1CC 到平面11ABB A 的距离，即棱长a ． ——8分
又1EBA ∆边1EA 上的高为a ．
∴ 111311236A EBFD EBA V S a a -∆=⋅⋅⋅=
． ——10分
27．（本小题满分10分）
在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．
【解】本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力．满分10分．
由⎩⎨⎧==+-.
0,012y y x 得顶点(1,0)A -． ——2分
又AB 的斜率2011(1)AB k -=
=--． ∵x 轴是A ∠的平分线，
故AC 的斜率为1-，AC 所在直线的方程为
(1)y x =-+． ① ——5分
已知BC 上的高所在直线的方程为210x y -+=，故BC 的斜率为2-，BC 所在的直线方程为2(1)y x =-+． ② ——8分
解①，②得顶点C 的坐标为(5,6)-． ——10
28．（本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知3121312,0,0a S S =><．
（Ⅰ）求公差d 的取值范围；
（Ⅱ）指出1212,,...,S S S 中哪一个值最大，并说明理由．
【解】本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）依题意，有
12112(121)1202
S a d ⨯-=+
⋅>， 13113(131)1302S a d ⨯-=+⋅<． 即11
2110,60.a d a d +>⎧⎨+<⎩
——4分 由312a =，得1212a d +=． ③
将③式分别代入①、②式，得⎩⎨
⎧<+>+.03,0724d d 解此不等式组得2437
d -<<-． ——6分 （Ⅱ）解法一：由0d <可知1231213...a a a a a >>>>>．
因此，若112n ≤≤中存在自然数n ，使得10,0n n a a +><，
则n S 就是1212,,...,S S S 中的最大值． ——9分
由于12676()0S a a =+>，137130S a =<．
即6770,0a a a +><，由此得670a a >->．
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----完整版学习资料分享---- 因670,0a a ><．故在1212,,...,S S S 中6S 的值最大．
解法二：1(1)1(122)(1)22
n n n S na d n d n n d ⨯-=+
⋅=-+⨯- 22124124[(5)][(5)]2222d d n d d
=----， ∵0d <，∴2124[(5)]2n d
--最小时，n S 最大． ——9分 当2437d -<<-时，1246(5) 6.52d
<-<， ∴正整数6n =时2124[(5)]2n d --最小，∴6S 最大． ——12分 解法三：由0d <可知1231213...a a a a a >>>>>．
因此，若在112n ≤≤中存在自然数n ，使得10,0n n a a +><， 则n S 就是1212,,...,S S S 中的最大值． ——9分
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒⎩⎨⎧<>021213130211121200111312d a d a S S ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+⇒0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>⇒.0076a a 故在1212,,...,S S S 中6S 的值最大． ——12分 注：如果只答出6S 的值最大，而未说明理由者，在（Ⅱ）中只给3分．。