不等式证明一(比较法)
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第六教时
教材：不等式证明一（比较法）
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，
要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 过程： 一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论 二、作差法：（P13—14）
1． 求证：x 2 + 3 > 3x
证：∵(x 2
+ 3) - 3x = 04
3
)23(3)23()23(32222
>+-=+-+-x x x
∴x 2 + 3 > 3x
2． 已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：b
a
m b m a >++ 证：
)()
()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴
0)
()
(>+-m b b a b m 即：
b a m b m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？
3． 已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5
+ b 5
> a 2b 3
+ a 3b 2
证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )
= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3) = (a + b )(a - b )2
(a 2
+ ab + b 2
)
∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2
+ ab + b 2
> 0
又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0 即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行
走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路
程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为S ，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2，
则：21122,
2
2t n
S
m S S n t
m t =+=+ 可得：mn n m S t n m S t 2)(,221+=+=
∴)(2)()(2])(4[2)(22
221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--
=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。 变式：若m = n ，结果会怎样？
三、作商法
5． 设a , b ∈ R +
，求证：a b b a b
a
b a ab b a ≥≥+2
)(
证：作商：
2
2
2
2
)()
(b a a b b a b a b a b
a b
a
ab b a ---+==
当a = b 时，1)
(2
=-b a b
a
当a > b > 0时，1)(,02,
12
>>->-b
a b
a
b a b a
当b > a > 0时， 1)(,02,
102
><-<<-b a b
a
b a b a
∴2
)
(b
a b a ab b a +≥ （其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
四、小结：作差、作商 五、作业： P15 练习
P18 习题6.3 1—4