重庆市名校2019-2020学年高一下期末质量跟踪监视数学试题含解析

重庆市名校2019-2020学年高一下期末质量跟踪监视数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用数学归纳法证明，从到
，左边需要增乘
的代数式为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
要分清起止项，以及相邻两项的关系，由此即可分清增加的代数式。

【详解】 当时，左边
，
当
时，左边
，
∴从到，左边需要增乘的代数式为
.选B.
【点睛】
本题主要考查学生如何理解数学归纳法中的递推关系。

2．直线l ：x+y ﹣1＝0与圆C ：x 2+y 2＝1交于两点A 、B ，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B 2
C ．1
D ．22【答案】B 【解析】 【分析】
利用直线和圆相交所得弦长公式222r d -. 【详解】
圆的圆心为()0,0，半径为122
222122AB ⎛⎫
=-=
⎪ ⎪⎝⎭
本小题主要考查直线和圆相交所得弦长的计算，属于基础题. 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()n
n S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前10项的
和是（ ） A ．290 B ．
920
C ．
511
D ．
10
11
【答案】C 【解析】 【分析】 由2(1)()n
n S a n n N n
*=
+-∈得{}n a 为等差数列，求得()43n a n n N *=-∈，得1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫
==- ⎪+++⎝⎭
利用裂项相消求解即可
【详解】 由()2(1)n
n S a n n N n
*=
+-∈得2(1)n n S na n n =--， 当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=， 所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =， 所以(
)43n a n n N
*
=-∈，从而()
2133222(1)2
n n n a a S
n n n n n n ++=
+=+=+， 所以
1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫
==- ⎪+++⎝⎭
，
数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.
故选C . 【点睛】
本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得{}n a 是等差数列是本题关键，是中档题
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差3d =，68a =，则10S 的值为( ) A ．65 B ．62
C ．59
D ．56
【答案】A 【解析】
【详解】
565a a d =-=，所以()
()1101056105652
a a S a a +=
=+=，
故选A. 【点睛】
一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）()
1,1,2,
,2
k n k n n a a S k n +-+=
= 且()2121n n S n a -=- ；
（3）2
n S An Bn =+且n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列； （4）232,,,
n n n n n S S S S S -- 为等差数列.
5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，46S =，则6S =（） A ．14 B ．18
C ．36
D ．60
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知结合等比数列的求和公式可求，1
1a q
-，q 2，然后整体代入到求和公式即可求． 【详解】
∵等比数列{a n }中，S 2＝2，S 4＝6， ∴q≠1，
则()(
)
214
112
1161a q q a q
q ⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪
-⎩
，
联立可得，
1
1a q
=--2，q 2＝2， S 6()
61
11a q q
=
⨯-=--2×（1﹣23）＝1．
本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，考查了整体代入的运算技巧，属于基础题． 6．函数()=sin 2cos 2f x x x +的最小正周期是（ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．π
D ．2π
【答案】C 【解析】 【分析】
将函数()f x 化为2sin(2)4
x π
+，再根据周期公式可得答案.
【详解】
因为()=sin 2cos 2f x x x +=2sin(2)4
x π
+，
所以最小正周期22
T π
π==. 故选：C 【点睛】
本题考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了正弦型函数的周期公式，属于基础题.
7． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A ．2
B ．3
C ．10
D ．15
【答案】C 【解析】 【分析】
根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】
设阴影部分的面积是s ，由题意得
，选C.
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
8．已知函数()()4sin cos 022x x
f x ωωω=⋅>在区间2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值为2，则ω的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．[
)1,+∞ D ．13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
化简函数()f x 为正弦型函数，根据题意，利用正弦函数的图象与性质求得ω的取值范围. 【详解】
解：函数()()4sin cos
2sin 02
2
x
x
f x x ωωωω=⋅=>
则函数在,22ππωω⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是含原点的递增区间； 又因为函数()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上是单调递增，
则2,,2322ππππωω⎡⎤⎡⎤
-
⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 得不等式组22
,232π
πωππω
⎧-≤-⎪⎪⎨
⎪≤⎪⎩ 又因为0>ω， 所以解得3
04
ω<≤
. 又因为函数()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值为2， 可得02π
πω
≤≤， 所以12
ω≥
， 综上所述，可得13,ω⎡⎤
∈.
本题主要考查了正弦函数的图像和性质应用问题，也考查了三角函数的灵活应用，属于中档题. 9．下列平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如图所示几何体的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
A.是一个圆锥以及一个圆柱; C.是两个圆锥; D. 一个圆锥以及一个圆柱;所以选
B.
10．一游客在A 处望见在正北方向有一塔B ，在北偏西45︒方向的C 处有一寺庙，此游客骑车向西行1km 后到达D 处，这时塔和寺庙分别在北偏东30和北偏西15︒，则塔B 与寺庙C 的距离为( ) A ．2km B ．3km
C ．2km
D ．1km
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据题干描述，画出ABCD 的相对位置，再解三角形． 【详解】
如图先求出AC ，AB 的长，然后在ABC ∆中利用余弦定理可求解．
在ABD ∆中，1AD =，可得3AB =
在ACD ∆中，1AD =，105ADC ∠=︒，30DCA ∠=︒， ∴
sin sin AC AD ADC DCA =∠∠，∴sin 62
sin AD ADC AC DCA ⋅∠+==
∠． 在ABC ∆中，222843622
2cos 453232BC AC AB AC AB ++=+-⋅⋅︒=-=，
【点睛】
本题考查正余弦定理解决实际问题中的距离问题，正确画出其相对位置是关键，属于中档题．
11．已知函数f （x ）22
3
3x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f[f （2）]＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】
由题[]2
2(2)(2)(4)log 42f f f f ====.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型.
12．正四棱柱的高为3cm,
体对角线长为17cm,则正四棱柱的侧面积为( ) A ．10 B ．24
C ．36
D ．40
【答案】B 【解析】 【分析】
设正四棱柱1111ABCD A B C D -，设底面边长为x ，由正四棱柱体对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱的平方和，可得关于x 的方程. 【详解】
如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -，设底面边长为x ，
则22223(17)x x ++=，解得：2x =，
本题考查正棱柱的概念，即底面为正方形且侧棱垂直于底面的几何体，考查几何体的侧面积计算. 二、填空题：本题共4小题
13．正项等比数列{}n a 中，存在两项(
)*
,,m n a a m n N ∈14a =，且7652a a a =+，则
15m n
+的最小值为______. 【答案】74
【解析】 【分析】
先由已知求出公比q 14a =求出,m n 满足的关系，最后求出15
m n
+的所有可能值得最小值． 【详解】
设数列公比为q ，由7652a a a =+得25552a q a q a =+，∴2
20q q --=，解得2q
（1q =-舍去），
14a =14a =，6m n +=，∵,*m n N ∈， 所以(,)m n 只能取(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，依次代入
15m n +，15m n +分别为2，74，2，114，26
5
，
最小值为7
4． 故答案为：7
4
．
【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查求最小值问题．解题关键是由等比数列性质求出,m n 满足的关系6m n +=．
接着求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本题实质上由于,*m n N ∈，因此对应的(,)m n 只有5个，可以直接代入求值，然后比较大小即可．
14．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝6，AB ＝8，点M 为△ABC 内切圆的圆心，过点M 作动直线l 与线段AB ，AC 都相交，将△ABC 沿动直线l 翻折，使翻折后的点A 在平面BCM 上的射影P 落在直线BC 上，点A 在直线l 上的射影为Q ，则
PQ AQ
的最小值为_____．
【答案】25 【解析】 【分析】
以AB ，BC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l 的斜率为k ，用k 表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．
过点M 作△ABC 的三边的垂线，设⊙M 的半径为r ，则r 6810
2
+-==2， 以AB ，BC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则M
（2，2），A （0，8），
因为A 在平面BCM 的射影在直线BC 上，所以直线l 必存在斜率， 过A 作AQ ⊥l ，垂足为Q ，交直线BC 于P ， 设直线l 的方程为：y ＝k （x ﹣2）+2，则|AQ|2
261
k k +=
+，
又直线AQ 的方程为：y 1
k
=-
x+8，则P （8k ，0），所以|AP|26464k =+=821k +， 所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝82
2
2611
k k k ++-
+，
所以
(
)281126
k PQ AQ
k +=
-+，
①当k ＞﹣3时，
(
)281126
k k +-=+4（k+3）40
3
k +
-+25≥810-25， 当且仅当4（k+3）40
3
k =
+，即k 10=-3时取等号； ②当k ＜﹣3时，则
(
)281126
k k +-=-+4（k+3）40
3
k -
++23≥810+23， 当且仅当﹣4（k+3）40
3
k =-+，即k 10=--3时取等号. 故答案为：810-25
【点睛】
本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【答案】4 【解析】 【分析】
由题意将2
3111a a a =表示为1,a d 的方程组求解得123a d =
，即可得等比数列的前三项分别为23d ﹑8
3
d 、
32
3
d ，则公比可求 【详解】
由题意可知，2
3111a a a =，又因为312a a d =+，11110a a d =+，代入上式可得12
3
a d =
，所以该等比数列的前三项分别为23d ﹑83d 、32
3
d ，所以4q =. 故答案为：4 【点睛】
本题考查等差等比数列的基本量计算，考查计算能力，是基础题 16．直线2230x y +-=的倾斜角为______．
【答案】
34
π 【解析】 【分析】
先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】
由于直线的斜率为1-，故倾斜角为3π
4
. 【点睛】
本小题主要考查由直线一般式方程求斜率，考查斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（x 元）试销l 天，得到如表单价x （元）与销量y （册）数据：
（l ）根据表中数据，请建立y 关于x 的回归直线方程：
（2）预计今后的销售中，销量y （册）与单价x （元）服从（l ）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？
附：1
2
21
ˆn
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-，5
1
5160i i
i x y
==∑，5
21
2010i i x ==∑.
【答案】 (1) ˆˆ4132y
x =-+ (2) 当单价应定为22.5元时，可获得最大利润 【解析】 【分析】
（l ）先计算,x y 的平均值，再代入公式计算得到ˆˆ4132y
x =-+ （2）计算利润为：2
(12)41801584W x y x x =-=-+-计算最大值. 【详解】 解：（1）1819202122205x ++++=
=，6156504845525
y ++++==
5
1
5160i i
i x y
==∑，5
21
2010i i x ==∑
1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx =-=-=-∑∑2
51605205240
4201052010
-⨯⨯-=
==--⨯， ˆˆ52(4)20132a
y bx =-=--⨯= 所以y 对x 的回归直线方程为：ˆˆ4132y
x =-+． （2）设获得的利润为W ，
2(12)41801584W x y x x =-=-+-，
因为二次函数241801584W x x =-+-的开口向下， 所以当22.5x =时，W 取最大值，
所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润． 【点睛】
本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力. 18．已知数列{}n a 满足关系式()10a a a =>，()1
1
22,1n n n a a n n N a --=≥∈+.
（1）用a 表示2a ，3a ，4a ；
（2）根据上面的结果猜想用a 和n 表示n a 的表达式，并用数学归纳法证之.
【答案】（1）221a a a =+，3413a a a =+，4817a
a a =+（2）猜想：()
11
2121n n n a a a --=+-，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明 【详解】
解：（1）1a a =，∴221a a a =
+，3413a a a =+，4817a
a a
=+； （2）猜想：()112121n n n a
a a
--=
+-. 证明：当1n =时，结论显然成立；
假设n k =时结论成立，即()112121k k k a
a a
--=+-，
则1n k =+时，()()()1111122121221211121k k k k k k
k a a a a a
a
a
--+--⋅
+-=
=+-+
+-，即1n k =+时结论成立. 综上，对*n N ∈时结论成立. 【点睛】
本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题 19．数列
，
各项均为正数，其前项和为，且满足
.
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设
，求数列
的前项和
，并求使
对所有的
都成立的最大
正整数的值.
【答案】（1）证明见解析，；（2）3
【解析】 【分析】 （1）由题得
，即得数列
为首项和公差都是的等差数列，再求出
，
再利用项和公式求数列
的通项公式.(2)先求出
，再利用裂项相消求出
，最后解二
次不等式得解. 【详解】
（1）证明：，当时，，
整理得，，
又，
数列为首项和公差都是的等差数列.
，
又，
时，，又适合此式
数列的通项公式为；
（2）解：
依题意有，解得，
故所求最大正整数的值为.
【点睛】
本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),,[90,100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别分组频数频率
第1组[50,60)8 0.16
第2组
[60,70) a
▆
第3组 [70,80) 20
0.40
第4组 [80,90)
▆ 0.08
第5组 [90,100]
2 b
合计
▆
▆
（1）求,,,a b x y 的值；
（2）若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.
【答案】（1）16,0.04,0.032,0.004a b x y ====；（2）3
5
. 【解析】 【分析】
（1）根据频率分布表可得b.先求得[80,90)内的频数,即可由总数减去其余部分求得a .结合频率分布直方图,即可求得,x y 的值.
（2）根据频率分布表可知在[80,90)内有4人,在[90,100]有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】
（1）由频率分布表可得2
0.0450
b =
= [80,90)内的频数为500.084⨯=,
∴508204216a =----= ∴[60,70)内的频率为16
0.3250
= ∴0.32
0.03210
x =
= ∵[90,100]内的频率为0.04
∴0.04
0.00410
y =
= （2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,
设第4组的4人分别为1a 、2a 、3a 、4a ；第5组的2人分别为1b 、2b 从中任取2人的所有基本事件为：
()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()34,a a ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()12,b b 共15个.
至少一人来自第5组的基本事件有：
()11,a b ,()12,a b ,()21,a b ,()22,a b ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ()12,b b 共9个.
所以93155
P =
=. ∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为35
. 【点睛】
本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.
21．已知1:210l x y -+=和2:20l x y +-=的交点为P ． （1）求经过点P 且与直线3:3450x l y -+=垂直的直线的方程
（2）直线l '经过点P 与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且P 为线段AB 的中点，求OAB ∆的面积． 【答案】（1）4370x y +-=；（2）2 【解析】 【分析】
（1）联立两条直线的方程，解方程组求得P 点坐标，根据3l 的斜率求得与其垂直直线的斜率，根据点斜式求得所求直线方程.（2）根据（1）中P 点的坐标以及P 为AB 中点这一条件，求得,A B 两点的坐标，进而求得三角形OAB 的面积. 【详解】 解：（1）联立210
20
x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，解得交点P 的坐标为()1,1，
∵l 与3l 垂直， ∴l 的斜率3143
k k =-
=-，
∴l 的方程为()4
113
y x -=-
-，即4370x y +-=. （2）∵P 为AB 的中点，已知(2,0)A ，(0,2)B ，即2OA OB ==， ∴11
22222
OAB S OA OB ∆=⋅⋅=⨯⨯= 【点睛】
本小题主要考查两条直线交点坐标的求法，考查两条直线垂直斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查三角形的面积公式以及中点坐标，属于基础题.
22．已知函数()()()()()2
cos
cos 0f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π.
（1）求ω的值和函数()f x 的值域；
（2）求函数()f x 的单调递增区间及其图像的对称轴方程. 【答案】（1）1ω=，值域为13,22⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
；（2）单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴方程为
()ππ
26
k x k =
+∈Z . 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式降幂，然后化为()sin y A x b ωϕ=++的形式，由周期公式求出ω，同时求得值域； （2）直接利用复合函数的单调性求得增区间，再由()26
2
x k k Z π
π
π+=
+∈求得对称轴方程.
【详解】
（1）()()()()21cos 2cos cos 222
x f x x x x x ωωωωω+=+=
+
1sin 262x πω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
由22T π
πω
=
=，得1ω=， ()1sin 262f x x π⎛
⎫∴=++ ⎪⎝
⎭，
则函数()f x 的值域为13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦； （2）由()222262
k x k k πππ
π-≤+≤π+∈Z ， 解得(),3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦，
令()26
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈， ∴函数()f x 的对称轴方程为()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈. 【点睛】
本题考查了二倍角公式以及三角函数的图像与性质，掌握正弦函数的性质才是解题的关键，考查了基本知识，属于基础题.。