高数下试卷分类解析-02积分

高数（下）分类解析-积分
2011级
一、4. 假设:01,01D x y ≤≤≤≤, 则
xy D
xe d σ=⎰⎰2e - 5. 设L 为2y x =上()0,0与()1,1之间的弧段，则L
xds =
⎰
四、（本题5分）对于任何不自交的光滑闭曲面∑，设n
是∑上的单位外法向量，Ω是∑所围成的区域，证明：三重积分
divndv Ω
=∑⎰⎰⎰
,的面积 证明 设{}cos ,cos ,cos n αβγ=
，则由于高斯公式条件满足，从而有
cos cos cos divndv dydz dzdx dxdy αβγΩ
∑
=++⎰⎰⎰
⎰⎰
cos cos cos cos cos cos dS dS dS
ααββγγ∑
=⋅+⋅+⋅⎰⎰()222cos cos cos dS dS αβγ∑
∑
=++==∑⎰⎰⎰⎰的面积
五、（本题8分）计
算
(
ln L
y xy x dy ⎡⎤+++⎢⎥⎣
⎦, 其中L 是一段正弦曲线
()sin 2y x x ππ=≤≤沿x 增大方向
解:
令(ln P Q y xy x ⎡⎤=
=+⎢⎥⎣⎦,
则2P
Q y y
x ∂∂==∂∂， 补线段1:0,:2L y x ππ=→
从而111112
2L L L L L L L D L D Q P dxdy y dxdy xdx x y π
π
+-+⎛⎫∂∂==-==--=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()20
2222
2
322
2sin 11113sin 3sin cos 23232
x
dx y dy x xdx xd x ππππ
π
πππππ=-=---=+
⎰⎰⎰⎰24392π=+ 另解
原式(2
12ln L
L
xy dy y x dy I I =+
+=+⎰
222233
3221sin sin sin sin sin 333L x x x
x I xy dy x xd x xd
dx π
π
π
π
π
π
π
π
==
=
=-⎰⎰
⎰
⎰
23
sin 3x x
π
π
= ()222232
23sin 1
11140sin cos 1cos cos cos cos 333339x dx xd x x d x x x π
π
π
π
π
ππ
π⎛⎫-=+
=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰
对于(2ln L
I y x dy =
+⎰
，由于令(ln P Q y x ==,
则
P Q
P Q
y
x
y x
∂∂∂∂==⇒
=
∂∂∂∂在原点以外成立，从而该曲线积分与路径无关，可以改变积分路径，取容易积分的曲线0,:2y x ππ=→为积分路径
得(
222
223ln 2
2L
x I y x dy xdx π
π
π
π
π=
+=
=
=⎰
，故原式24392
π=+
六、（本题8分）计算
1
dS z ∑
⎰⎰, 其中∑是球面2222x y z a ++=在平面()0z h h a =<<之上的部分 解
由题意曲面为z =
z z x y ∂∂==
∂∂
则dS ==
从而
222
11
xy
xy
D D dS a dxdy z a x y ∑==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()(
22
222
22
220
12ln 2
d a r r
a d dr a a r a r a r π
ππ-===-----⎰()()22ln ln 2ln ln 2ln
a
a h a a a h a h
πππ=--=-= 七、（本题8分）计算曲面积分()2
I z x dydz zdxdy ∑
=+-⎰⎰,其中∑为()2
212
z x y =+介于0z =与2z =之间的部分得的下侧. 解 补平面区域()2
2
1:24z x y ∑=+≤取上侧. 两曲面形成封闭曲面的外侧, 围成Ω
由高斯公式
()()12
110z x d y d z z d x d y d v ∑+∑
Ω
+-=-
=⎰⎰⎰⎰⎰ ()1
2
28D
z
x dydz zdxdy dxdy π∑+-=-=-⎰⎰⎰⎰
故 原式0(8)8ππ=--= 2010级
1. 一．3. 假设L 为圆2
2
2
x y a +=的右半部分,
则L
=2a π
二、 （本题8分）计算三重积分
()2
22x
y z dv Ω
++⎰⎰⎰,其中Ω是由2221x y z ++=所围成的闭区域.
解 原式21
4
4sin 5
d d d π
ππ
θϕρϕρ=
=⎰⎰⎰
五、（本题8分）计算
22L
xdy ydx
x y -+⎰ ,其中L 为 (1)圆周()()2
2
111x y -+-=(按反时针方向) (2)圆周1x y +=(按反时针方向)
解: (1)令2222,y x
P Q x y x y -==++,则()22222P y x Q y x
x y ∂-∂==∂∂+在所围区域每点成立 从而由格林公式
220L D xdy ydx
Q P x y x y ⎛⎫-∂∂=-= ⎪+∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰ (2)取1L 为圆周2
2
0.01x y +=(按反时针方向)
则在1L 和L 中间的区域1D 内每一点成立()22222P y x Q
y x
x y ∂-∂==∂∂+ 从而由格林公式
11220L L D xdy ydx
Q P x y x y -⎛⎫-∂∂=-= ⎪+∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰ 111
2222111
220.0120.010.010.01L L L D xdy ydx xdy ydx xdy ydx dxdy x y x y ππ--==-==⋅⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰ 六、（本题8分）计算
ydS ∑
⎰⎰,∑是平面被圆柱面截出的有限部分
解 平面的法向量为{
}
}1,1,1,1,1,1,cos n n γ==
=
0xy
D ydS ∑
==⎰⎰⎰⎰
(由对称性)
七、（本题8分）计算曲面积分2I yzdzdx dxdy ∑
=+⎰⎰,其中∑
为上半球面z =
.
解 取一曲面()2
21:0
4z x
y ∑=+≤,下侧. 两曲面形成封闭曲面的外侧,围成Ω
有高斯公式
1
22
2
3
2cos sin 4yzdzdx dxdy zdv d d d π
π
θϕρϕϕρπ∑+∑Ω
+==
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
228D
yzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰
故 原式12π=
2009级 一、2、[4分
]
L
=⎰
, 其中222:L x y a +=
5、[4分]交换二次积分的积分次序()()()2
1
31
3
2
1
,,x x dx
f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰
四、 [8分]
求锥面z =
被圆柱面222x y x +=
）
五、 [8分]
计算2
a
⎰⎰（答案：28
9a ）
六、 [8分]计算曲面积分I xyzdydz ydzdx zdxdy ∑
=++⎰⎰，其中∑
为半球面z =
（答案：3
43
R π） 七、[7分] 计算曲线积分()()22
11L x dy ydx
x y
---+⎰，其中L 表示包含点(0,1)A -内的简单闭曲线,沿逆时针方向。

（答案：2π）
2008级
4、[4分] 交换二次积分的积分次序()2
220
,y y dy
f x y dx =⎰⎰(
)40
2
,x dx f x y dy ⎰
5、[4分]设曲面∑为柱面22
1x y +=介于平面0z =与1z =部分的外侧，则曲面积分
()2
2x
y dxdy ∑
+=⎰⎰ 0 ，
()2
2x
y dS ∑
+=⎰⎰2π
四、 [7分] 求球面2
2
2
4x y z ++=含在圆柱面2
2
2x y x +=内部的那部分面积
解：上半球面的部分为221::2z D x y x ∑=
+≤
x y z z dS =
=
=
()1
1
2cos 2
00
22882S dS d π
θ
θ
π∑∑====-⎰⎰⎰⎰
五、 [7分] 计算三重积分
()2
x y z dv Ω
--⎰⎰⎰，其中Ω.是由单位球面222
1x y z ++=围成的闭区域
解：由对称性
0xydv yzdv zxdv Ω
Ω
Ω
===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而
()()21
2
2
2
2
22
sin x y z dv x
y z dv d d r r dr ππθϕϕΩ
Ω
--=++=
⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()1
1
540
042sin 2cos 55
r d r dr ππ
πϕϕπϕπ==-⋅=⎰⎰ 六、 [7分]计算曲面积分
()()()2
3z
x dydz x y dzdx y z dxdy ∑
+-+-+⎰⎰，其中∑
是圆锥面z =位
于平面之间下方部分的下侧 解：取221:2,:4z D x y ∑=+≤上侧 则原式()()()1
1
2
131122223
dv y dxdy dv y dxdy πΩ
∑Ω
∑=
-----=++=⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()22
sin 2d r rdr
π
θθ+⎰⎰2
2223200008888832sin sin 4cos 43333333r r d d π
πππθθπθθπθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰
七、[7分] 计算曲线积分
()
2
L
ydx xdy
x y --⎰，其中L 表示第四象限内以(0,1)A -为起点(1,0)B 为终点的光滑曲线。

解：由于()()()()()2
2432x y x x y x x y x x y x y x y ⎛⎫--⋅-∂-+=-= ⎪ ⎪∂---⎝⎭， ()()()()()()
2
243
21x y y x y y x y
y x y x y x y ⎛⎫--⋅--∂+== ⎪ ⎪∂---⎝⎭ 从而只要路径不经过直线y x =，该曲线积分就与路径无关 取路径1,:01y x x =- ，()
11
2
2
00
111L
ydx xdy
x x
dx dx x y ---==-=--⎰⎰⎰ 2007级
5、[4分]设L 为取逆时针方向的圆周2
2
9x y +=，则曲线积分
()()2
224L
xy y dx x x dy -+-=⎰ 18π- 6、设L 为直线y x =上由点()0,0A 到点()1,1B 之间的一段，则曲线积分2L
xy ds =
⎰
4
. 二、[7分] 计算二重积分
2
22,x y D
xy e d D σ⎰⎰.
是由1,0y x x ==所围成的闭区域
解：作图知:01,0D y x ≤≤≤≤
()
2
222
1
1
1
220
2112
x y
x y
x y
y D
e xy e d xy e dx y e dx y e dy σ⎡===-=-⎣
⎰⎰⎰⎰⎰
三、
[7分] 计算三重积分zdv Ω
⎰⎰⎰，其中Ω.由22222
2
x y z z x y ⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定 解：由交线222
2
1222
220,1,2x y z z z z z z x y
⎧++=⎪⇒+-===-⎨=+⎪⎩（舍去） 于是投影区域为22:1D x y +≤，Ω
柱坐标下为202,01,r r z θπ≤≤≤≤≤≤
()2
21
21
4624
20
00
11172124612r zdv d d r r r dr π
π
πθθπΩ
⎛⎫==--=--= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
四、
[7分] 计算
()()2222
2xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑
+-++⎰⎰
，其中∑
为半球z =侧
解：令2221:0,z x y a ∑=+≤取下侧。

则1∑+∑为半球体Ω的外侧，由高斯公式 原式()()()1
2
2222222x
y z dv xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy Ω
∑=
++-+-++⎰⎰⎰⎰⎰
[]2252
222
00
000
0sin 22cos 2sin 5a
a
a D d d d xydxdy d rco r rdr
π
π
ππ
ρθϕρϕρπϕθθθ+⎡⎤=
+=-+⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰425
25
22sin 5
4
5
a
r a a πππθ=+=
（用对称性可以简化计算） 五、
[7分] 计算
()1x y dS ∑
++⎰⎰，其中∑为抛物面()()22
1
012z x y z =+≤≤
解：,,x y z x z y dS ===，投影区域为22
:2D x y +≤
由对称性，原式(
()
220
22
1113
3
dS d r π
ππ∑
=
=
=+=
⎰⎰⎰
2006级
3. 已知曲面()2
2
:10z x y
z ∑=--≥
，则222∑
=（ B ）
(A ）2π； (B) π； (C) 1； (D)
12
π 2．曲线L 为从原点到点(1,1)
的直线段，则曲线积分L
⎰
的值等于1-
3．交换积分次序后，
ln 1
(,)e x dx f x y dy =
⎰
⎰
10
(,)y
e e dy
f x y dx ⎰
⎰
三、（本题7分）计算二重积分D
xyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2
y
x =及直线2y x =-所围成的闭区域
解：2
221
45
8
y y I dy xydx +-=
=
⎰
⎰
四、（本题7分）计算三重积分
zdv Ω
⎰⎰⎰
，其中Ω是由柱面22
1x y +=及平面0,1z z ==所围成的闭区域 解：11
20
1,.2
2
D
I z dz or d zdz π
π
πσ=
=
=
⎰
⎰⎰⎰
五、（本题7分）计算
xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()221z x y z =+≤的上侧 解：3
2
xy
D I dv dxdy π
Ω
=-+=-
⎰⎰⎰⎰⎰
六、（本题7分）计算
()()
3133x y
x y
L
ye
x y dx xe x y dy
+-+++-+⎰，其中L 为从点(),0a -沿椭
圆y =-(),0a 的一段曲线
解：4(31)22a
a
D
I dxdy x dx ab a π-=
++=+⎰⎰⎰
十二、（化工类做，本题7分）设曲线积分()2L
xy dx y x dy ϕ+⎰
与路径无关，其中()x ϕ连续可导，且()00ϕ=，
计算
()(
)
()
1,120,0xy dx y x dy ϕ+⎰
解：()()2
2,,xy y x x x ϕϕ'==()(
)
()
1,120,01
2
xy dx y x dy ϕ+=
⎰ 2005级
4、[3分]设平面曲线L
为下半圆周y =()2
2L
x
y ds +=⎰
(A)π； (B) 2π； (C)3π； (D)4π
5、[3分]
累次积分21
1
1x y e dy y +⎰
42
2
1
x
y x dx e dy y =⎰⎰ (A)e ； (B) 2e ； (C) 3e ； (D) 4e
5、[3分]设∑为球面2222x y z a ++=的外侧，则曲面积分
()
3
2
22
2
xdydz ydzdx zdxdy
x
y z
∑
++=++⎰⎰
.
六、计算题[8分]设积分域为22:4,0,0D x y x y +≤≥≥，试计算二重积分()22
sin D
x y d σ+⎰⎰ 七、计算题[8分]计算三重积分
zdv Ω
⎰⎰⎰
，式中:2z z Ω≥≤≤ 八、b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）设()f x 在(),-∞+∞上有连续的一阶导数，求曲线积分
()()22211L
y f xy x dx y f xy dy y y +⎡⎤+-⎣⎦⎰，L 为从点23,3A ⎛⎫
⎪⎝⎭到点()1,2B 的直线段 九、 计算题[8分]计算曲面积分()x y z dS ∑
++⎰⎰，其中∑为上半球面()2222
0x y z R z ++=≥。