隐函数的微分法

确认隐函数的存在性.下面来探讨隐函数存在定理，并根
据多元复合函数的求导法则来导出隐函数的导数公式，
本节中的定理不作严格证明，仅给出推导过程.
一、一个方程的情形
定 理1
（一元函数存在定理）设函数F(x,y)满足如下条件： （1）在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数. （2） F(x0,y0)=0，Fy(x0,y0)≠0. 则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续导数的函数y=f(x)，且满足条件y0=f(x0)，并有
同理,可得
二、方程组的情形
引例说明为方便起见，取V,T为自变量，于是 S=S(V,T),E=E(V,T).因此有
将上式代入
，得
二、方程组的情形
再由状态方程
整理可得
又由
可得
化简得 此结果表明，气体的内能仅是温度的函数，与体积无关.
谢谢聆听
一、一个方程的情形
定理推导
将z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F［x,y,f(x,y)］≡0,将等式 两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得
因为Fz连续，且Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个 邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得
一、一个方程的情形
【例2】
设
解 设Fx,y,z=ez－z+xy－3,则
于是
Fx=y,Fz=ez－1,
一、一个方程的情形
【例3】
设z=z(x,y)是由方程f(y－x,yz)=0所确定的隐函数，其 中f有二阶连续偏导数，求
解 方程两边同时对x求偏导,得
即
，再一次对x求偏导得
一、一个方程的情形
整理得
二、方程组的情形
在满足条件时，一个方程组
一、一个方程的情形
定理推导
y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式F［x,f(x)］≡0，对等式 两边再关于x求导，得
又Fy连续，且Fy(x0,y0)≠0，所以存在(x0,y0)的一个邻 域，在这个邻域内Fy≠0，因此
一、一个方程的情形
【例1】
求由方程xy=yx所确定的隐函数的导数 解 设F(x,y)=xy－yx，则 由Fx=yxy－1－yxln y,Fy=xyln x－xyx－1，故
可以确定一对
二元函数.例如，由方程 xu-yv=0,yu+xv=1可以整理出两个二元函数
，据此可求其偏导数.但实际上，
更多的情况是无法显化出对应的函数u,v，那么根据原方程组直接求 u,v的偏导数就成为必要.
二、方程组的情形
定 理3
设Fx,y,u,v,Gx,y,u,v在点Px0,y0,u0,v0的某一邻域内具有对各 个变量的连续偏导数.又Fx0,y0,u0,v0=0,Gx0,y0,u0,v0=0,且偏导数 所组成的函数行列式
二、方程组的情形
在点Px0,y0,u0,v0不等于零,则方程组
在点Px0,y0,u0,v0的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有 连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件 u0=ux0,y0,v0=vx0,y0,并有
二、方程组的情形
二、方程组的情形
定理推导
设方程组
确定一对具有连续偏
从而解上述线性方程组，得
二、方程组的情形
在 的条件下，有
二、方程组的情形
【例5】
设函数x=xu,v,y=yu,v在点u,v的某一邻域内连续且有 ,证明方程组
在点x,y,u,v的某一邻域内唯一确定一组连续且有连续偏导 数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)，并有
二、方程组的情形
证明
将方程组
逆变化中，气体的内能E与熵S满足
，如
果结合状态方程pV=RT，不妨讨论一下气体的内能与体积和
温度哪个关系更大.
一、一个方程的情形
第二章已经给出了隐函数F(x,y)=0不经显化直接由
方程求导数的方法，如对x2+12+y2=0，就可以直接求
得
，但进一步分析就会发现，这个
隐函数显然是不存在的.由此可见，在求导之前，应首先
隐函数的微 分法
第四节 隐函数的微分法
引例
引例在用数学方法探讨物理问题时，往往会发现物理
公式中并没有明显的自变量和因变量，如气体的状态方程为
pV=RT，其中p为压强、V为体积、T为绝对温度、R为常数.
像这样的公式，从数学角度上讲，就是隐函数.那么隐函数中
变量的变化率如何分析呢？以气体内能模型为例，在气体可
导数的二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),则
将恒等式两端分别对x（或对y）求导，应用复合函数 求导法则得
二、方程组的情形
【例4】
设 解 下面直接利用定理3的结论来求解.当然也可依照推 导定理3的方法来求解.
二、方程组的情形
这是关于
的线性方程组.由假设可知，在点
P(x0,y0,u0,v0)的一个邻域内，系数行列式
改写成如下形式
按假设
二、方程组的情形
由定理3知，方程组
在点x,y,u,v的某一邻域内唯一确定一组连续且有连续偏导数的函数
u=u(x回方程组
得
将上述恒等式两边分别对x求偏导数,得
二、方程组的情形
这是关于
的线性方程组，由于J≠0,故可解得
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.
一、一个方程的情形
定 理2
（多元函数存在定理）设函数F(x,y,z)满足如下条件： （1）在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数. （2） F(x0,y0,z0)=0，Fz(x0,y0,z0)≠0. 则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足条件z0=f(x0,y0)， 并有