遂宁市高中2021届第三学期教学水平监测数学（文科）

高二数学（文科）试题第1页（共14页）
遂宁市高中2021届第三学期教学水平监测
数学（文科）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间
120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分
60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡
上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水
签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过点
(1,1)且斜率不存在的直线方程为A ．
1
y B ．
1
x C ．
y x
D ．
1
y x 2．空间直角坐标系中
A B 、两点坐标分别为(2,3,5)、(3,1,4)则A B
、两点间距离为A ．2 B ．
5
C ．
6
D ．6
3．若方程2
2
20x
y
a
表示圆，则实数a 的取值范围为
A ．0
a
B ．
0a C ．0
a D ．
a 4．直线1:3
0l ax
y
和直线2:(2)2
0l x
a y
平行，则实数a
的值为
高二数学（文科）试题第
2页（共14页）
A ．3
B ．
1
C ．
2D ．3或1
5．在棱长为1的正方体1111ABCD
A B C D 中，异面直线AC 与1BD 所
成的角为A ．4B ．
3
C ．
2
D ．
6
6．设
,m n 是两条不同的直线，
,
是两个不同的平面，下列四个命题
为假命题的是A ．若,//m n ，则
m n ；
B ．若面，面，l ，则l
面C ．若,//,//,//,//
m n
A m m n n ，则
//
.
D ．若
，a
，则a
7．若实数
x y 、满足不等式组
10
x
y x y x
，则
2Z x y 的最小值为
A ．0
B ．1
C ．
3
D ．9
8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮
转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，
相
对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数
2sin
8
y x 的图象分割为两个对称的鱼
形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为
4，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为
高二数学（文科）试题第3页（共14页）
A ．
136
B ．
118
C ．
116
D ．
18
9．如图所示，1111ABCD
A B C D 是长方体，O 是11B D 的中点，直线
1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是
A ．,,A M O 三点共线
B ．1,,,A M O A 不共面
C ．,,,A M C O 不共面
D ．1,,,B B O M 共面10．若直线1:1l y
kx k
与直线2l 关于点(3,3)对称，则直线2l 一定
过定点A ．(3,1)B ．2,1（）
C ．5,5（）
D ．(0,1)
11．已知长方形
ABCD 的长AB 为8，宽AD 为6，沿对角线AC 折起，形成四面体D
ABC ，则该四面体外接球的表面积为
A ．25
B ．
1256
C ．
5003
D ．100
12．坐标原点0,0O （）
在动直线220mx ny
m n
上的投影为点P ，
若点Q （-1,-1)，那么PQ 的取值范围为
A ．
232
，B ．
22
，2C ．2232，D ．2
1，3
高二数学（文科）试题第4页（共
第Ⅱ卷（非选择题，满分
90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．直线1y
x 与直线1y
kx 垂直，则实数k 的值为
▲
14．如图，这是某校高一年级一名学生七次数
学测试成绩（满分100分）的茎叶图. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方
差是
▲
15．两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为▲
16．已知点
P 是直线254
0x
y 上一动点，,PA PB 是圆2
2
:(1)
1C x y
的两条切线，
,A B 为切点，则弦
AB 长的最小
值为
▲
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）
如图，在底面是矩形的四棱锥
P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，
E是PD的中点。

PB平面EAC；
（1）求证：//
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD.
▲
18．（本小题12分）
“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展。

扫黑
除恶期间，大量违法分子主动投案，某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计，y表示第x天主动投案的人数，得到统计表格
如下：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 3 4 5 5 5 6 7 （1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小
y bx a；
二乘法求出y关于x的线性回归方程?
（2）判定变量x与y之间是正相关还是负相关。

（写出正确答案，不用说明理由）
（3）预测第八天的主动投案的人数（按四舍五入取到整数）.
y a bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
回归方程?
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高二数学（文科）试题第
6页（共14页）
参考公式：1
12
22
1
1n
n
i
i i i
i i n n
i
i
i i x x y y
x y nxy b
x x
x
nx
，?a
y
bx
. ▲
19．（本小题12分）
已知动点M 与两个定点0,03,0O A （），（）的距离之比为
12
；
（1）求动点M 的轨迹方程；
（2）过点
M 所代表的曲线外一点
3,3P （）作该曲线的两条切线，切
点分别为,B C ，求
BPC 的正弦值；
（3）若点M 所代表的曲线内有一点(0,1)Q ,求过点Q 且倾斜角为
4
的直线与此曲线所截得的弦长
.
▲
20．（本小题12分）
每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影《泰坦尼克号》中一暮暮感人画面，让我们明白了什么是人类的“真、善、美”。

为了推动我市旅游发展和带动全市经济，更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”。

我市某地将按“泰坦尼克号”原型1:1比例重新修建。

为了了解该旅游开发在大众中的熟知度，随机从本市
20
70岁
的人群中抽取了
a 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，
现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成？”，统计结果如下表所示：
组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率
第1组30
20，100.5第2组40
30，x0.9第3组50
40，54m 第4组60
50，n0.36第5组70
60，y0.2（1）求出()
m x y n的值；
（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；
（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄在3040
，段的概率。

▲
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高二数学（文科）试题第8页（共14页）
21．（本小题满分12分）
如图，已知直三棱柱111ABC
A B C 中，AB
AC ，
12AB
AC
AA ，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，
且12A F
FE ．
（1）证明：AF 平面1A BC ；
（2）求三棱锥1
1C A FC 的体积．
A B
C A 1
B 1
C 1
E
F ▲
22．（本小题12分）
已知过定点(1,1)且与直线y
x 垂直的直线与x 轴、y 轴分别交于
点
A B 、，点22
C m （
，）
满足CA CB .
（1）若以原点为圆心的圆
E 与
ABC 有唯一公共点，求圆
E 的轨
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迹方程；
（2）求能覆盖
ABC 的最小圆的面积；
（3）在（1）的条件下，点00,)P
x y （在直线324
0x y 上，圆E
上总存在两个不同的点M N 、使得OM
ON
OP (O 为坐标原点），
求0x 的取值范围。

▲
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数学（文科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×１2=60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
C
A
B
C
D
A
D
A
C
D
A
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13、114、
5.6或
285
15、
23
16、
3
三、解答题
17．（本小题10分）
（1）连接BD 交AC 于点G,连接EG ，
因为E 为PD 的中点，G 为BD 的中点，所以
//PB EG
……3分
又因为EG
EAC 平面, PB
EAC 平面，所以
//PB EAC
平面……5分
（2）
,.PA ABCD CD PA CD 面面ABC,.,,ABCD AD
CD PA
AD
A PA AD
PAD
是矩形，而平面……8分
..
CD PAD CD
PDC 平面平面.
PDC PAD 平面平面
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……10分
18．（本小题12分）（1）根据表中的数据，可得
1(12367)
47
45x
，
1(3
4567)
57
55y
，
……2分
则3
1
5
2
1
i
i i i
i x x y y
b
x x
，
2
2
2
2
2
2
2
(14)(35)(24)(45)(34)(55)(44)(55)(54)(55)(64)(65)(74)(75)
(14)
(24)
(34)
(44)
(54(64)
(4)
7)
4
7
，……4分又由
41954
7
7
a
(5)
分
故所求回归直线方程为
4197
7
y
x
………………6分（2
）
正
相
关 (9)
分
（3）当
8x 时，根据方程得
419518
77
7
7
y
，
故
预
测
第
八天有7
人
………………12分
19．（本小题12分）（
1
）
解：设
,M x y （）
，由题意有：
2
2
2
2
1(3)4
x y x y
………………2分化
简
得
：
2
2
(1)
4
x y
………………4分
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（2）因为点3,3P （）到圆心(1,0)的距离
22
4+3=5d
，令圆心为
G
所
以
在
Rt PBG
中，
221
s i
n c o
s
5
5
BPG BPG
，………………6分则
421sin 2sin cos 25
BPC BPG BPG
……………
…8分
（3）过点
(0,1Q 倾斜角为
4
的直线方程为
10
x y ………………9分
该直线恰好过圆心，所以与曲线截得的弦长恰好为圆的直径，即
弦
长
4
d ………………12分
20．（本小题12分）（1）第1组的人数为：
10200.5
人，第1组的频率为：0.01100.1
＝20200
0.1
a
…
……………1分
2000.20.936,2000.20.15
6
x
y
…
……………2分
540.9,2000.250.3618
2000.3
m n …
……………3分
故
()0.9(36
618)54
m x
y n (4)
分
（2）抽样比为：
61108
18
人
第2组抽取的人数为：
36
2118
人；第3组抽取的人数为：
54
3118
人；
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第4组抽取的人数为：
18
1
118
人
………………8分
（3）记3040
，中2人为A 1,A 2，4050，中3人为B 1,B 2,B 3，5060，中1人为C ，则在抽取的
6人中随机抽取2人的所有事件为
A 1A 2，A 1
B 1，
A 1
B 2，A 1B 3，A 1
C ，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2C ，B 1B 2，B 1B 3，B 1C ，B 2B 3，B 2C ，B 3C 共15个，其中不含
A 1,A 2的有6个
所抽取的人中恰好没有年龄段在
3040，的概率：
6125
5
m p
n
…
……………12分
21．（本小题12分）
（1）由题意知，等腰直角三角形
ABC 中，中线AE
BC ，且12
2AE
BC
而直三棱柱111ABC A B C 中，1
AA 底面ABC ，
从而知1
AA AE ，1
AA BC
一方面，在1Rt A AE 中，因为12A A ，2AE
，则16
A E
由12A F
FE ，可得6
3
EF
，从而可知1A E AE EF
AE
，又
1AEF
A EA 则得
1AEF
A EA ，由此可得
190AFE
A AE
，即有
1AF
A E …3分
另一方面，由1
AA BC ，AE
BC ，1
AA AE A ，得BC
平面1A AE
又
AF
平面
1
A A E
，则知
B C
………………5分
综上，1AF A E ，且AF BC ，又1BC
A E
E ，
故
AF
平
面
1
A B
C
．………………6分
（2）如图，D 为AC 中点，连接ED ，则ED ∥AB 且ED=
12
AB=1
高二数学（文科）试题第
13页（共14页）
∵三棱柱为直三棱柱∴AA 1⊥底面ABC A 1A ⊥AB
又AB ⊥AC
∴AB ⊥面AA 1C 1C
从而ED ⊥面A 1C 1C ………………8分
∵A 1F =2FE ∴1
11
1112
2
3
3
C A FC
C A EC
E
A C C
V V V 2114221
3
3
2
9
……………12分
22．（本小题12分）（1）因为CA CB ，所以C 在线段AB 的垂直平分线上，即在直
线y
x 上，
故
22
m
…………
……1分
以原点为圆心的圆E 与ABC 有唯一公共点，
此
时
圆
的
半
径
2
2
22(
)
(
)
1
2
2
r ………………3分
故
：
圆
E
的方程为
2
2
1
x
y ………………4分（2）由于三角形
ABC 为钝角三角形且
AB 为最长边，故能覆盖三角形
ABC 的最小圆是以AB 为直径的圆……………………（不需证明，写
出该结论给2分）………….6分由
于
点
2,00,2A B （），（）
，所以
22AB ………………………………………
..7分
故该圆的半径为2
所
以
能
覆
盖
该
三
角
形
的最小圆面积
=2S …………………………………………
.8分
（3）OM
ON
OP （O 为坐标原点），则有OP 与MN 互相垂直平
高二数学（文科）试题第14页（共14页）
分，
所以圆心到直线
MN
的距离小于
1.
即又
2
2
02
2
1, 4 (1)
2
x y x y ………………10分
又0
00033240,22
x y y x ，代入（1）得2
2
00
324(2
)
4
02
13
x x x 所
以
实
数
x 的取值范围为
24(0,
)
13
………………12分。