新教材高中数学本估计总体的数字特征4-2分层随机抽样的均值与方差4-3百分位数课件北师大版必修第一册
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的四分位数．
基础自测
1．某病患者8人的潜伏期(天)分别为2，3，3，4，7，8，10，18，
则它们的50%分位数是
( D)
A．4或7
B．4
C．7
D．5.5
[解析] 50%分位数即中位数，为12×(4＋7)＝5.5.
2．一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，这
组数据的一个四分位数是15，则它是________分位数．
2 ． 某 射 手 在 一 次 训 练 中 12 次 射 击 的 成 绩 分 别 为 9.6 ， 9.7 ， 9.0 ，
9.1，9.4，9.4，9.8，9.9，9.4，9.6，9.6，9.7，则该射手本次射击的成绩
的75%分位数是
( C)
A．9.5
B．9.6
C．9.7
D．9.8
[解析] 将 12 个数从小到大排列：9.0，9.1，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，
(3)求值： 分数
p%分位数
i 不是整数 xi0，其中 i0 为大于 i 的最小整数
i 是整数
xi＋xi＋1 2
【对点练习】❷ 确定数据0，0，0，0，1，1，2，3，4，5，6， 6，7，7，10，14，14，14，14，15的28%分位数和75%分位数．
[解析] 因为数据已从小到大排列，共有 20 个． 而且 i1＝20×28%＝5.6，不为整数， i2＝20×75%＝15 是整数， 因此，此数据的 28%分位数为 x6＝1，75%分位数为x15＋2 x16＝10＋2 14 ＝12.
51. 求 甲 、 乙 两 名 运 动 员 得 分 的 25% 分 位 数 ， 75% 分 位 数 和 90% 分 位
数．
[解析] 两组数据都是 12 个数，而且 12×25%＝3，12×75%＝9， 12×90%＝10.8，
因此，甲运动员得分的 25%分位数为x3＋2 x4＝20＋2 25＝22.5， 甲运动员得分的 75%分位数为x9＋2 x10＝37＋2 39＝38，
第六章 统 计
§4 用样本估计总体的数字特征
4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3 百分位数
【素养目标】 1．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差． 2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含 义． 【学法解读】 1．理解分层随机抽样的均值与方差公式的推导过程，会求分层随 机抽样的均值与方差. (数学抽象、数学运算) 2．理解百分位数的统计含义，会求样本数据的p分位数. (数学抽 象、数据分析) 3．会求频率分布直方图中的p分位数. (数据分析)
( B)
A．15%
B．25%
C．50%
D．75%
[解析] 由小到大排列的结果为6，7，15，36，39，40，41，42，
43，47，49，一共11个．又11×25%＝2.75，故25%分位数是15.
3．5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的25%分位数为___7___， 75%分位数为___1_2__，90%分位数为__1_3_.5__．
－x 甲＝a1＋a2＋50…＋a50＝80.5(分)，
s2甲＝（a1－－x 甲）2＋（a2－－x5甲0）2＋…＋（a50－－x 甲）2＝500. 设乙班 40 名学生的成绩分别是 b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成 绩和方差分别为 －x 乙＝b1＋b2＋40…＋b40＝85(分)， s2乙＝（b1－－x 乙）2＋（b2－－x4乙0）2＋…＋（b40－－x 乙）2＝360.
[解析] 设二线城市的房价的方差为 s2，由题意可知 20＝1＋13＋6[s2
＋(2.4－1.2)2]＋1＋33＋6[10＋(1.8－1.2)2]＋1＋63＋6[8＋(0.8－1.2)2]，解得 s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为 118.52.
关键能力•攻重难
题型一
题型探究 分层抽样的均值与方差
[解析] (1)数据从小到大排序，这组数据有 11 个数，因为 11×60% ＝6.6，所以这组数据的 60%分位数是第 7 个数据，即 7.
(2)数据从小到大排序，这组数据有 10 个数，因为 10×60%＝6， 所以这组数据的 60%分位数是6＋2 7＝6.5.
4．为了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取 了30名男生，20名女生．已知男生身高的平均数为170 cm，方差为16， 女生身高的平均数为165 cm，方差为25，则可估计该校学生身高的平均 数为___1_6_8___cm，方差为___2_5_._6___．
20×[16＋（170－167.86）2]＋ 3515×[25＋（165－167.86）2]≈25.98.
题型二
百分位数的计算
例 2 甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情 况如下：甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39， 44，49.
乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，
如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班
的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90
名学生的平均成绩应为 －x ＝50－x5甲0＋ ＋4400－x 乙＝50×80.59＋0 40×85＝82.5(分)， 方差 s2＝50[s2甲＋（－x 甲－－x ）520]＋＋4400[s2乙＋（－x 乙－－x ）2] ＝50×[500＋（80.5－82.5）29]＋0 40×[360＋（85－82.5）2] ＝50×500＋50×4＋9400×360＋40×6.25≈442.78.
n
的均值 ___∑ i＝_1__ω_i_x_i __，
分 层 随 设样本中不同层的平均数分别为 x1，x2，…，xn，方差分别为 s21， 机 抽 样 s22，…，s2n，相应的权重分别为 ω1，ω2，…，ωn，则这个样本的
n
的方差 方差为 s2＝____∑ i_＝_1 _ω_i_[s_2i_＋__(x_i_－__x)_]_2____，其中 x 为样本平均数
例 1 甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40 人．甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方 差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？
[解析] 设甲班 50 名学生的成绩分别是 a1，a2，…，a50，那么甲班 的平均成绩和方差分别为
[解析] 由于共有 10 个数字，则 10×25%＝2.5，10×75%＝7.5， 10×90%＝9.故 25%分位数为 7，75%分位数为 12，90%分位数为13＋2 14＝ 13.5.
4．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2018年8月份 调 查 得 知 该 省 所 有 城 市 房 产 均 价 为 1.2 万 元 / 平 方 米 ， 方 差 为 20 ， 二 、 三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万 元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价 的方差为____1_1_8_.5_2____．
方差 s2＝w 男[s2男＋(x 男－x)2]＋w 女[s2女＋(x 女－x)2]＝0.6×[16＋(170－ 168)2]＋0.4×[25 ＋(165－168)2]＝25.6.
9.6，9.7，9.7，9.8，9.9.
因为 12×75%＝9，所以这组数据的 75%分位数为x9＋2x10＝9.7＋2 9.7＝
9.7.
3．(1)有11个数：1，2，3，4，5，6，7，8，9, 10，11，则该组数 据的60%分位数是___7___．
(2)有10个数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则该组数据的 60%分位数是___6_.5____．
课堂检测•固双基
1．某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个 工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47 则上述数据的50%分位数为__4_4_._5__． [解析] 把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48， 53，56，63，则 10×50%＝5. 所以 50%分位数为42＋2 47＝829＝44.5.
甲运动员得分的 90%分位数为 x11＝44. 乙运动员得分的 25%分位数为x3＋2 x4＝14＋2 16＝15， 乙运动员得分的 75%分位数为x9＋2 x10＝31＋2 38＝34.5， 乙运动员得分的 90%分位数为 x11＝39.
[归纳提升] 求百分位数的一般步骤
(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn. (2)计算：求i＝np%的值．
[解析] 因为分层随机抽样抽取的样本中男生有 30 人，女生有 20 人， 所以男生所占的权重为 w 男＝303＋020＝35＝0.6，女生所占的权重为 w 女＝1 －0.6＝0.4.
因为 x 男＝170 cm，s2男＝16，x 女＝165 cm，s2女＝25，所以可估计该校 学生身高的平均数 x＝w 男 x 男＋w 女 x 女＝0.6×170＋0.4×165 ＝168(cm)．
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 分层随机抽样的均值与方差 (1)概念
分 层 随 设样本中不同层的平均数和相应权重分别为 x1，x2，…，xn 和 ω1， 机 抽 样 ω2，…，ωn，则这个样本的平均数为 ω1x1＋ω2x2＋…＋ωnxn ＝
[归纳提升] 若样本中有两层，第一层有 m 个数，分别为 x1，x2，…， xm，平均数为－x ，方差为 s2；第二层有 n 个数，分别为 y1，y2，…，yn，
平 均 数 为 －y ， 方 差 为
t2
，
则
样
本
的
均
值
为－a＝源自m－x ＋n－y m＋n，
方
差
为
m[s2＋（－x －－a ）2]＋n[t2＋（－y －－a ）2]
(2)应用：求分层随机抽样的均值与方差．
知识点2 百分位数
(1)总体的p分位数的概念： 一般地，当总体是连续变量时 ，给定一个百分数 p∈__(_0_，__1_) _，总 体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数__小__于__或__等__于___它
的可能性是p.
(2)四分位数 __2_5_%_、__5_0_%__、__7_5_%___分位数是三个常用的百分位数，把总体数据按 照_从__小__到__大___排列后，这三个百1分位数把总体数据分成了4个部分，在 这4个部分取值的可能性都是___4___，因此这三个百分位数也称为总体
m＋n
.
【对点练习】❶ 在考察某中学学生身高时，采用分层抽样的方法 得到了20名男生身高的平均值为170，方差为16；15名女生的身高的平 均值为165，方差为25，试计算这35名学生的方差．
[解析] 由题意知－x 男＝170，s2男＝16，－x 女＝165，s2女＝25，则－x ＝ 20×12700＋ ＋1155×165≈167.86，s2＝
基础自测
1．某病患者8人的潜伏期(天)分别为2，3，3，4，7，8，10，18，
则它们的50%分位数是
( D)
A．4或7
B．4
C．7
D．5.5
[解析] 50%分位数即中位数，为12×(4＋7)＝5.5.
2．一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，这
组数据的一个四分位数是15，则它是________分位数．
2 ． 某 射 手 在 一 次 训 练 中 12 次 射 击 的 成 绩 分 别 为 9.6 ， 9.7 ， 9.0 ，
9.1，9.4，9.4，9.8，9.9，9.4，9.6，9.6，9.7，则该射手本次射击的成绩
的75%分位数是
( C)
A．9.5
B．9.6
C．9.7
D．9.8
[解析] 将 12 个数从小到大排列：9.0，9.1，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，
(3)求值： 分数
p%分位数
i 不是整数 xi0，其中 i0 为大于 i 的最小整数
i 是整数
xi＋xi＋1 2
【对点练习】❷ 确定数据0，0，0，0，1，1，2，3，4，5，6， 6，7，7，10，14，14，14，14，15的28%分位数和75%分位数．
[解析] 因为数据已从小到大排列，共有 20 个． 而且 i1＝20×28%＝5.6，不为整数， i2＝20×75%＝15 是整数， 因此，此数据的 28%分位数为 x6＝1，75%分位数为x15＋2 x16＝10＋2 14 ＝12.
51. 求 甲 、 乙 两 名 运 动 员 得 分 的 25% 分 位 数 ， 75% 分 位 数 和 90% 分 位
数．
[解析] 两组数据都是 12 个数，而且 12×25%＝3，12×75%＝9， 12×90%＝10.8，
因此，甲运动员得分的 25%分位数为x3＋2 x4＝20＋2 25＝22.5， 甲运动员得分的 75%分位数为x9＋2 x10＝37＋2 39＝38，
第六章 统 计
§4 用样本估计总体的数字特征
4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3 百分位数
【素养目标】 1．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差． 2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含 义． 【学法解读】 1．理解分层随机抽样的均值与方差公式的推导过程，会求分层随 机抽样的均值与方差. (数学抽象、数学运算) 2．理解百分位数的统计含义，会求样本数据的p分位数. (数学抽 象、数据分析) 3．会求频率分布直方图中的p分位数. (数据分析)
( B)
A．15%
B．25%
C．50%
D．75%
[解析] 由小到大排列的结果为6，7，15，36，39，40，41，42，
43，47，49，一共11个．又11×25%＝2.75，故25%分位数是15.
3．5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的25%分位数为___7___， 75%分位数为___1_2__，90%分位数为__1_3_.5__．
－x 甲＝a1＋a2＋50…＋a50＝80.5(分)，
s2甲＝（a1－－x 甲）2＋（a2－－x5甲0）2＋…＋（a50－－x 甲）2＝500. 设乙班 40 名学生的成绩分别是 b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成 绩和方差分别为 －x 乙＝b1＋b2＋40…＋b40＝85(分)， s2乙＝（b1－－x 乙）2＋（b2－－x4乙0）2＋…＋（b40－－x 乙）2＝360.
[解析] 设二线城市的房价的方差为 s2，由题意可知 20＝1＋13＋6[s2
＋(2.4－1.2)2]＋1＋33＋6[10＋(1.8－1.2)2]＋1＋63＋6[8＋(0.8－1.2)2]，解得 s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为 118.52.
关键能力•攻重难
题型一
题型探究 分层抽样的均值与方差
[解析] (1)数据从小到大排序，这组数据有 11 个数，因为 11×60% ＝6.6，所以这组数据的 60%分位数是第 7 个数据，即 7.
(2)数据从小到大排序，这组数据有 10 个数，因为 10×60%＝6， 所以这组数据的 60%分位数是6＋2 7＝6.5.
4．为了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取 了30名男生，20名女生．已知男生身高的平均数为170 cm，方差为16， 女生身高的平均数为165 cm，方差为25，则可估计该校学生身高的平均 数为___1_6_8___cm，方差为___2_5_._6___．
20×[16＋（170－167.86）2]＋ 3515×[25＋（165－167.86）2]≈25.98.
题型二
百分位数的计算
例 2 甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情 况如下：甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39， 44，49.
乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，
如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班
的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90
名学生的平均成绩应为 －x ＝50－x5甲0＋ ＋4400－x 乙＝50×80.59＋0 40×85＝82.5(分)， 方差 s2＝50[s2甲＋（－x 甲－－x ）520]＋＋4400[s2乙＋（－x 乙－－x ）2] ＝50×[500＋（80.5－82.5）29]＋0 40×[360＋（85－82.5）2] ＝50×500＋50×4＋9400×360＋40×6.25≈442.78.
n
的均值 ___∑ i＝_1__ω_i_x_i __，
分 层 随 设样本中不同层的平均数分别为 x1，x2，…，xn，方差分别为 s21， 机 抽 样 s22，…，s2n，相应的权重分别为 ω1，ω2，…，ωn，则这个样本的
n
的方差 方差为 s2＝____∑ i_＝_1 _ω_i_[s_2i_＋__(x_i_－__x)_]_2____，其中 x 为样本平均数
例 1 甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40 人．甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方 差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？
[解析] 设甲班 50 名学生的成绩分别是 a1，a2，…，a50，那么甲班 的平均成绩和方差分别为
[解析] 由于共有 10 个数字，则 10×25%＝2.5，10×75%＝7.5， 10×90%＝9.故 25%分位数为 7，75%分位数为 12，90%分位数为13＋2 14＝ 13.5.
4．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2018年8月份 调 查 得 知 该 省 所 有 城 市 房 产 均 价 为 1.2 万 元 / 平 方 米 ， 方 差 为 20 ， 二 、 三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万 元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价 的方差为____1_1_8_.5_2____．
方差 s2＝w 男[s2男＋(x 男－x)2]＋w 女[s2女＋(x 女－x)2]＝0.6×[16＋(170－ 168)2]＋0.4×[25 ＋(165－168)2]＝25.6.
9.6，9.7，9.7，9.8，9.9.
因为 12×75%＝9，所以这组数据的 75%分位数为x9＋2x10＝9.7＋2 9.7＝
9.7.
3．(1)有11个数：1，2，3，4，5，6，7，8，9, 10，11，则该组数 据的60%分位数是___7___．
(2)有10个数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则该组数据的 60%分位数是___6_.5____．
课堂检测•固双基
1．某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个 工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47 则上述数据的50%分位数为__4_4_._5__． [解析] 把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48， 53，56，63，则 10×50%＝5. 所以 50%分位数为42＋2 47＝829＝44.5.
甲运动员得分的 90%分位数为 x11＝44. 乙运动员得分的 25%分位数为x3＋2 x4＝14＋2 16＝15， 乙运动员得分的 75%分位数为x9＋2 x10＝31＋2 38＝34.5， 乙运动员得分的 90%分位数为 x11＝39.
[归纳提升] 求百分位数的一般步骤
(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn. (2)计算：求i＝np%的值．
[解析] 因为分层随机抽样抽取的样本中男生有 30 人，女生有 20 人， 所以男生所占的权重为 w 男＝303＋020＝35＝0.6，女生所占的权重为 w 女＝1 －0.6＝0.4.
因为 x 男＝170 cm，s2男＝16，x 女＝165 cm，s2女＝25，所以可估计该校 学生身高的平均数 x＝w 男 x 男＋w 女 x 女＝0.6×170＋0.4×165 ＝168(cm)．
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 分层随机抽样的均值与方差 (1)概念
分 层 随 设样本中不同层的平均数和相应权重分别为 x1，x2，…，xn 和 ω1， 机 抽 样 ω2，…，ωn，则这个样本的平均数为 ω1x1＋ω2x2＋…＋ωnxn ＝
[归纳提升] 若样本中有两层，第一层有 m 个数，分别为 x1，x2，…， xm，平均数为－x ，方差为 s2；第二层有 n 个数，分别为 y1，y2，…，yn，
平 均 数 为 －y ， 方 差 为
t2
，
则
样
本
的
均
值
为－a＝源自m－x ＋n－y m＋n，
方
差
为
m[s2＋（－x －－a ）2]＋n[t2＋（－y －－a ）2]
(2)应用：求分层随机抽样的均值与方差．
知识点2 百分位数
(1)总体的p分位数的概念： 一般地，当总体是连续变量时 ，给定一个百分数 p∈__(_0_，__1_) _，总 体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数__小__于__或__等__于___它
的可能性是p.
(2)四分位数 __2_5_%_、__5_0_%__、__7_5_%___分位数是三个常用的百分位数，把总体数据按 照_从__小__到__大___排列后，这三个百1分位数把总体数据分成了4个部分，在 这4个部分取值的可能性都是___4___，因此这三个百分位数也称为总体
m＋n
.
【对点练习】❶ 在考察某中学学生身高时，采用分层抽样的方法 得到了20名男生身高的平均值为170，方差为16；15名女生的身高的平 均值为165，方差为25，试计算这35名学生的方差．
[解析] 由题意知－x 男＝170，s2男＝16，－x 女＝165，s2女＝25，则－x ＝ 20×12700＋ ＋1155×165≈167.86，s2＝