2020届高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题6.4复数练习含解析

专题6.4 复 数
【考试要求】
1.通过方程的解，认识复数；
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；
3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 【知识梳理】 1.复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念
形如a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若a ＝0
且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数
复数相等
a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且
b ＝d(a ，b ，
c ，
d∈R)
共轭复数
a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c 且
b ＝－
d(a ，b ，c ，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平
面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设OZ →
对应的复数为z ＝a ＋b i ，则向量
OZ →
的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模
|z |＝|a ＋b i|＝a 2
＋b 2
2.复数的几何意义
复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i
复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →
.
3.复数的运算
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；
(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）
（c ＋d i ）（c －d i ）
＝
ac ＋bd ＋（bc －ad ）i
c 2＋
d 2
(c ＋d i≠0).
【微点提醒】 1.i 的乘方具有周期性 i n
＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3
(k ∈Z ).
2.复数的模与共轭复数的关系
z ·z －
＝|z |2
＝|z －
|2.
3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
【解析】 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 【教材衍化】
2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a 2
－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1
【答案】 B
【解析】 依题意，有⎩
⎪⎨⎪⎧a 2
－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.
3.(选修2－2P116A1改编)复数⎝ ⎛⎭
⎪
⎫52－i 2
的共轭复数是( )
A.2－i
B.2＋i
C.3－4i
D.3＋4i
【答案】 C
【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2
＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2
＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i.
【真题体验】
4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i
1＋i ＝( )
A.1＋2i
B.1－2i
C.2＋i
D.2－i
【答案】 D 【解析】
3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）
（1＋i ）（1－i ）
＝2－i. 5.(2018·北京卷)在复平面内，复数1
1－i 的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】 D 【解析】
11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i 的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－12，
位于第四象限，故选D.
6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2
z 2＋z
＝________. 【答案】 －1
【解析】 ∵z ＝－1＋i ，则z 2
＝－2i ， ∴
z ＋2z 2
＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－2
2
＝－1. 【考点聚焦】
考点一 复数的相关概念
【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－i
i ，则复数z 的虚部为( )
A.－i
B.2
C.－2i
D.－2
(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －
＝( )
A.2－i
B.2＋i
C.1－2i
D.1＋2i
(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i
1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )
A.1
B.0
C.－12
D.－1
【答案】 (1)D (2)D (3)D
【解析】 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）
i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.
(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，
∴复数z 的共轭复数z －
＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则
1＋i
1＋a i
＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 【规律方法】
1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.
【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.1
3
－i
D.13
＋i (2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i
1＋i ，则实数a ＝( )
A.2
B.1
C.0
D.－1
【答案】 (1)B (2)C
【解析】 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －
＝15＋3
5
i.故选B.
(2)∵1－i ＝2＋a i
1＋i ，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，
解得a ＝0.故选C. 考点二 复数的几何意义
【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2
在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与2
1－i 对应的点关于实轴对称，则z ＝( )
A.1＋i
B.－1－i
C.－1＋i
D.1－i
【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3
5
，－15，
在第四象限.
(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D.
【规律方法】
1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )
Z (a ，b )
OZ →
＝(a ，b ).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数1
1＋i 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)如图，若向量OZ →
对应的复数为z ，则z ＋4z
表示的复数为( )
A.1＋3i
B.－3－i
C.3－i
D.3＋i
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－12，在第四象限，故选D.
(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋
4＋4i
2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D. 考点三 复数的运算
【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－i
D.3＋i
(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i
1＋i
＋2i ，则|z |＝( ) A.0
B.12
C.1
D. 2
(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3
z －1
＝( )
A.2i
B.－2i
C.2
D.－2
(4)⎝
⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6
＋2＋3i 3－2i
＝________.
【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i
【解析】 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2
＝3＋i.故选D.
(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2
（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12
＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.
(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i
2i
＝2.故选C.
(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）2
26
＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）
2
＝i 6
＋
6＋2i ＋3i －6
5
＝－1＋i.
【规律方法】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.
【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2i
D.－3＋2i
(2)已知i 为虚数单位，则1＋i
3－i ＝( )
A.2－i
5
B.2＋i
5
C.1－2i
5
D.1＋2i
5
(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2
－2z
＝( )
A.1＋3i
B.1－3i
C.－1＋3i
D.－1－3i
【答案】 (1)D (2)D (3)C
【解析】 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2
＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i 5
. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2
＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2
－2z
＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.
【反思与感悟】
1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.
2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 【易错防范】
1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.
2.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数. 【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时：30分钟) 一、选择题
1.已知复数(1＋2i)i ＝a ＋b i ，a ∈R ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3
【答案】 B
【解析】 因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以a ＝－2，b ＝1，则a ＋b ＝－1，选B. 2.(2018·浙江卷)复数2
1－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )
A.1＋i
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
【答案】 B
【解析】 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2
＝1＋i ，所以复数2
1－i
的共轭复数为1－i.故选B. 3.设复数z 满足z －
＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C.1
D.－1－2i
【答案】 A
【解析】 复数z 满足z －
＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ，故选A. 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2
B.i 2
(1－i) C.(1＋i)2
D.i(1＋i)
【答案】 C
【解析】 i(1＋i)2
＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2
(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2
＝2i ，2i 是纯虚数.故选C. 5.设z ＝1
1＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )
A.12
B.22
C.32
D.2
【答案】 B
【解析】 因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋1
2i ，所以|z |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝22. 6.若a 为实数，且1＋2i
a ＋i 为实数，则a ＝( )
A.1
B.1
2
C.－13
D.－2
【答案】 B
【解析】 因为1＋2i a ＋i ＝（1＋2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a ＋2＋（2a －1）i a 2
＋1是一个实数，所以2a －1＝0，∴a ＝1
2.故选B.
7.(2019·豫南九校质量考评)已知复数a ＋i
2＋i
＝x ＋y i(a ，x ，y ∈R ，i 是虚数单位)，则x ＋2y ＝( )
A.1
B.35
C.－35
D.－1
【答案】 A
【解析】 由题意得a ＋i ＝(x ＋y i)(2＋i)＝2x －y ＋(x ＋2y )i ，∴x ＋2y ＝1，故选A.
8.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z －
对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
【答案】 A
【解析】 由题意，得z ＝（3）2
＋12
1＋i ＝2（1－i ）
（1＋i ）（1－i ）
＝1－i ，所以z －
＝1＋i ，其在复平面内对应的
点为(1，1)，位于第一象限，故选A. 二、填空题
9.(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i
1＋2i ＝________.
【答案】 4－i 【解析】
6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝20－5i
5
＝4－i. 10.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 【答案】 5
【解析】 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2
＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 11.(2019·西安八校联考)若a ＋b i
i
(a ，b ∈R )与(2－i)2
互为共轭复数，则a －b ＝________.
【答案】 －7 【解析】 ∵
a ＋
b i i
＝
（a ＋b i ）（－i ）
－i
2
＝b －a i ，(2－i)2
＝4－4i －1＝3－4i ，
a ＋
b i
i
(a ，b ∈R )与(2－i)
2
互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7.
12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →
对应的复数为________. 【答案】 －2＋i
【解析】 因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →
对应的复数为－2＋i. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)
13.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i
3－2i (i 是虚数单位)，则b ＝( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
【答案】 A
【解析】 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i 13，a ∈R ，所以6＋3b
13＝0⇒b ＝－2，故
选A.
14.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2
－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】 B
【解析】 由复数z ＝(x 2
－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，
得⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－4＝0，
x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2
－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B.
15.计算⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋i 1－i 2 019
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－i 1＋i 2 019
＝( )
A.－2i
B.0
C.2i
D.2
【答案】 B
【解析】 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2
（1＋i ）（1－i ）＝2i 2＝i ，1－i
1＋i
＝－i ，
∴⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1＋i 1－i 2 019
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2 019
＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3
＝－i ＋i ＝0.
16.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i
2－i ，则以下为真命题的是( )
A.z 的共轭复数为75－4i
5
B.z 的虚部为8
5
C.|z |＝3
D.z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】 D
【解析】 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i
5
，
11 ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75
， |z |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D.。