多自由度系统 振动力学课件

k2 )x12
1 2
(k2
k3 )x22
1 2
k
3
x32
1 2
(k2 )(2x1x2 )
1 2
(k3 )(2x2x3)
1 2
x1
x2
k1 k2
x3
k2
0
k2 k2 k3
k3
0 k3 k3
x1 x2 x3
C
1 2
c1x12
1 2
c2 (x2
x1 )2
1 2
c3 (x3
x2 )2
设某一瞬时： 角位移 1 , 2
角加速度 1 ,2
受力分析：
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 2 (t)
I1
I2
k 11
M 1 (t )
k 2 (2 1)
k 2 (1 2 ) I11 k 32
M 2 (t)
I 22
k 11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)
k 32
M 1 (t )
建立方程：
m2 x2
m3x3 k3 (x3 x2 ) c3 (x3 x2 ) F3 (t) k3 (x3 x2 ) c3 (x3 x2 ) k2 (x2 x1) c2 (x2
x1 )
F2 (t)
m1x1 k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1x1 F1(t)
质量矩阵 M m21
m22
...
m2n
... ... ... ...
mn1
mn2
...
mnn
2. 势能函数
对于完整、定常系统，势能函数 V V q1 q2 ... q将n 势能函数选择
平衡位置为坐标原点，势能为零。在平衡位置
q1 q2 ... qn 0 ，附近展开为泰勒函数，
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
教学内容
多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统
第一节 动力学微分方程组的建立
动力学微分方程组的建立主要采取两种方法：
一、 牛顿法 二、 拉氏法(拉格朗日方程法)
qi
n
i 1
qi
1 2
(c
j
x
2 j
)
qi
推广空间三维
W j
n
i 1
qi
1 2
(c
j
x
2 j
)qi
W j
n
i 1
qi
1 2
(c
xj
x
2 j
c
yj
y
2 j
c
zj
z
2 j
)qi
总虚功
W
N
W j
j 1
n i 1
D qi
qi
3. 耗散能
D
1 2
n i 1
c
xj
x
2 j
c
yj
y
2 j
c3 c3
F1(t)
Fi
F2
(t
)
F3 (t)
m1
0
0
0 m2 0
0 0 m3
x1 x2 x3
c1 c2
c2
0
c2 c2 c3
c3
0 c3 c3
x1 x2 x3
k1 k2
k2
0
k2 k2 k3
k3
0 k3 k3
x1 x2 x3
V q1
q2
...
qn V 0
0
...
n V 1 n n 2V
0
i 1
qi
qi 0
2
i 1
j1
qiq j
qiq j 0
...
V qi
0
、
2V qi q
j
0
是
V 、 2V qi qiq j
在平衡位置的值。
V q1
q2
...
qn
=1 2
n i 1
n
完整系统： 广义坐标的数目等于系统的自由度数目。
1. 动能函数
对完整定常系统，质点 mi i 1,2,...n，i 1, 2,...n，
矢径 q j j 1, 2,..., n 仅为广义坐标 xi x(q1, q2 ,..., qn )
质点 m的i 速度为
vi
n j 1
xi q j
q
j
mij
F3 (t )
x1
x2
x3
M x Cx Kx F(t)
M 系统的质量矩阵；
C 系统的阻尼矩阵；
K 系统的刚度矩阵。
二、拉氏法（拉格朗日方程法）
以广义坐标表示得标量方程，仅涉及动能、势能和功等 标量形式的物理量，适用于自由度数目较多的复杂系统。
广义坐标： 描述质点系在空间中的位置的独立参数。
33
2
m3x3 c3x2 c3x3 k3x2 k3x3 F3 (t)
m1
0
0
0 m2 0
0 0 m3
x1 x2 x3
+
c1 c2
c2
0
c2 c2 c3
c3
0 c3 c3
x1 x2 x3
+
k1 k2
k2
0
k2 k2 k3
k3
0 k3 k3
c
zj
z
2 j
x j
n i 1
x j qi
qi
y j
n i1
y j qi
qi
z j
n i 1
z j qi
qi
D 1 n
2m
n l
cml qm ql
1 qT Cq
2
阻尼矩阵
c11 c12 ... c1n
C c21
c22
...
c2n
... ... ... ...
cn1
cn2
...
cnn
将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之
间的相互影响 优点：模型简单。
建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼 优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
建模方法3： 车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼 优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的 相互耦合，模型较为精确
n 为系统的自由度数目。
例1 试用拉氏法推导动力学微分方程
x1
x2
x3
T
1 2
m1x12
1 2
m2 x22
1 2
m3 x32
1 2
x1
x2
m1
x3
0
0
0 m2 0
0 0
x1 x2
m3 x3
V
1 2
k1
x12
1 2 k2 (x2
x1)2
1 2 k 3(x3
x2 )2
1 2
(k1
kij qiq j
j 1
2V kij qiq j 0 k ji
2. 势能函数
V q1
q2
...
qn
=1 n 2 i1
n
kij qiq j
j 1
矩阵形式： V 1 qT K q
2
kij
2V qiq j
0
k ji
刚度矩阵
k11 k12 ... k1n
K k21
k 22
qi
x j q j
为广义坐标函数，
1. 动能函数
mij
N i1
mi
xi qi
x j q j
m ji
动能的表达式：需精确二次幂，且在平衡位置置 q1 q2 ... qn 0
附近展开为泰勒函数，只取常数项。
矩阵形式：
T
1 qT M q
qT
q1
q2
...
qn
2
m11 m12 ... m1n
...
k
2n
... ... ... ...
k n1
kn2
...
k
nn
3. 耗散能
设系统有粘性阻尼力 Fc c j x j j 1,2,..., n
虚功
Wj
c j x j x j
c j x j
n i 1 1
x j qi
qi
n
i 1
cjxj
x j qi
4. 拉格朗日方程
d dt
T
qi
T qi
V qi
D qi
Qi
将动能函数T,势能V, 耗散能D代入方程
i 1,2,..., n
化简 M qiCqiKqi F
式中： qi , qi 为系统的广义坐标和广义速度；
T 为系统的动能，是广义速度的二次型；
V 为系统的势能，是广义坐标的二次型；
F 为对应广义坐标 q i的广义力，是时间的函数；
x1 )
F2 (t)
m1x1 k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1x1 F1(t)
k1 x1 c1 x1
k2 (x2 x1) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) c2 (x2 x1)
k3 (x3 x2 ) k3 (x3 x2 )
c3 (x3 x2 ) c3 (x3 x2 )
m1x1 (c1 c2 )x1 c2 x2 (k1 k2 )x1 k2 x2 F1(t)
m x c x (c c )x c x k x (k k )x k x F (t) 2 2 2 1
2 3 2 33 21
2
3
k3 ( x3 x2 ) c3 ( x3 x2 )
2
1
2
M 1 (t ) M 2 (t)
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
重点
要求根据多自由度系统能够利 用牛顿法和拉氏法（尤其是拉 氏法）建立动力学方程
课上练习：p97 4-1
N
mi
i1
xi qi
x j q j
m ji
T
1 2
n i 1
mivivi
1 2
n i 1
mi
n i 1
xi qi
qi
n j 1
x q
j j
q
j
1 2
n i 1
nn mi
j1 i1
xi qi
x j q j
qiq j
1 2
n i 1
n
mij qiq j
j 1
一般情况下，xi ,
一、牛顿法：
适用：必须考虑约束反力并画出物体的受力图， 适用于自由度数目少或简单系统。
试用牛顿法推导动力学微分方程
x1
x2
x3
x1
x2
x3
k3 ( x3 x2 ) c3 ( x3 x2 )
m2 x2
m3x3 k3 (x3 x2 ) c3 (x3 x2 ) F3 (t) k3 (x3 x2 ) c3 (x3 x2 ) k2 (x2 x1) c2 (x2
I11
M 2 (t)
I 22
I11 I 22
k11 k 2 (2
k 2
(1 2 1 ) k3
)
2
M M
1 (t ) 2 (t)
矩阵形式：
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
坐标间的耦合项
练习：建立动力学方程
小结
x1 x2 x3
=
FF12 F3
(t ) (t ) (t )
m1 0 0
M
0
m2
0
0 0 m3
c1 c2 c2 0
C
c2
c2 c3
c3
0
c3 c3
k1 k2 k2 0
K
k2
k2 k3
k3
0
k3 k3
F
F1 F2
(t ) (t )
P1(t)
P2(t)
k1 m
k
2
m
k3
1
2
m1 0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
P1(t) P2 (t)
k 1
M 1 (t )
k 2 I1 M 2 (t)
k 3 I2
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
FF12 F3
(t ) (t ) (t )
M xCxKx F
例2：转动运动
两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 I1, I2
轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
k 1
M 1 (t )
k 2 MI12 (t)
k 3 I2
试建立系统的运动微分方程 。
解： 建立坐标：
第二章 多自由度系统的线性振动
定义：
多自由度系统： 将分布的质量以及分布的弹簧和阻尼简化为有限个
集中质量以及有限个无质量的弹簧和阻尼器的系统。
线性多自由度系统： 存在与自由度数目相同的固有频率的系统。
例如：轿车行驶在路面上会产生上下振动
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1
1 2
x1
x2
c1 c2
x3
c2
0
c2 c2 c3
c3
0 c3 c3
x1 x2 x3
x1
x2
x3
m1 0 0
M
0
m2
0
0 0 m3
k1 k2
K
k2
0
k2 k2 k3
k3
0
k
3
k3
x1
x2
x3
c1 c2 c2 0
C
c2
c2 c3
c3
0