傅里叶变换光学系统实验报告

实验10 傅里叶变换光学系统
实验时间：2014年3月20日 星期四
一、 实验目的
1. 了解透镜对入射波前的相位调制原理。

2. 加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。

3. 观察透镜的傅氏变换力图像，观察4f 系统的反傅氏变换的图像，并进行比较。

4. 在4f 系统的变换平面插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。

二、 实验原理
1. 透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析
透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程差不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调制能力。

假设任意点入射光线在透镜中的传播距离等于改点沿光轴方向透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生位相的变化，且其大小正比于透镜在该点的厚度。

设原复振幅分布为(,)L U x y 的光通过透镜后，其复振幅分布受到透镜的位相调制后变为(,)L U x y '：
(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ϕ'= (1)
若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。

光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0(,)D D x y -，透镜折射率为n ，则该点的位相延迟因子(,)t x y 为：
0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- (2)
由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。

在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，并引入焦距f ，有： 22012
111(,)()()2D x y D x y R R =-+- (3) 12
111(1)()n f R R =-- (4) 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f
=-+ (5) 第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。

当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f
=-+ (6)
其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为：
1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内 其 它
(7)
2． 透镜的傅立叶变换性质
图1 透镜的傅立叶变换性质
如图1所示，入射的光波通过透镜前面的衍射屏后产生一个衍射光场，这个光场中包含很多不同的频率成分。

由于凸透镜的会聚作用，衍射光场中拥有相同空间频率的光波成分将会聚集到透镜的像方焦平面上（如图2中的光线1和2，光线3和4的空间频率相同，它们经过透镜后分别会聚到A 、B 两点）。

于是，在透镜的像方焦平面上安放一个观察屏，屏上显现的是衍射波场的空间频率分布，这种变换就是从空间域到频率域的变换，即衍射光场的傅立叶变换。

透镜像方焦平面上的光波复振幅分布()
,f f E x y 表达式如下（其中(),T u v 是t(x,y)的傅里叶变换）： ()()
()2212,,,f f x y z ik z f ik f f f f f f x y e E x y e T u v u v i f f f λλλ+⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭
(8)
3． 透镜孔径的衍射与滤波特性
实际上透镜总有一定大小的孔径。

这个孔径在光学系统中扮演着两种重要角色：衍射与滤波。

从波动光学角度来说，由于孔径的衍射效应，任何具有有限大小通过光孔径的光学成像系统，均不存在如几何光学中所说的理想像点。

所谓共轭像点，实际上是由系统孔径引起的，以物点的几何像点为中心的夫琅禾费衍射图样的中央亮斑——艾里斑。

此结论对于有限远处物点的成像情况同样适用。

其次，透镜有限大小的通光孔径，也限制了衍射屏函数的较高频率成分（具有较大入射倾角的平面波分量）的传播。

这可以从图2可以看出：
图2 透镜孔径引起渐晕效应
因此，所得衍射屏函数的频谱将不完整。

这种现象称为衍射的渐晕效应。

由此可见，从光信息处理角度来讲，透镜孔径的有限大小，使得系统存在着有限大小的通频宽带和截止频率；从光学成像的角度来讲，则使得系统存在着一个分辨极限。

4． 相干光学图象处理系统（4f 系统）
如图4所示：
图3 4f 系统光路图
当第一个透镜的像方焦平面和第二个透镜的物方焦平面重合时，在第一个透镜的物方焦平面上放置衍射屏，在它的像方焦平面上（变换频谱面T ）的频谱分布图象再一次通过第二个透镜进行第二次傅立叶变换，于是在第二个透镜的像方焦平面上放置的显示屏P 出现了衍射屏的倒像。

我们可以通过在变换频谱面T 上放置各种滤波器来改变原来图象，并将修改后的图象在P 上显示出来。

5． 空间滤波实验
如果从输入图像中提取或排除某种信息，就要事先研究这类信息的频谱特征，然后针对它制备相应的空间滤波器置于变换平面。

经第二次衍射合成后，即可达到预期的效果。

光学信息处理的原理概念大体就是如此。

三、 实验用具与装置图
用具：激光器、准直透镜、傅立叶透镜、傅立叶变换试件、频谱处理器、CCD 。

实验装置图如下面所示：
图4 傅里叶变换光路图
图5 反傅里叶变换光路装置简图
四、 实验过程与结果分析
1、开启电脑，运行csylaser 软件。

2、 将除了样品以外的各个光学元件粗略按照图4光路固定在实验平台上。

3、 打开激光器，用激光束作为参考，调整好光路，并调整好各个元件距离。

此过程中用白纸在准直系统后来回移动，发现光斑并不能维持在一定大小，说明准直系统出射光并非平行光。

我们重新调整了准直系统的两个透镜位置，利用准直立尺确认了不同出射距离光线的高度一致、直径相近，才继续后续操作。

4、 在傅里叶透镜焦面位置附近放置CCD ，调整前后位置直到显示屏上可看到的光斑
最小，说明CCD 正好位于透镜焦面上。

5、 在准直系统后面放置样品，在显示屏上得到傅里叶频谱的图像如图6：
图6 实验所得傅里叶频谱图
分析：
由图可见，样品图案的傅里叶频谱为大致成一个“米”字，其中十字最为清
晰，横线为纵向图案透射光场的衍射，纵线为横向图案投射光场的衍射。

中心最大的光斑为光的直流与低频分量，向两边扩散的是高频分量，而部分
高频渐渐隐去的原因是渐晕效应。

若用matlab 模拟出样品图像的傅里叶变换，可得到理论频谱图，如图7：
图7 源图像和理论频谱图
对比图6，可见频谱成像的质量并不是很好，尤其是斜线十分模糊，原因可能有： a. 激光器出射激光不是完全水平或者准直系统透镜间距没有调节准确，导致透过
样品的光不是水平平行光，没有形成标准的夫琅和费衍射；
b. 光学元件没有严格共轴，导致部分光场无法在观察屏上形成清晰的衍射图样；
c. 调CCD 位置时，肉眼分辨最小光斑有误差，使得CCD 没有准确处在透镜焦平面
位置；
源图
像图像的频谱图
6、按图5在图4光路基础上放置反傅里叶透镜，并将CCD移至反傅里叶透镜后，调
整二者位置，直至可在显示屏上看到边缘平整的倒置样品图案，即输入图像的反傅里叶变换图像。

如图8：
图8 实验所得反傅里叶变换图像
可见连续两次傅里叶变换后图像形式基本复原，结果与理论相符。

图像略有黑斑，可能原因有：
a.衍射频谱图的缺陷传递给了反傅里叶变换图像，如渐晕效应和米字不完整使
得反变换后部分像损失；
b.反傅里叶透镜与傅里叶透镜没有准确相距2f或入射傅里叶透镜的光束不平
行，影响了成像效果。

7、用白纸在两个透镜间来回移动，找到光斑最小的位置，即为4f系统的频谱面。

在
该处插入频谱处理器，可得到一系列相应反傅里叶变换输出图如下表第二列。

高通滤波器为一组不透光的细线，低通滤波器为一组透光的细缝。

第三四列为matlab
由表中图可知，高通滤波器滤去纵向的低频光，输出横向轮廓部分亮而中间和纵向轮廓部分暗的图像，线越宽滤去低频成分越多，横向轮廓越锐利；低通滤波器通过纵向低频光，输出横向边缘模糊而内部明亮纵向边缘清晰的图像，缝越窄滤去高频成分越多，横向轮廓越模糊。

事实上由于两种滤波器分别滤去了傅里叶频谱的高频部分和低频部分，因此大致可将两组滤波器看做是三对互补衍射屏。

对比实验图与理论图，可以说结果总体比较理想，基本做出了不同程度高低通滤波的效果。

但仍有一些光场分布与理论存在差距，尤其以窄缝低通滤波的成像为例，本该通过而显示出明亮的纵向低频部分也被滤去了许多。

这些不足可以总结为以下原因：
a. 用白纸寻找共焦面较为粗略，频谱处理器很难准确放置在两个透镜的共焦面上，所
以可能没有很好地达到目的的滤波效果；
b. 两个透镜间距不是2f 或入射傅里叶透镜的光束不平行的情况下没有找到最佳元件
放置点；
c. 滤波器上的缝或线没有很好地处在频谱的中心，导致实际选频偏离目的选频。

总结：通过本实验，我们加深了对透镜相位调制原理和透镜性质及相关参量的理解，在老师指导下和自主尝试中感性认识了光场的傅里叶变换和反变换，以及滤波器在信息处理中的作用，掌握了傅里叶变换光学系统中的光路调节方法和准直系统的调节方法。

【思考题】
1、透镜相位调试表达式的物理含义
答：相位调制因子(,)L x y ϕ的表达式可以单从几何光学简单推出来：
00(,)[(,)](,)(1)(,)L x y k D D x y knD x y kD k n D x y ϕ=-+=+- （9）
其中k 是某频率光波的波矢量，n 是透镜折射率，0D 是透镜中心厚度，(,)D x y 是透镜上各个点的厚度。

上式有很明显的物理含义，由于透镜的厚度是位置（x,y ）的函数，使得通过透镜平面不同点的光经过的光程是不同的。

我们计算光线通过以0D 为厚度的圆柱体时通过的光程，这个光程分为两个部分：一部分是在透镜玻璃中的光程，即上式
中的(,)nD x y ；另一部分则是光线在空气中的光程，即上式中的0(,)D D x y -（设空气折射率为1）。

这两个光程之和乘以波矢k 就是透镜各个点造成光波的相位延迟。

2、光信息处理的大概原理是什么？为何用白光做光源却能得到彩色图像？如何实验物像的反衬度反转？
答：阿贝在研究显微镜成像问题时，提出了一种不同于几何光学的新观点，他将物看成是不同空间频率信息的集合，相干成像过程分两步完成，第一步是入射光场经物平面发生夫琅禾费衍射，在透镜后焦面上形成一系列衍射斑；第二步是各衍射斑作为新的次波源发出球面次波，在波面上互相叠加，形成物体的像．将显微镜成像过看成上述两步成像过程，这称为阿贝成像原理。

它不仅用傅里叶变换阐述了显微镜成像的机理，更重要的是首次引入频谱的概念，启发人们用改造频谱的手段来改造信息。

根据阿贝成像原理，我们要对一个物体进行光信息处理，首先是要得到它的空间频谱图。

这一步可以利用透镜的傅立叶变换性质，构造一个或者多个透镜系统，然后在第一个透镜的物方焦平面上放置衍射屏（要处理的图像），在它的像方焦平面上会得到源图像频谱分布图。

我们可以通过在变换频谱面T 上放置各种滤波器来改变原来图像，并再一次通过另一个同样的傅立叶透镜系统，在第二个透镜的像方焦平面上就会出现经过改造后的图像了。

同样的，我们可以将要进行处理的光信息进行快速傅立叶变换得到信息的频率分布，通过对频谱进行改造来改造信息，这就是信息光学处理的大概原理。

因为白光是由各种频率的光合成的，经过衍射屏产生衍射时，不同频率的光分量在屏上同一个点产生的衍射是不同的。

于是，经过透镜的变换作用，最后屏上显现的物体的倒像上的各个点并不是具有所有的频率分量，而是因为缺乏某些频率分量而无法维持原来的白色，从而就会出现彩色图像了。

用不插入频谱处理器得到的图像作为频谱处理器，在4f 系统中即可得到物象的反衬度的反转。

3、为什么透镜对通过的光波具有相位调制能力？
答：波动方程、复振幅、光学传递函数透镜由于本身厚度变化，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调节能力。

4、什么叫渐晕效应，怎样消除渐晕？
答：渐晕效应是指由于透镜的孔径大小有限，从而造成空间频率高频分量的丢失的现象。

理论上来说，只有透镜的孔径无限大才能完全消除渐晕效应。

所以实际系统总是存在渐晕效应的。

从光信息处理角度来说，系统存在有限大小的通频带宽和截至频率；从光学成像上说，系统存在一个极限分辨率。

5、什么叫光学4f 系统？如何使用这一系统作光学信息处理？
答：相干光学图像处理系统即4f 系统。

相干光学系统的成像过程看作两步在图四中：第一步，从O 面到T 面，使第一次夫琅和斐衍射，它起分频作用。

第二步，从T 面到I 面，再次夫琅和斐衍射，起合成作用，即综合频谱输出图像。

在这样的两步中，变换平面T 处于关键地位，若在此处设置光学滤波器，就能起到选频作用。

要想作到图像的严格复原，T 面必须完全畅通无阻。

此处的4f 系统每次衍射都是从焦面到焦面，这就保证了复振幅的变换是纯粹的傅里叶变换。

如果光波能够自由通过变换平面，即连续两次的傅里叶变换，函数的形式基本复原，只是自变量变号~~
10(',')(,)U x y U x y ∝--，即图像倒置。

在有源滤波器的情况下：~~~
100T U U t U =≠这里为滤波器的透过率函数，这也是我们进行滤波实验的依据。

【致谢】
本报告中的matlab理论模拟图均由本人搭档何杰勇所作，他能灵活运用软件解决实际问题令本人佩服，也在此对他的分享表示感谢！
参考文献
《matlab在阿贝成像仿真中的应用》。