高等数学常微分方程讲义,试题,答案

高等数学常微分方程讲义,试题,答案
常微分方程
§4.1 基本概念和一阶微分方程
（甲）内容要点一、基本概念
1、常微分方程和阶
2、解、通解和特解
3、初始条件
4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、
dy
p(x)Q(y)dx
(Q(y) 0) 2、齐次方程：
dy dx
y f x
三、一阶线性方程及其推广
1、
dydy
P(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx
( 0,1)
四、全微分方程及其推广（数学一）
1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足
Q P
2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x
2
2
Q p (RQ) (RP)
但存在R(x,y)，使x y x y
dydy
xy的通解。

dxdx
解：y (x xy)
22
dy
0dx
y
dyy2 x d__y x2 y
1 x
2
yduu2
令u,则u x udx x(1 u)du 0
xdxu 11 udx
du u x C1 ln|xu| u C1
例2
C1 u
ce, y ce
dyy
的通解d__ y4
u
yx
求微分方程
d__ y4dx1
解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶
dyydyy
11
dy 14 dy 133yy
dy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e ye
y 3
例3
设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解
x
x
解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为
dy
(e x 1)y 1 dx
x xdy
(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx
再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4
设
12
12
故所求解y e e
x
x e x
12
满
足
以
下
件
F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )
内
f (x) g(x),
g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex
（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e
2dx
4e
2x
e 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x
将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例5
2
F(x) e2x e 2x
dy2
(1 y)的通解求微分方程(y x) xdx
sec2udu
sec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2
secvdv
化简为sin(u v)
dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1
dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,
1 sinz
v c2
1 sinz1 sinz z v c 2
cosz
z tanz secz v c z
最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）
（甲）内容要点
一、可降阶的高阶微分方程
二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程
y p(x)y q(x)y 0
（1）
二阶非齐次线性方程
y p(x)y q(x)y f(x) （2）
1、若y1(x),y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合C1y1(x) C2y2(x)（C1,C2为任意常数）仍
为同方程的解，特别地，当y1(x) y2(x)( 为常数)，也即y1(x)与y2(x)线性无关时，则方程的通解为
y C1y1(x) C2y2(x)。

2、若(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1(x) C2y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的通解（C1,C2为
独立的任意常数）则y (x) C1y1(x) C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。

3、设y1(x)与y2(x)分别是y p(x)y q(x)y f1(x)与y p(x)y q(x)y f2(x)的特解，则y1(x) y2(x)是y p(x)y q(x)y f1(x) f2(x)的特解
三、二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0,
特征方程
p,q为常数
2 p q 0
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）当p 4q 0,特征方程有两个不同的实根1, 2则方程的通解为（2）当p 4q 0,特征方程有而重根1 2，则方程的通解为222
y C1e 1x C2e 2x y (C1 C2x)e 1x
x
（3）当p 4q 0,特征方程有共轭复根i , 则方程的通解为y e(C1cos x C2sin x) 四、二阶常系数非齐次线性方程
方程通解
y py qy f(x)其中p,q为常数
y C1y1(x) C2y2(x)
其中C1y1(x) C2y2(x)为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。

所以关键要讨论二阶常系数非齐次
线性方程的一个特解y如何求？
我们根据f(x)的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y,常见的f(x)的形式和相对应地y的形式如下：1、f(x) pn(x), 其中pn(x)为n 次多项式
（1）若0不是特征根，则令y Rn(x) a0xn a1xn 1 an 1x an其中ai(i 0,1,2, ,n)为待定系数。

（2）若0是特征方程的单根，则令y xRn(x) （3）若0是特征方程的重根，则令y x2Rn(x) 2、f(x) pn(x)e x 其中pn(x)为n次多项式，为实常数
（1）若不是特征根，则令y Rn(x)e x （2）若是特征方程单根，则令y xRn(x)e x （3）若是特征方程的重根，则令y x2Rn(x)e x
3、f(x) pn(x)e xsin x或f(x) pn(x)e xcos x 其中pn(x)为n次多
项式，, 皆为实常数（1）若i 不是特征根，则令e x[Rn(x)cos x Tn(x)sin x] 其中Rn(x) a0xn a1xn 1 an 1x an ai(i 0,1, n)为待定系数
Tn(x) b0xn b1xn 1 bn 1x bn bi(i 0,1, n)为待定系数
（2）若i 是特征根，则令y xe x[Rn(x)cos x Tn(x)sin x] 五、欧拉方程（数学一）
xny(n) p1xn 1y(n 1) pn 1xy pny 0, 其中pi(i 1,2, ,n)为常数称为n阶欧拉方程，令x et代入方程，
变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程（乙）典型例题
例1 求(1 x)y y ln(x 1)的通解
解：令y p,则y p ,原方程化为(x 1)p p ln(x 1)
p
1ln(x 1)p 属于一阶线性方程x 1x 1
dx ln(x 1) x1 C11 1
ln(x 1)dx C ln(x 1) 1 dx C 11 x 1x 1 x 1
p e
1
d__ 1
C
y ln(x 1) 1 1 dx C2 (x C1)ln(x 1) 2x C2
x 1
例2 求下列微分方程的通解yy (y ) 1 0
2
解令y p,则y p
dp
，原方程化为dy
yp
dp
p2 1 dy
1pdpdy2
lnp ln|y| C1 C12 2yp 1
dy
C1y2 dx
p C1y2
当C1 01C11
lnC1y C1y2 x C2
当C1 0 C1
arcsin C1y x C2
例3 求y 2y 3y 2ex的通解
解先求相应齐次方程y 2y 3y 0的通解，其特征方程为2 3 0 特征根为1 3, 2 1，因此齐次方程通解为Y C1e
3x
2
C2ex
1
，故原方程的通解为2
设非齐次方程的特解为y,由于1为特征根，因此设y xAex,代入原方程可得A
y C1e 3x C2ex
1__e 2
例4 求方程y y 2y 2cos2x的通解
特征根为1 2, 2 1，因此齐次方程的通解为Y C1e
2x
C2ex
设非齐次方程的特解为y,由于题目中0, 2, i 2i不是特征根，因此设y Acos2x Bsin2x，代入原方程可得( 2A 2B 4A)cos2x ( 2B 2A 4B)sin2x 2cos2x
6A 2B 2
6B 2A 0
__
3131
sin2x 解联立方程得A ,B ，因此y cos2x
__-__
31 2x
C2ex cos2x sin2x 故原方程的通解为y C1e
1010
例5 解y cosx 2y sinx 3ycosx e
x
解：令u＝ycosx，则u y cosx ysinx,u y cosx 2y sinx ycosx，原方程变为u 4u e
x
sin2x 解出u C1cos2x C2
1x
e 5
cos2xsin2x1excos2x1ex
) y C1 C2 C2sinx (c2 2c2＝C1
cosxcosx5cosxcosx5cosx
例6 设函数y＝y（x）在, 内具有二阶导数，且y 0,x x y 是y＝y（x）的反函数.
dx d2x
0变换为y＝y（x）满足的微分方程；（1）试将x＝x（y）所满足的微分方程2 y sinx dy dy
（2）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，y 0
3
的解. 2
解（1）由反函数导数公式知
dx1dx 即y 1.
dyydy
dxd2x2
上式两端关于x求导，得y 2 y
dydy
代入原微分方程得y y sinx （*）
dxy 2
dxy dy。

0.所以2 23
dyy y （2）方程（*）所对应的齐次方程y y 0的通解为Y C1ex C2e x 设方程（*）的特解为y＝A cosx+ Bsinx ，__
11
代入方程（*）求得A＝0，B＝－，故y＝－sinx，从而y y sinx的通解是
221
y(x) C1ex C2e x sinx.
3
由y(0) 0,y 0 ，得C1 1,C2 1，
2
1x x
故所初值问题的解为y(x) e e sinx.
2
__
例7．设f（x）＝xsinx－(x t)f(t)dt，其中f（x）连续，求f （x）
x
解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得f x xcosx sinx 再对两边关于x求导，得f x xsinx 2cosx f(x) 即f x f x xsinx 2cosx 属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解y C1cosx C2sinx，
f t dt
x
非齐次方程特解设y x Ax B cosx x Cx D sinx 代入方程求出系数
__
__
A,B,C,D 则得
y
123
xcoxs xsixn，故f（x）的一般表达式4413
f(x) x2cosx xsinx C1cosx C2sinx
44
123
xcosx xsinx 44
由条件和导数表达式可知f（0）＝0，f 0 0可确定出C1 0,C2 0因此f(x)
x
2x
x
x
例8 已知y1 xe e，y2 xe e，y3 xex e2x e x是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.
解：由线性微分方程的解的结构定理可得，
y1 y3 e x，y1 y2 e2x e x，y1 y3 y1 y2 e2x
是该方程对应的齐次方程的解，由解e
x
与e
2x
的形式，可得齐次方程为y y 2y 0.
设该方程为y y 2y f(x)，代入y1 xex e2x，得f x 1 2x ex. 所以，该方程为y y 2y 1 2x ex，其通解为C1e x C2e2x xex e2x.
§4.3 微分方程的应用
一、微分方程在几何问题方面的应用
例1 求通过（3，0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。

解：设曲线y＝（yx）上任意一点M（x，y），则其切线方程为Y－y＝y X x ，故切线与y轴交点A的坐标为0,y xy ，
由题意AM AO 所以x2 xy
__________
2
12
2yy y x 2
x y xy .这样，
yx 3 0
1 u u x 2
令y u, x
ux 3 0
3 3 2
解得u 3x x，即y2 3x x2，则x y2
2 2
例2 设函数f（x）在1, 上连续，若曲线y＝f（x），直线x ＝1，x＝t（t1）与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周
22
所成旋转体的体积V（t）＝解：由题意可知
t
3
2
f t f 1 ，试求y＝f（x）所满足的微分方程，并求y
x 2
2
的解. 9
V t f2 x dx
1
t
t3
2
f t f 1 则3 f2 x dx t2f t f 1
1
t
两边对t求导，3f
2
t 2tf t t2f t t＝x，f（t）＝f（x）＝y，得2
ydydudy y y
u x，x2y 3y2 2xy，3 2 令u ,y xu, xdxdxdx x x
这样，x
du
3u u 1 ，当u 0,u 1时dx。