8、二次函数之矩形存在性问题

二次函数之矩形存在性问题
1、（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2
=++经过()
y ax x c
B两
0,4
A﹣，()
2,0
点，直线3
x=与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线3
∆的面积相等，求直
∆与OCE
x=交于点D，E，且BDO
线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线3
x=上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2、（2022•绥化）如图，抛物线2
=++交y轴于点()
y ax bx c
C，过点A作AB y
6,0
A-，并经过点()
0,4
⊥
4,0，连接AD，BC，BD．点E从轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线2
x=，D点的坐标为()
A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作⊥于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
EF AB
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
3、（2022•黔东南州）如图，抛物线22y ax x c =++的对称轴是直线1x =，与x 轴交于点A ，()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ． （1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DM x ⊥轴，垂足为点M ，DM 交直线BC 于点N ，是否存在这样的点N ，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F ，使以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
4、（2022•梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++<与x 轴交于()2,0A -、
()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，且2OC OA =． （1）试求抛物线的解析式；
（2）直线()10y kx k =+>与y 轴交于点D ，与抛物线交于点P ，与直线BC 交于点M ，记PM
m DM
=，试求m 的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．
5、（2022•武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线21:L y x bx c =-++（b 、c 为常数）与x 轴交于()6,0A -、()2,0B 两点． （1）求抛物线L 1的函数表达式；
（2）将该抛物线L 1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L 2，与原抛物线L 1交于点C ，点D 是点C 关于x 轴的对称点，点N 在平面直角坐标系中，请问在抛物线L 2上是否存在点M ，使得以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是以CD 为边的矩形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
6、（2022•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
56
y x bx c =
++与x 轴的正半轴交于点D ，与y 轴交于点C ，点A 在抛物线上，AB y ⊥轴于点B ．ABC ∆绕点B 逆时针旋转90°得到OBE ∆，
连接DE ．当2506x bx c ++<时，x 的取值范围是3
25
x -<<．
（1）求该抛物线的解析式； （2）求证：四边形OBED 是矩形；
（3）在线段OD 上找一点N ，过点N 作直线m 垂直x 轴，交OE 于点F ，连接DF ，当DNF ∆的面积取得最大值时，求点N 的坐标，在此基础上，在直线m 上找一点P ，连接OP 、DP ．使得
90OPD DOE ∠+∠=︒，求点P 的坐标．
7、（2022•石家庄二模）如图，抛物线()20y x bx c c =-++≠与x 轴交于点()1,0A -，B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．
（1）点C 的纵坐标为 （用含b 的式子表示），OBC ∠= 度；
（2）当1b =时，若点P 为第一象限内抛物线上一动点，连接BP ，CP ，求BCP ∆面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；
（3）已知矩形ODEF 的顶点D ，F 分别在x 轴、y 轴上，点E 的坐标为()3,2． ①抛物线的顶点为Q ，当AQ 的中点落在直线EF 上时，求点Q 的坐标；
①当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y 随x 的增大而减小时，请直接写出b 的取值范围．
8、（2022•滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线2
12
y x bx c =
++与x 轴交于点()1,0A -、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，直线:2BM y x m =+交y 轴于点M ．P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交直线BC 、BM 于点E 、F ． （1）求抛物线的表达式：
（2）当点P 落在抛物线的对称轴上时，求PBC ∆的面积：
（3）①若点N 为y 轴上一动点，当四边形BENF 为矩形时，求点N 的坐标；
①在①的条件下，第四象限内有一点Q ，满足QN QM =，当QNB ∆的周长最小时，求点Q 的坐标．
9、（2022•石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD 为12米，宽AB 为4米，抛物线的最高处E 距地面BC 为8米． （1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；
（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离； （3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN （如图2），对观景桥表面进行维护，P ，N 点在抛物线上，Q ，M 点在BC 上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ ，PN ，MN 的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．
10、（2022•朝阳区校级一模）已知二次函数22y x mx m =--与y 轴交于点M ，直线5y m =+与y 轴交于点A ，与直线4x =交于点B ，直线2y m =-与y 轴交于点D （A 与D 不重合），与直线4x =交于点C ，构建矩形ABCD ．
（1）当点M 在线段AD 上时，求m 的取值范围．
（2）求证：抛物线22y x mx m =--与直线5y m =+恒有两个交点．
（3）当抛物线在矩形内部的函数值y 随着x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围．
（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B 到x 轴距离的1
2
时，直接写出m 的取值范围．
11、（2022•长春一模）已知抛物线2221y x mx m =-++．
（1）写出抛物线2221y x mx m =-++的顶点坐标（用含m 的式子表示）． （2）当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ．
（3）当12x -≤≤时，函数2221y x mx m =-++的图象记为G ，设图象G 的最低点的纵坐标为y 0．当
01y =-时，求m 的值．
（4）当0m >时，分别过点()2,1A 、()2,4B 作y 轴垂线，垂足分别为点D 、点C ，抛物线在矩形ABCD 内部的图象（包括边界）的最低点到直线2y =-的距离等于最高点到x 轴的距离，直接写出m 的值．
12、（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322
y x bx =-++与x 轴正半轴交于点
A ，且点A 的坐标为()3,0，过点A 作垂直于x 轴的直线l ，P 是该抛物线上一动点，其横坐标为m ，
过点P 作PQ l ⊥于点Q ，M 是直线l 上的一点，其纵坐标为3
2
m -+．以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值；
（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值；
（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围．
13、（2022•白山模拟）在平面直角坐标系中，抛物线22y x x b =-++（b 为常数，0b ≠）与y 轴交于点A ，且点A 的坐标为()0,3，过点A 作垂直于y 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ，M 是直线l 上的一点，其横坐标为1m -+．以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ． （1）求b 的值；
（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值； （3）当矩形PQMN 为正方形时，求m 的值；
（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．
14、（2021•吉林四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线215
22
y x bx =
+-与x 轴交于点()5,0A ，与该抛物线的对称轴l 交于点B ，作直线AB ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点Q ，过点P 作PN l ⊥于点N ，以PQ 、PN 为边作矩形PQMN ． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AB 的解析式；
（3）当该抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标；
（4）当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ 的距离相等时，直接写出m 的值．
15、（2021•南关区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线22y x ax a =--（a 为常数）．
（1）当1,2m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在抛物线上，求m 的值．
（2）当抛物线的最低点到x 轴的距离恰好是
1
4
时，求a 的值． （3）已知()1,1A -、11,22B a ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，连接AB ．当抛物线与线段AB 有交点时，记交点为P （点P 不
与A 、B 重合），将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，以PM 、P A 为邻边构造矩形PMQA ． ①若抛物线在矩形PMQA 内部的图象的函数值y 随自变量x 的增大而减小时，求a 的取值范围． ①当抛物线在矩形PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为3
2
时，直接写出a 的值．
16、（2021•吉林二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线213
22
y x x =
--与x 轴正半轴交于点A ，过点A 的直线()0y kx b k =+≠与该抛物线的另一个交点B 的横坐标为2，P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为1m +，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点C ，在该垂线的点P 上方取一点D ，使1PD =，以CD 为边作矩形CDEF ，设点E 的横坐标为2m ． （1）求直线AB 对应的函数关系式； （2）当点P 与点A 重合时，求点E 的坐标；
（3）当点E 在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF 的距离；
（4）当矩形CDEF 的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．
17、（2022•烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，抛物线
2y x bx c =-++经过A ，()4,5C -两点，且与直线DC 交于另一点E ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q ，连接EQ ，AP ．试求EQ PQ AP ++的最小值；
（3）N 为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E ，A 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
18、（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++（b 、c 是常数）经过点()01-，和()2,7，点A 在这个抛物线上，设点A 的横坐标为m ． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C 的坐标．
（2）点B 在这个抛物线上（点B 在点A 的左侧），点B 的横坐标为12m --． ①当ABC ∆是以AB 为底的等腰三角形时，求OABC 的面积．
①将此抛物线A 、B 两点之间的部分（包括A 、B 两点）记为图象G ，当顶点C 在图象G 上，记图象G 最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h ，求h 与m 之间的函数关系式．
（3）设点D 的坐标为(),2m m -，点E 的坐标为()1,2m m --，点F 在坐标平面内，以A 、D 、E 、F 为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m 的取值范围．
19、（2022•丹东）如图1，抛物线()20y ax x c a =++≠与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，PD 交直线BC 于点E ，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE 的长度为h ，请用含有m 的代数式表示h ；
（3）如图2，过点P 作PF CE ⊥，垂足为F ，当CF EF =时，请求出m 的值；
（4）如图3，连接CP ，当四边形OCPD 是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使原点O 关于直线CQ 的对称点'O 恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q 的坐标．
20、如图，已知抛物线21111:C y a x b x c =++和()2222212:C y a x b x c a a =++=（|a 1|＝|a 2|）都经过原点，顶点分别为A ，B ，与x 轴的另一交点分别为M ，N ，如果四边形ANBM 是平行四边形，则称抛物线C 1和C 2为对称抛物线．
（1）观察图象，写出对称抛物线两条特征；（如：抛物线开口大小相同） （2）若抛物线C 1的解析式为22y x x =-+，确定对称抛物线C 2的解析式． （3）若4MN =，且四边形ANBM 是矩形时，确定对称抛物线C 1和C 2的解析式．。