第五章材料力学考试复习重点知识与练习题

从图
在该段中的变线段
(T
即为非粮馆举性段, 压液线可看出即整个拉伸过程可分为以下四个阶段。

* /
）称线弹性段，其斜率即为弹性模量
E,对应的最高应力值 虎克定律（r=Ec 成立。

而ab 段, 在该段内所产生的应变仍是弹性的， 但
它与应力已不成正比。

b
点相对立白 勺应力
第五早材料力学 主讲：钱民刚 第一节 概论
材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供 了有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸 和形状，以达到安全与经济的设计要求。

♦一、材料力学的基本思路 （一）理论公式的建立 理论公式的建立思路如下：
（一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下 的钢称为低碳
钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的 （7- e 曲线如图
5-1所示。

陶度箓
n
------- 搬面设计
为确保构件不致因强度/、丸而破坏, 应使其最
——该啊瓯丽于材料的极限应力0- u,
物出射和 （力与姻（美系）
* 变形
外力 T ］表小，即
临界前载
应力力布1£
配
IX
没有屈服阶段，也酸 _ 曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模量。

它 1
故衡量铸铁拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时
/,在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁TE
与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比抗拉 事蝌性变形也较为蛾显。

破坏断口为斜断面，这表明试件是因
m max
对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限①良或名义屈服极限
（T
该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变 成分，除弹性
应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点 （7S 称为屈服 极限。

这时，试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成 45。

的滑移线，这是由于试 件材料在45。

的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。

对于塑性材料来说，由于屈 服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作，故
（7S 是衡量塑性材料
强度的一个重要指标。

对于无明显屈服阶段的其他塑性材料，工程上将产生0.2%31 性应变时的应力
作为名义屈服极限，并用 （7 0.2表示。

3 .强化阶段（ce 段）
在该段，应力又随应变增大而增大，故称强化。

该段中的最高点 e 所对应的应力乃 材料所能承受的最大应力crb,称为强度极限，它是衡量材料强度（特别是脆性材料） 的另一重要指标。

在强化阶段中，绝大部分的变形是塑性变形，并发生“冷作硬化” 的现象。

4 .
局部变形阶段（ef 段）
在应力到达e 点之前，试件标距内的变形是均匀的；但当到达e 点后，试件的变形 就开始集中于某一较弱的局部范围内进行， 该处截面纵向急剧伸长，横向显著收缩， 形成“颈缩”；最后至f 点试件被拉断。

试件拉断后，可测得以下两个反映材料塑性性能的指标。

（1）延伸率 式中’
11
——拉断后的长度。

工程上规定6 >5%勺材料称为塑性材料，6 <5%勺称为脆性材料。

（2）截面收缩率
.="一，
X100% （5-3）
低碳钢压缩小的（7- £曲线与拉伸时对比可知，低碳钢压缩时的弹性模量 E 、比例 极限（7P 和屈
服极限（7S 与拉伸时大致相同。

（二）铸铁拉伸与压缩时的力学性质
铸铁拉伸与压缩时的（T- e 曲线如图5-2所示。

图 7（（）
从铸桃上伸时的 压缩曲线中可以看出，它没有明显的直线部分。

因其拉断前的应
变很小
颈缩现象（ O
曲线
o
100
能力腆 的他M
立力 2 4G 8
10 12
hr €
0.2）作为极限应力bu的值；而对脆性材料制成的杆，应该取强度极限crb作为极限应力（T U的值。

第二节轴向拉伸与压缩
♦一、轴向拉伸与压缩的概念
（一）力学模型
轴向拉压杆的力学模型如图5-3所示。

（二）受力特征
作用于杆两端外力的合力，大小相等、方向相反，并沿杆件轴线作用。

（三）变形特征
杆件主要产生轴线方向的均匀伸长（缩短）。

♦二、轴向拉伸（压缩）杆横截面上的内力
（一）内力
由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力。

（―------------------------------ 尸
截面法电求内
力fL般方法T用截面快求内力的步骤如下。

（口截开。

.在需求内力•的截面处，假想地沿该截面将构件截分为二。

（2）代替。

任取一部分为研究对象，称为脱离体。

用内力代替弃去部分对脱离体的作用。

（3）平衡。

对脱离体列写平衡条件，求解未知内力。

截面法的示意图如图5-4所
!»
p轴向拉压杆/截产上的内力,其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力，以
抖以拉力为正，压力为负
（四）轴力图
轴力图表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线。

例5-1试作图5-5 （a）所示等直杆的轴力图。

解：先考虑外力平衡，求出支反R二10kN
显然NAB=10kN,NBC=50kN,NG琳N, NDE=20kN
由图5-5 （b）可见，某截面上外力的大小等于该截面两侧内力的变化。

中分布规律：轴向拉压杆横截前上的应力垂直于截面，为正应力，且正应力在
-n
40K1M 55kN 25kN
整个横截面上均匀分布，如图5-6所示 正应力公式
♦四、轴向拉压杆斜截面上的应力
斜截面上的应力均匀分布，如图5-7所示，其总应力及应力分量如下 总应力
a ——由横截面外法线转至斜截面外法线的夹角，以逆时针转动为正;
A a --------------- 斜截面
---- --- 二
（70 ——横截面上的正应力 era 拉应力为正，压应力为负。

r
正，反之为负。

轴向拉压杆中最大正应力发生在 a 明应力
二90。

的纵截面上，其值分别为
b EHR” 一疗I J
最大剪应力发生在a =±45°的斜截面上，最在泼此力像生在 a =0°的横截面和a 二90。

的纵截面上，其
值分别为
1-1小
-II F
♦五、强度条件 （一）许用应力
材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。

口］二恐
（5-9）
脆性材料
式中crS ——屈服极限；
0- b --- 抗拉强度；
nS 、nb ------- 安全系数。

（二）强度条件
构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。

轴向拉压杆的强度条件为
止跑力
(5-6)
式中 图57斜谶面上的应力均匀5
塑性材料 1^1 = —
（三1泊松比
当应力不却过材料的比例极限时.横向线应变d,飒I 句线应变炉之比的绝对酒为一常 数，即
泊松卜.剪•班班度条件；剪切而上的工作剪
应力不得超过材料的许用剪应力 (5-19)
(5-20)
当挤整面为平面时，名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积；当挤压
面 为曲面时，则名义挤压面面积取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投
影面积。

（2）许用挤压应力。

根据直接试验结果，按照名义挤压应力公式计算名义极限 挤压应力，
再除以安全系数。

（3）挤压强度条件。

挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力， 即
15—21 )
♦三、
（一）纯剪切
mH
WE
强度计莫的二类问题,
（2）假面设计
（箝 确定件可荷技
邛叫r-j 乂 /8
轴向线强受
£ =—
横向变堰
心--
[CT]
再根据平阑条卡|,由可3计算E 户k
5-8;而在轴向压缩时，轴向
横彻）1成力特征。

构件上受到叽对大小相等、方向相反，林川线相距很近，且与 ）变形特征。

（二）虎克定律
构件沿近曷分界面有发生相对错动府马加。

当的力不超过材料比例极限时, 应力与画变成正比r 即
<j-£f
15-15)
式中E -材料的弹件模威.
廉用轴用双为件变件减班车为
式中 EA —杵的抗拉门1O 刚度.
机
AL --
EA
(.5-E6J
为剪切面面积，Q
用试验的方法求得名义剪切极限应力
T
（5-17）
<5-?H5-S 轴向扣杆的变出
（二）挤压笈用计算
若单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力，称为纯剪切。

纯剪切引起剪应变Y ,即相互垂直的两线段间角度的改变。

（二）剪应力互等定理
在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且 共同指向或
背离这一交线（见图 5-10）,即
对各向同性材料，£7/间只有两个独立常数，即
第四节扭转 ♦一、扭转的概念
（一）扭转的力学模型
扭转的力学模型，如图5-11所示。

（1）受力特征。

杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反， 作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。

（2）变形特征。

杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任 意两横截面绕杆件轴线发生相对转
动。

（3）扭转角？。

杆件任意两横截面间相对转动的角度。

（二）外力偶矩的计算
轴所传递的功率、转速与外力偶矩（kNI - mj ）间有如下关系
图5-11扭转力学模型 式——因递功率，kw /7、 （ 5-25）
「n
—T ^速广-r/minf 1
♦I 二、扭矩和扭矩图
（1）扭矩。

受扭杆件横截仆工的内力是一个在截面平面内的力偶,其力偶矩称 为扭矩，用T 表示，见图5-12,其信用截面法求得。

（2）扭矩符号。

扭矩T 的正负号规定，以右手法则表示扭矩矢量，若矢量的指 向与截面外向法线的指向一致时扭矩为正，反之为负。

图 5-12中所示扭矩均为正
与剪应变 成正比，即
T =- T *
及限时，剪应力
♦三、圆杆扭转时的剪应力与强度条件 (一)横截面上的剪应力
(1)剪应力分布规律。

横截面上任一点的剪应力，其方向垂直于该点所在的半 径，其值与该点到圆心的距离成正比，见图 5-13
(l-a 4)
16
冏剪应力为
(5-26)
亶为
<5-27)
E 力不得超过材料的丑
第五节
♦一、静矩与形心
面［图 5-14 (a)］
炉设计和确定许可荷审
■ = ■
0 = - »；= —
1& I
空心园我而［图5-14 (匕”
<5-2K)
(5-29)
TL
初
:的等真圆杆.叫表示
形心坐标
U 转角不得超过规定的i
由刚度条件，同样可对受扭圆杆进行刚度校核、截面设计和确 计算。

显然，若z 轴过形心，yc=0,则有Sz=O,反之亦然；若y 轴过形心，zc=0, 则有Sy=O,反之亦然。

♦二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积
对图5-15所小截面,对二轴和丫轴的惯性知为
(5-38)
惯性矩总是正值，具品纲为长度的四次方，亦可写
/_= Ai: I
I)公式适用于线弹性范用“maxW%),小变形条件下 的等截而
实心或空心屣红杆，
2) 丁为所求故而上的扭矩，
叫称为抗扭越向系数,其值与戕 国 5-14
⑴文心， 司截而
ih '空心
在该点出土惯性我，.简称土轴。

阔步双土惯惺轴电漱恨矩称为上惯性矩。

显然, 任意一对正交坐标轴中之一轴为图形的对称轴时，图形对该两轴的惯性积必为零， 故这对轴必为主轴。

过截面形心的主惯性轴，称为形心主轴。

截面对形心主轴的惯性矩称为形心 主矩。

杆件的
轴线与横截面形心主轴所组成的平面，称为形心主惯性平面。

形型干件的基本变形之一。

以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。

普曲变形特征。

-任意两横截面绕垂直杆轴线的轴做相对转动, 线也弯
成曲线。

（2）平面弯曲。

荷载作用面（外力偶作用面或横向力与梁轴线
组成的平面） 与弯曲平
面（即梁轴线弯曲后所在平面）相平行或重合的弯曲。

产生平面弯曲的条件：
1 ）梁具有纵对称面时，只要外力（横向力或外力偶）都作用在此纵对称面
内。

和yc 的 的z 轴
显然, ♦四、
在坪砸有1瓦4迎购性耐
若截面图形对通过某, 费咂转心主（#1 点的某一「正交坐标新他惯性才 t-hh 12 —
生矩为虚小
侬性）矩 …用这对坐标轴为图形
弯曲袈电自力、应力和变形 、
ff ■面弯曲的概念
同时杆的轴
附
K
续表
K?
他 底
轴和形心丸. I!
2 )非对称截面梁。

纯弯曲时，只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平面(即梁的轴线与其横 截面的形心 主惯性轴所构成的平面)平行的平面内。

横力弯曲时，横向力必须通过横截面的弯曲中心，并在与梁的形心主惯性 平面平行的 平面内。

♦二、梁横截面上的内力分量一一剪力与弯矩 (一)剪力与弯矩
(1)剪力。

梁横截面上切向分布内力的合力，称为剪力，以 Q 表示。

(2)弯矩。

梁横截面上法向分布内力形成的合力偶矩，称为弯矩，以 M 表示。

(3)剪力与弯矩的符号。

考虑梁微段 dx,使右侧截面对左侧截面产生向下相 对错动的剪力为
正，反之为负；使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩为正，反之为 负，如图5-17所示。

x
.加巨的计算。

由截面法可知!吼4回||直接法求出： ♦尸
梁上所有外力在横截面方
向的投影代数林且左洲法
上少上的外力或右幽丁向卢功力引起正剪力、反之 则引起负剪为(长 三
一
M [ 琳廿"KO "
■
k
"右侧)梁上所有外力对该
截面形心的力矩代数和，且向上外力均引起正弯矩，左侧梁上顺时针转向的外力偶 及右侧梁上逆时针转向的外力偶引起正弯矩， 反之则产生负弯矩，如图5-18所示
例A2如图5-19所示，求IT 技师和27
截面的内力&
解t 先求支反力，¥
^=0,
a x(2 +2 + 4)= 20x6 + 411 +(IOx4)x 2
F, kN J
表示沿杆轴各横截面
方程，表示为
M=M(x)
宜接法求内^ ^=^-20 = 30-20 = 10( kN)
)剪力解。

=*却"上丽蜀麻修好方％截面位置变化的图线，称为剪 图
°
A/, = X 4-(I0X 4)X 2 = ?H K ^-S II ^40I kN *m)
l 二】内力宙推 ——剪力方程与常施力程
m 剪力方程,表示沿杆轴程横松面上电力随业面也置受化的函数，称为附力方一程， 表那为
F
图5-
(a)产生正号剪力的外力;
称为弯矩
(b)产生正号弯矩的外力和外力矩
lots
1U kM--in
图5-I9例5-2图
解:见图5-20n
例5T 由图5T1 tb ）所示柒的明力图. 偶作用
解
画出梁的荷我图和弯矩图。

（梁h 元集中力
）中性层的曲率。

杆件发生平面弯曲时,
为批应力，另一侧为压魔力r 如图 所示.
计算公式如下+住一点应力
,V
(5-16)
最大应力
1H ：巾
忖名聊性范围时,
I--KI
中性轴通过横
§ （或杆轴）的曲率与弯矩间
W 7
(5-48)
I*
（2）弯矩图。

表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，称为弯 矩图。

♦三、荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用
（一）微分关系
若规定荷载集度q 向上为正，则梁任一横截面上的剪力、弯矩与荷载集度 间的微分关
系
当以梁的左端为 矩图则岭尸2Ef 由时，可将工程上常见的外力与剪力图和噂好样乏间的关系列在 表5-
孙力 恰况 |无外处外， L _____ ♦
l_pl ,
蚱
*ratt
意T 之住
的力
中许愚
由的
*
1
市条中才作用
处皮生突变卜美 堂方用.大小9 户相
M
比集中力作用 的堆总
并规定剪力图以向上为正轴，而弯 即横截
应力为零的各点的连线。

需5-21 例 5TM 克力窕k :启的力配,号审用
国5-20例5-J 闱
（*）受力［Hi r 用由力并；"I 丐矩
(5-47)
re 5-14横我面上正应力的分布
B - 白=311 8 = — = v
dx
此外.横截闿彤心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽阴小计.
其中，积分常数.近似般前由梁的边界条件来确定。

当梁的弯矩方程需分段列出时, 挠曲线微螂叫微方投遛M 驾牌软洋野全梁的积分常数数目将为分段数目
u'v 3/（ x ） l 5
的两倍。

为了确定全部积分常数，麻利用边界条件外，还需利用分傻处挠曲线的连 续条件（在分界点处左生-曲,两段梁■的转角利挠度均应•福等我缶。

师时计转由
正。

（四）梁的正应力强度条件I
在危庵他面上
（5-50）
横趣面上挥中性轴为尸处横线
恻的部分楼面忖中性轴的奔矩，
最大班应力发生在中性附处 1C
2 bh 2 A
{5-52) f 三）理应力侵度条件
架的最大1：作朗应力小有超过材料的许用酎应力，呐 0 T (5-56)
式中g ™、——全案的彘大剪力:
a 」I 叫 J-1%］ 口1 M1I±T1TT* HXmMI,rGKJ "T' LX'fflnJWimj - 蓼 1，口、I I JL>^r- 43CJS 7\li
应力6Eg 和最大压应力同时达到［色］和［，1如图S —M 所示"
，百合
a 何 R1 5-33 H ，出威而量骑向力的分布 ■■>相倏而范度更尚力均勺分布； ■hi 猾喊凿扁按削向力11捌*分布
tl /flrmYX
Ci ）『'子.常：i ，h 〕
积分两次
♦十、用叠加法求梁的变形
(一)叠加原理
几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角，等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。

(二)叠加原理的适用条件
叠加原理仅适用于线性函数。

要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满足以下条件：
(1)材料为线弹性材料。

(2)梁的变形为小变形。

(3)结构为几何线性。

(三)叠加法的特征
(1)各荷载同时作用下的挠度、转角等于各荷载单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。

(2)梁在简单荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册，参见表5-5。

表t 几种宦用at在蔺单荷於作用下的变形。