2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校九年级分流考第二次数学模拟试卷(附详解)

2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校
九年级分流考第二次数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列数：0．3，22
7
，0，π
2，0.1010010001…，−1.414中，有理数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
A. B.
C.
D.
3. 国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，
空气质量明显好转，将惠及13.75亿中国人，这个数字用科学记数法表示为( )
A. 13.75×106
B. 13.75×105
C. 1.375×108
D. 1.375×109
4. 若二次函数y =ax 2−2ax +c 的图象经过点A(0,−1)，B(−2,y 1)，C(3,y 2)，
D(√2,y 3)，且与x 轴没有交点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )
A. y 3>y 2>y 1
B. y 1>y 3>y 2
C. y 2>y 1>y 3
D. y 1>y 2>y 3
5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个
几何体的侧面积是( )
A. 12πcm 2
B. 15πcm 2
C. 24πcm 2
D. 30πcm 2
6. 如图，点P(3,4)，⊙P 半径为2，A(2.5,0)，B(5,0)，点M 是⊙P
上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最大值是( )
A. 3
2 B. 5
2 C. 72 D. 92
7.如图，在菱形ABCD中，已知AB=6，∠ABC=60°，∠EAF=60°，
点E在CB的延长线上，∠BAE=15°，点F在DC的延长线上，
则点F到BC的距离为()
A. 2√3−2
B. 3−√3
C. 3−√3
2D. 9
2
−3√3
2
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径
运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作
PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF
的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是()
A. B.
C. D.
9.如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB
于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE=3，⊙O的直径为15，则AC长为()
A. 10
B. 13
C. 12
D. 11
10.如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，
AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：
①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；
④MD=2AM=3EM；⑤AM=3
2MF；⑥tan∠AFD=4
3
.其
中正确结论的是()
A. ①③④
B. ②④⑤
C. ①③④⑤
D. ①③⑤⑥
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 计算：√27+(1
3)−2−3tan60°+(π−√2)0=______． 12. 为使√
2x−31−2x
有意义，x 的取值范围是______．
13. 在一个口袋中装有五个分别标有数字−2，−1，0，1，2的小球，它们除数字不同
外，其余完全相同，搅匀后从中随机摸出一个小球，把该小球上的数字作为a 的值，恰好使得一次函数y =(a +1)x 的图象经过一、三象限，且使得关于x 的方程x 2+2x +a =0有实数解的概率为______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC 和正方形
DEFO 的顶点B ，D 在x 轴上，顶点A ，F 在y 轴上，反比例函数y =k
x (x >0)的图象经过点C ，若△ABE 的面积为8，则k 的值为______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =1
4(x −3)2−
1的顶点为A ，直线l 过点P(0,m)且平行于x 轴，与抛物线交于点B 和点C.若AB =AC ，∠BAC =90°，则m =______．
16. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =4√2，点E
是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A′EF ，连接A′C ，A′D 则当△A′DC 是以A′D 为腰的等腰三角形时，FD 的长是______．
17. 如图，函数y ={−x(x −4)(0≤x <2)−2x +8(2≤x <4)
的图象记为C 1，它与x 轴交于点O 和点A 1；将
C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3…如此进行下去，若点P(103,m)在图象上，那么m 的值是______．
18.如图，二次函数y=4
15x2−8
15
x−4的图象与x轴交于A、
B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，其对称轴
与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则
3
5
PC+PD的最小值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19.先化简，后求值：(x
x−2−4
x2−2x
)÷x+2
x2−x
，其中x满足x2−x−2=0．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）
20.如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点B逆时
针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AN上，连结CE.当BC=AC时．
(1)求证：四边形ABEC是平行四边形；
(2)若AB=15，AD=18，求AC的长．
21.“新冠肺炎”疫情初期，一家药店购进A，B两种型号防护口罩共8万个，其中B型
口罩数量不超过A型口罩数量的1.5倍，第一周就销售A型口罩0.4万个，B型口罩0.5万个，第三周的销量占30%．
(1)购进A型口罩至少多少万个？
(2)从销售记录看，第二周两种口罩销售增长率相同，第三周A型口罩销售增长率不
变，B型口罩销售增长率是第二周的2倍.求第二周销售的增长率．
(3)为满足顾客需求，这家药店准备用6000元再购进一批C，D两种型号口罩，进价
分别为2元/个，6元/个，售价分别为3元/个，8元/个.由销售经验，C型不少于D型数量的2倍，不超过D型数量的3倍.为使利润最大，药店应如何进货？并求出最大利润．
22.为了提高大家的卫生意识，某校举行了卫生健康知识竞赛，现从八、九年级中各随
机抽取15名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共
分成四组：A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100)，下面给出部分信息：
八年级学生的竞赛成绩在C组中的数据为：83，84，89．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，76，100，81，100，82，86，95，90，100，86，84，93，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级平均数中位数众数方差
八87a9899.6
九8786b84.6
(1)直接写出上述表中a，b的值；
(2)该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩
达到90分及以上的学生约有多少人？
(3)如果想从八年级B组的五名同学(分别记为a，b，c，d，e)中随机抽取两位进行
现场采访，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中b和e的概率．
23.如图，已知△ABC，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于
点E，连接OE．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若BC=8√5，tanC=1
，求OE的长．
2
24.如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点C在正比例函数y=√3x
上，顶点B的坐标为(m,n)，且m、n满足√m−4=−(n−√3)2．
(1)求点B、C的坐标；
(2)在y轴上存在一点D，使得以O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，求D点的
坐标；
(3)如图2，∠AOC的角平分线与BC相交于点E，在OE上有一点F，连接CF，动点P从
点C出发，以1个单位每秒的速度匀速运动到点F，再以2个单位每秒的速度匀速运动到点O，且到点O之后停止运动，求点P走完全程所需的最少时间，及此时EF的长．
25.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=17，BD=30，在菱形
ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE，点F是直线BD上一动点(点F不与点B重合)，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．
(1)如图2，当点F在线段BO上，且M、F、C三点在同一条直线上时，求证：AF平
分∠MFD．
(2)若△AFM的一边与直线BD垂直时，则△AFM的周长为______．
(3)连接EM，若△AEM的面积为84，请求出AF的长．
26.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于
点A(1,0)，点B(−3,0)，与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当S1
S2=2
3
时，求点P的坐标；
(3)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB=∠NBC时，
①求满足条件的所有点H的坐标；
②当点H在线段AB上时，平面内点M，且HM=1，直接写出1
2
AM+CM的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：0．3是有理数，227是有理数，0是有理数，π
2是无理数，0.1010010001…是无理数，−1.414是有理数． 所以有理数有4个， 故选：D ．
直接利用无理数、有理数的定义分别分析得出答案． 此题主要考查了实数，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C ．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】D
【解析】解：13.75亿这个数字用科学记数法表示为1.375×109． 故选：D ．
根据科学记数法的表示形式解答． 此题考查科学记数法的表示方法．
4.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=ax2−2ax+c的图象经过点A(0,−1)，
∴c=−1．
∴y=ax2−2ax−1．
∴该抛物线的对称轴为直线x=−−2a
2a
=1．
∵该抛物线与x轴没有交点，
∴Δ=4a2+4a<0，
解得：−1<a<0．
∴抛物线y=ax2−2ax−1开口方向向下．
∵该抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而减小．
由于x=−2与x=4时的函数值相同，
∵4>3>√2，
∴y3>y2>y1．
故选：A．
利用待定系数法求得c值，利用二次函数的性质求得抛物线的对称轴，利用抛物线与x轴没有交点可以求得a的取值范围，利用二次函数值的增减性即可得出结论．
本题主要考查了待定系数法，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性点的x=−2与x=4时的函数值相同，再利用二次函数值的增减性解答是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l=√(6
2
)2+42=5(cm)，
∴S
侧=
1
2
⋅2πr⋅l=
1
2
×2π×
6
2
×5=15π(cm2).
故选：B．
由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，作射线OP，交⊙P于M1、M2，连接OM，由勾股定理得：OP=√32+42=5，
∵OA=AB，CM=CB，
∴AC=1
2
OM，
∴当OM最大时，AC最大，
∴当M运动到M2时，OM最大，
此时AC的最大值=1
2OM2=1
2
(OP+PM2)=1
2
×(5+2)=7
2
，
故选：C．
作射线OP，交⊙P于M1、M2，连接OM，因为OA=AB，CM=CB，所以AC=1
2
OM，所以当OM最大时，AC最大，M运动到M2时，OM最大，由此即可解决问题．
本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型．
7.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于
点H，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
{∠BAE=∠CAF BA=AC
∠B=∠ACF
，
∴△BAE≌△CAF(ASA)，
∴BE=CF，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=6，∴BG=1
2
AB=3，AG=√3BG=3√3，
在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=3√3
∴EB=EG−BG=3√3−3，
∴CF=3√3−3，
在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°−∠BCD=60°，CF=3√3−3，
∴FH=CF⋅sin60°=(3√3−3)⋅√3
2=9
2
−3√3
2
．
∴点F到BC的距离为9
2−3√3
2
，
故选：D．
过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据全等三角形的性质得到BE=CF，
根据直角三角形的性质得到BG=1
2
AB=3，AG=√3BG=3√3，根据等腰直角三角形的性质得到AG=GE=3√3解直角三角形即可得到结论．
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
8.【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
∴AB=4，∠A=45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD=BD=2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE=PF，PE=CF，
∵点P运动的路程为x，
∴AP=x，
则AE=PE=x⋅sin45°=√2
2
x，
∴CE=AC−AE=2√2−√2
2
x，
∵四边形CEPF的面积为y，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0<x<2时，
y=PE⋅CE
=√2
2
x(2√2−
√2
2
x)
=−1
2
x2+2x
=−1
2
(x−2)2+2，
∴当0<x<2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x<4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE=PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD=2，PD=x−2，
∴CP=4−x，
y=1
2(4−x)2=1
2
(x−4)2．
∴当2≤x<4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，可得AB=4，根据CD⊥AB于点D.可得AD=BD=2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
9.【答案】C
【解析】解：连接OF，
∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE =EF ，AD
⏜=AF ⏜， ∵D 为弧AC 的中点，
∴AD
⏜=DC ⏜， ∴AC
⏜=DAF ⏜， ∴AC =DF ，
∵⊙O 的直径为15，
∴OF =OA =
152，
∵AE =3，
∴OE =OA −AE =92，
在Rt △OEF 中，由勾股定理得：EF =√OF 2−OE 2=√(152)2−(92)2=6， ∴DE =EF =6，
∴AC =DF =DE +EF =6+6=12，
故选：C ．
根据垂径定理求出DE =EF ，AD
⏜=AF ⏜，求出AC ⏜=DF ⏜，求出AC =DF ，求出EF 的长，再求出DF 长，即可求出答案．
本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解此题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．
10.【答案】D
【解析】解：在正方形ABCD 中，AB =BC =AD ，∠ABC =∠BAD =90°，
∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点，
∴AE =BF =12
BC ， 在△ABF 和△DAE 中，
{AE =BF ∠ABC =∠BAD AB =AD
，
∴△ABF≌△DAE(SAS)，
∴∠BAF =∠ADE ，
∵∠BAF +∠DAF =∠BAD =90°，
∴∠ADE +∠DAF =∠BAD =90°，
∴∠AMD =180°−(∠ADE +∠DAF)=180°−90°=90°，
∴∠AME=180°−∠AMD=180°−90°=90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴AM
EM =MD
AM
=AD
AE
=2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，AF=√AB2+BF2=√5a，∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME∽△ABF，
∴AM
AB =AE
AF
，
∴AM
2a =
√5a
，
解得AM=2√5
5
a，
∴MF=AF−AM=√5a−2√5
5a=3√5
5
a，
∴AM=2
3
MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则MN
BF =AN
AB
=AM
AF
，
∴MN
a =AN
2a
=
2√5
5
a
a
，
解得MN=2
5a，AN=4
5
a，
∴NB=AB−AN=2a−4
5a=6
5
a，
根据勾股定理，BM=√BN2+MN2=2√10
5
a，过点M作GH//AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK=a−2
5a=3
5
a，MK=6
5
a−a=1
5
a，
在Rt△MKO中，MO=√MK2+OK2=√10
5
a，
根据正方形的性质，BO=2a×√2
2
=√2a，
∵BM2+MO2=(2√10
5a)2+(√10
5
a)2=2a2，
BO2=(√2a)2=2a2，
∴BM2+MO2=BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；∵AM=2√5
5
a，
∴MD=2AM4√5
5
a，
∴MF=3√5
5
a，
∵∠AME=∠FMD=90°，
∴tan∠AFD=MD
MF =4
3
，故⑥正确；
综上所述，正确的结论有①③⑤⑥共4个．
故选：D．
根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出
∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判
断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得AM
EM
=
MD AM =AD
AE
=2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④错误；设正方形ABCD的边长为2a，
利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，
消掉a即可得到AM=2
3
MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，
然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH//AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆
定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确；根据MD=2AM4√5
5a，MF=3√5
5
a，
∠AME=∠FMD=90°，利用锐角三角函数即可求出tan∠AFD=4
3
.进而判断⑥正确．本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题
的关键．
11.【答案】10
【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1
=10．
故答案为：10．
直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】x ≥32且x ≠12
【解析】解：由题意可知：{2x −3≥01−2x ≠0
， 解得：x ≥32且x ≠12，
故答案是：x ≥32且x ≠12．
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x 的范围．
本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型． 13.【答案】25
【解析】解：∵在一个口袋中装有五个分别标有数字−2，−1，0，1，2的小球，它们除数字不同外，其余完全相同，
∴共有5种等可能的结果，
∵恰好使得一次函数y =(a +1)x 的图象经过一、三象限的有0，1，2；使得关于x 的方程x 2+2x +a =0有实数解的有−2，−1，0，1，
∴恰好使得一次函数y =(a +1)x 的图象经过一、三象限，且使得关于x 的方程x 2+2x +a =0有实数解的有0，1，
∴恰好使得一次函数y =(a +1)x 的图象经过一、三象限，且使得关于x 的方程x 2+2x +a =0有实数解的概率为：25．
故答案为：2
5
．
由恰好使得一次函数y=(a+1)x的图象经过一、三象限的有0，1，2；使得关于x的方程x2+2x+a=0有实数解的有−2，−1，0，1，可得恰好使得一次函数y=(a+1)x的图象经过一、三象限，且使得关于x的方程x2+2x+a=0有实数解的有0，1，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用以及一次函数的性质、一元二次方程根的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】16
【解析】解：∵反比例函数y=k
x
(x>0)的图象经过点C，
∴正方形ABOC的边长为√k，
设正方形DOFE的边长为b，
∵S
梯形AEDO +S
正方形AOBC
=S△BED+S△ABE+S△ACB，
∴1
2(b+√k)⋅b+k=1
2
b(√k+b)+8+1
2
k，
化简得k=16，
故答案为：16．
根据反比例函数系数k的几何意义可得正方形ABOC的边长为√k，设正方形DOFE的边长
为b，利用面积法得到1
2(b+√k)⋅b+k=1
2
b(√k+b)+8+1
2
k，进而可求得．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，根据面积法得到1
2
(b+√k)⋅
b+k=1
2b(√k+b)+8+1
2
k是解决问题的关键．
15.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数和方程的关系，等腰直角三角形的性质，根据根与系数的关系列出关于m的方程是解题的关键．作AD⊥BC
于D，易证得BC=2AD=2(m+1)，设B(x1,m)，C(x2,m)，解方程1
4
(x−3)2−1=m，
根据根与系数的关系得出x1+x2=6，x1⋅x2=5−4m，即可得出(x1−x2)2+4x1x2= 36，即(2+2m)2+4(5−4m)=36，解关于m的方程求得即可．
【解答】
解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AD=CD=BD，
∴BC=2AD，
(x−3)2−1的顶点为A，
∵抛物线y=1
4
∴A(3,−1)，
∵点P(0,m)，
∴AD=1+m，
∴BC=2+2m，
设B(x1,m)，C(x2,m)，x1>x2，
∴x1−x2=2+2m，
1
(x−3)2−1=m整理得：x2−6x+5−4m=0，
4
∴x1+x2=6，x1⋅x2=5−4m，
∴(x1−x2)2+4x1x2=36，
∴(2+2m)2+4(5−4m)=36，
解得m=3和m=−1(舍去)，
故答案为3．
16.【答案】4√2−2或3√2
【解析】解：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，
∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4√2，四边形ABCD是矩
形，
∴AD=BC=4√2，∠A=90°，
∴DE=√AE2+AD2=6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，
∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，
∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，
∴∠FA′E=∠FA′D=90°，
设AF=x，则A′F=x，FD=4√2−x，
在Rt△FA′D中，42+x2=(4√2−x)2，
解得：x=√2，
∴FD=3√2；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，
∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴EA′是AB的垂直平分线，
∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，
∴DF=4√2−2，
故答案为：4√2−2或3√2．
存在两种情况：当A′D=DC，连接ED，勾股定理求得ED的长，可判断E，A′，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当A′D=A′C，证明AEA′F是正方形，于是得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
17.【答案】−3
【解析】解：∵103=25×4+3，
∴点P(103,m)在图象C26上，
∴图象C26中的抛物线部分的解析式为y=(x−100)(x−104)(102≤x≤104)，
当x=103时，m=3×(−1)=−3．
故答案为：−3．
利用103=25×4+3可判断点P(103,m)在图象C26上，利用抛物线的平移和交点式写出图象C26中的抛物线部分的解析式为y=(x−100)(x−104)(102≤x≤104)，然后计算自变量为103时对应的函数值即可得到m的值．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
18.【答案】16
5
【解析】【试题解析】
解：连接AC
y=4
15x2−8
15
x−4与x轴交点A(−3,0)、B(5,0)，点C(0,−4)，对称轴x=1，
∴sin∠ACO=3
5
，
作点D关于y轴的对称点D′，作点A关于y轴的对称点A′，过点D′作D′E⊥CA′于点E，则D′E 为所求；
由对称性可知，∠ACO=∠OCA′，
∴sin∠OCA′=3
5
，
∴3
5
PC=PE，
再由D′P=DP，
∴3
5
PC+PD的最小值为D′E，∵A′(3,0)，D′(−1,0)，
∴A′D′=4，CO=4，A′O=3，∴CA′=5，
∴cos∠ED′A′=cos∠OCA′=D′E
=
4
∴D′E=16
5
；
故答案为16
5
；
连接AC，作点D关于y轴的对称点D′，作点A关于y轴的对称点A′，过点D′作D′E⊥CA′于点E，则D′E为所求；由对称性可知A′(3,0)，D′(−1,0)，CO=4，A′O=3，CA′=5，由
∠ED′A′的余弦值可得4
5=D′E
4
，即可求出D′E=16
5
；
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，轴对称−最短路径问题，解直角三角形．
19.【答案】解：原式=x2−4
x(x−2)⋅x(x−1)
x+2
=
(x+2)(x−2)
x(x−2)
⋅
x(x−1)
x+2
=x−1，
解方程x2−x−2=0，得x1=−1，x2=2，
当x=2时，原分式无意义，
所以当x=−1时，原式=−1−1=−2．
【解析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式=x+1，然后利用因式分解法解x2−x−2=0，再利用分式有意义的条件把满足题意的x的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要
进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．注意分式有意义的条件．
20.【答案】(1)证明：∵BC=BA，
∴∠A=∠ABC，
∴∠BCD=∠A+∠ABC=2∠A，
∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，
∴∠BDA=∠A，∠BCE=∠BEC，
∴∠A=∠BCE，
∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，
∴∠ECD=∠A=∠BEC，
∴AB//CE，AC//BE，
∴四边形ABEC是平行四边形；
(2)解：如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵BD=BA，BH⊥AD，
AD=9，
∴AH=1
2
在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH=√AB2−AH2=√152−92=12，
设AC=BC=x，则CH=x−9，
在Rt△HCB中，由勾股定理得：(x−9)2+122=x2，
，
解得：x=25
2
．
即AC的长为25
2
【解析】(1)证出∠ECD=∠A=∠BEC，得到AB//CE，AC//BE，即可得出结论；(2)过点B作BH⊥AD，由勾股定理得AH=12，设AC=BC=x，则CH=x−9，在Rt△HCB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．
本题主要考查了平行四边形的判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行
线的判定等知识，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设购进A 型口罩x 万个，则购进B 型口罩(8−x)万个，
由题意得：8−x ≤1.5x ，解得x ≥3.2(万个)，
故购进A 型口罩至少3.2万个；
(2)设第二周销售的增长率为a ，
由题意得：0.5(1+2a)(1+a)+0.4(1+a)2=8×30%，
解得a =0.5=50%(负值已舍去)；
(3)设C 、D 型口罩进货分别为x 个、y 个，设销售利润为w 元，
由题意得：{2x +6y =60002y ≤x ≤3y ，解得{1200≤x ≤1500500≤y ≤600
， w =(3−2)x +(8−6)y =x +2y ，
则4y ≤w ≤5y ，
当w =5y 时，利润最大，即x =3y ，
则x =1500(个)，y =500(个)
最大利润为5y =2500(元)．
【解析】(1)设购进A 型口罩x 万个，则购进B 型口罩(8−x)万个，由题意得：
8−x ≤1.5x ，解得x ≥3.2(万个)；
(2)设第二周销售的增长率为a ，由题意得：0.5(1+2a)(1+a)+0.4(1+a)2=8×30%，即可求解；
(3)由题意得：{2x +6y =60002y ≤x ≤3y ，解得{1200≤x ≤1500500≤y ≤600
，而w =(3−2)x +(8−6)y =2x +2y ，即可求解．
本题考查了二次函数和一次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
22.【答案】解：(1)由条形统计图和七年级学生的竞赛成绩在C 组中的数据为：83，84，89，可得a =84，
∵八年级抽取的学生竞赛成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，95，90，100，
86，84，93，87，
∴八年级抽取的学生竞赛成绩按从小到大排列是：68，76，77，81，82，84，86，86，87，90，93，95，100，100，100，
∴b=100；
(2)600×6+6
15+15
=240(人)，
答：参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有240人；
(3)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有20种等可能出现的结果，其中恰好选中b和e的有2种结果，
所以恰好选中b和e的概率为2
20=1
10
．
【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以得到a、b的值；
(2)根据统计图中的数据，可以计算出参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人；
(3)画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
本题考查条形统计图的意义和制作方法，列表法或树状图求随机事件的概率，掌握两个统计图中的数量关系是解决问题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图，连接OD．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠B=∠C，∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB．
∴OD//AC．
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴直线DE是⊙O的切线；
(2)如图，连接AD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD=1
2
BC=4√5．
在Rt△ABD中，AD=BD⋅tanB=BD⋅tanC=2√5，根据勾股定理，得AB=√BD2+AD2=10．
∴OD=1
2
AB=5，AC=AB=10，
∵S△ADC=1
2AC⋅DE=1
2
DC⋅AD，
∴1
2×10×DE=1
2
×4√5×2√5．
解得DE=4，
在Rt△ODE中，根据勾股定理，得
OE=√OD2+DE2=√41．
【解析】(1)连接OD.根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODB.OD//AC.所以得∠ODE=∠DEC=90°，进而可得结论；
(2)连接AD.根据直径所对圆周角是直角得∠ADB=90°，再根据解直角三角形和勾股定理即可求出OE的长．
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
24.【答案】解：(1)∵√m−4=−(n−√3)2，
∴√m−4+(n−√3)2=0，
∴m−4=0，n−√3=0，
∴m=4，n=√3，
∴B(4,√3)，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA//BC，B与C纵坐标相同，
在y=√3x中令y=√3得x=1，
∴C(1,√3)；
(2)设y轴上D坐标为(0,t)，而C(1,√3)，O(0,0)，
∴OD=|t|，CD=√(1−0)2+(√3−t)2=√1+(√3−t)2，OC=2，
以O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，分以下三种情况：
①OD=CD时，|t|=√1+(√3−t)2，解得t=2√3
，
3
∴D(0,2√3
)，
3
②OD=OC时，|t|=2，解得t=2或−2，
∴D(0,2)或(0,−2)，
③CD=OC时，√1+(√3−t)2=2，解得t=2√3或t=0(舍去)，
∴D(0,2√3)，
)或(0,2)或(0,−2)综上所述，以O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，D的坐标为：(0,2√3
3
或(0,2√3)；
(3)过C作CG⊥OA于G，交OE于F′，过F作FH⊥OA于H，如图：
∵C(1,√3)，
∴OG=1，CG=√3，
∵CG⊥OA，
∴OC=√OG2+CG2=2，
OC，
∴OG=1
2
∴∠OCG=30°，∠COG=60°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=30°，
∵FH⊥OA，
∴FH=1
2
OF，
动点P从点C出发，以1个单位每秒的速度匀速运动到点F，再以2个单位每秒的速度匀速运动到点O，且到点O之后停止运动，
设P运动的时间为y秒，则y=CF
1+1
2
OF，
∴y=CF+FH，
点P走完全程所需的最少时间即是y的最小值，也就是CF+FH的最小值，
而CF+FH取最小值，C、F、H需共线，即F与F′重合，H与G重合，y的最小值即为CG的长度，
∴点P走完全程所需的最少时间为√3，
此时△ECF′中，∠CEO=∠AOE=∠COE=30°，∠ECF′=∠CGO=90°，
∴CE=OC=2，
设CF′=x，则EF′=2x，由勾股定理有x2+22=(2x)2，
解得：x=2√3
3
，
∴EF′=4√3
3
．
【解析】(1)由√m−4=−(n−√3)2可得m、n的值，即得B坐标，B、C纵坐标相同，将B纵坐标的值代入y=√3x可得C的横坐标；
(2)设y轴上D坐标为(0,t)，表示出OC、OD和CD，分类列方程即可解得t，从而求得D坐标；
(3)过C作CG⊥OA于G，交OE于F′，过F作FH⊥OA于H，首先证明FH=1
2
OF，点P走完全程所需的最少时间也就是CF+FH的最小值，即为CG的长度，再在△ECF′中求EF′的长度即可．
本题考查一次函数的综合应用，解题的关键是将求点P走完全程所需的最少时间转化为求CF+FH的最小值．
25.【答案】24或48
【解析】解：(1)如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
由已知AF=AM，∠MAF=60°，∴△AFM为等边三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠AFC=120°，
∴∠AFD=60°，
AF平分∠MFD；
(2)∵AB=17，BD=30，
∴BO=15，AO=8，
当MF垂直BD时，
∠MFD=90°，∠AFD=30°，
∴AO
AF =1
2
，
∴AF=2AO=16，
△AFM的周长=16×3=48，当AF垂直BD时，F与O重合，∴AF=AO=8，
△AFM的周长=8×3=24，当AM垂直BD时，M与O重合，∴AM=AO=8，
△AFM的周长=8×3=24，故答案为24或48；
(3)如图，连接EM，
∵△ABE 是等边三角形，
∴AE =AB ，∠EAB =60°，
由(2)知△AFM 为等边三角形，
∴AM =AF ，∠MAF =60°，
∴∠EAM =∠BAF ，
在△AEM 和△ABF 中，
{AE =AB ∠EAM =∠BAF AM =AF
，
∴△AEM≌△ABF(SAS)，
∵△AEM 的面积为84，△ABF 的高为AO
∴12BF ⋅AO =84，BF =21，
F 可能在B 左边或者右边，
∴FO =BF ±BO =21±15=36或6，
当FO =36时，AF =√AO 2+FO 2=√362+82=4√85，
当FO =6时，AF =√AO 2+FO 2=√62+82=10，
∴AF 的长为10或4√85．
(1)由四边形ABCD 是菱形，求出△AFM 为等边三角形，∠M =∠AFM =60°，再根据M ，F ，C 三点共线得到∠AFD =60°，可证明；
(2)分三种情况讨论结合勾股定理即可；
(3)连接EM ，证明△AEM≌△ABF ，根据△AEM 的面积为84求出BF 的长度，再分类讨论即可得到答案．
本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．
26.【答案】解：(1)把点A(1,0)，点B(−3,0)代入抛物线y =ax 2−2x +c 中，
得：{a −2+c =09a +6+c =0
， 解得：{a =−1c =3
， ∴抛物线的表达式为：y =−x 2−2x +3；
(2)如图1，过P 作PG ⊥y 轴于G ，过E 作EH ⊥y 轴于H ，
当x =0时，y =3，
∴C(0,3)，
设BC 的解析式为：y =kx +b ，
则{−3k +b =0b =3，解得{ k =1b =3
， ∴BC 的解析式为：y =x +3，
∵△PCE 的面积为S 1，△OCE 的面积为S 2，且S 1S 2=23， ∴PE OE =23，
∵EH//PG ，
∴△OEH∽△OPG ，
∴EH PG =OH OG =OE PO =35，
∴设E(3m,3m +3)，则P(5m,−25m 2−10m +3)，
∴3m+3−25m 2−10m+3=35， ∴25m 2+15m +2=0，
(5m +2)(5m +1)=0，
m 1=−25，m 2=−15，
当m =−25时，5m =−2，则P(−2,3)，
当m =−15时，5m =−1，则P(−1,4)，
综上，点P 的坐标是(−2,3)或(−1,4)；
(3)①由对称得：N(−2,3)，
∵∠HCB =∠NBC ，。