第七章 平行线的证明单元测试卷（含解析）

第七章平行线的证明单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列命题：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy3是4次单项式；③将方程=1.2中的分母化为整数，得=12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，AO平分∠BAC，AO⊥BC，DE⊥BC，GH⊥BC，垂足分别为O、E、H，且DO∥AC，∠B=43°，则图中角的度数为47°的角的个数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）
A．75°B．80°C．85°D．90°
4．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E=（）
A．40°B．36°C．20°D．18°
5．如图，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP等于（）
A．10°B．15°C．5°D．7.5°
6．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+EC=5，则DE等于（）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）
A．76°B．78°C．80°D．82°
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（）
A．34°B．40°C．42°D．46°
9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）10．已知，如图AB∥CD，∠1=∠2，EP⊥FP，则以下错误的是（）
A．∠3=∠4 B．∠2+∠4=90°C．∠1与∠3互余D．∠1=∠3
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．用推理的方法判断为正确的命题叫做．
12．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．
第n次操作，分别作∠ABE n
﹣1
若∠E n=1度，那∠BEC等于度
13．将一副直角三角尺如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°），点E在AC上，ED∥BC，则∠AEF的度数是．
14．如图，∠1=52°，∠2=128°，∠C=∠D．探索∠A与∠F的数量关系为．
15．说理解答题
在空白处填上适当的内容（理由或数学式）
解：在ABC中
∠B+∠ACB+∠BAC=180°
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣（等式的性质）
=180°﹣36°﹣110°=
∵AE是∠BAC的平分线（已知）
∴∠CAE=∠BAC=17°
∵AD是BC边上的高即AD⊥BC （已知）
∴∠D=
∵∠AC E是△ACD的外角（已知）
∴∠ACE=∠CAD+∠D
∴∠CAD=∠ACE﹣∠D （等式的性质）
=110°﹣90°═20°
∴∠DAE=∠CAD+
=20°+17°
=．
16．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC=，，则BB1=．
17．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是．
18．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=α，则在玩跷跷板时，横板AB绕点O上下转动的最大角度为°．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）如图，∠ACD=2∠B，CE平分∠ACD，求证：CE∥AB．
20．（8分）补全解题过程．
如图，在△ABC中∠ABC平分线BP和外角平分线CP交于点P，试猜想∠A与∠P之间的关系，并说明理由．
解：∠A=2∠P
理由：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD（已知）
∴∠ABC=∠1，∠ACD=2∠2 （）
∵∠ACD为△ABC的外角
∴∠ACD=∠A+∠=∠A+2∠1（三角形外角的性质）
即：2∠2=∠A+2∠1
同理：∠2=∠P+
∴∠A=2∠P．
21．（8分）如图：在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，DM⊥AB且DE=BC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：ME=AB．
22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R．
（1）求证：PQ=BQ；
（2）设BP=x，CR=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当x为何值时，PR∥BC．
23．（10分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b 反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°；
（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=°，若∠1=40°，则∠3=°；
（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n 平行，请说明理由．
24．（10分）如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
25．（12分）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=；若∠A=a°，则∠BEC=．
【探究】
（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=；
（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A 有怎样的关系？请说明理由；
（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．
参考答案与试题解析
1．解：①错误，﹣1的平方是1；
②正确；
③错误，方程右应还为1.2；
④错误，只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线上，则只有画一条直线了．
故选：A．
2．解：∵AO平分∠BAC，AO⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO，∠AOB=∠AOC=90°，
∴∠B=∠C，
∵DO∥AC，
∴∠BOD=∠C，
∴∠B=∠BOD，
∴DB=DO，
又∵DE⊥BO，
∴ED平分∠BDO，
∵∠B=43°，
∴∠BDE=47°，
∴∠BAO=∠EDO=∠AOD=∠CAO=∠CGH=47°，
故选：A．
3．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
4．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC=40°，∠ACD=76°，
∴∠ACD﹣∠ABC=36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD=∠EBC+∠E，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=∠ACD﹣∠ABC=18°．故选：D．
5．解：∵AB∥CD，MP∥AB，
∴AB∥CD∥MP，
∵∠A=40°，∠D=30°，
∴∠AMP=∠A=40°，∠DMP=∠D=30°，
∴∠AMD=40°+30°=70°，
∵MN平分∠AMD，
∴∠AMN=∠AMD=×70°=35°，
∴∠NMP=∠AMP﹣∠AMN=40°﹣35°=5°．
故选：C．
6．解：∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB．
又∵∠B，∠C的平分线相交于点O，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO．
∴DB=DO，EC=EO，
又∵BD+EC=5，DO+EO=DE，
∴DE=5．
故选：C．
7．解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK ﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，
又∠BKC﹣∠BHC=27°，
∴∠BHC=∠BKC﹣27°，
∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），
∴∠BKC=78°，
故选：B．
8．解：设∠GBC=x，∠DCB=y，
在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，
在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，
解得：①+②：3x+3y=138°，
∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，
故选：C．
9．解：2∠A=∠1+∠2，
理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，
则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，
∴可得2∠A=∠1+∠2．
故选：B．
10．解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠EPH，∠3=∠HPF，
∵EP⊥FP，
∴∠2+∠4=90°，∠HPF+∠EPH=90°，
∴∠3=∠4，故A正确；
∵EP⊥FP，
∴∠2+∠4=90°，故B正确；
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1与∠3互余，故C正确；
故选：D．
11．解：定理是用推理的方法判断为正确的命题，故用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．
12．解：如图①，过E作EF∥AB，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…
以此类推，∠E n=∠BEC．
∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n ．
13．解：∵ED∥BC，
∴∠DEC=∠C=30°，
∴∠FEC=15°，
∴∠AEF=180°﹣15°=165°，
故答案为：165°．
14．解：∵∠1=52°，∠2=128°，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠ABD，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F．
15．解：在ABC中，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°（三角形内角和定理）
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠BCA（等式的性质）
=180°﹣36°﹣110°=34°
∵AE是∠BAC的平分线（已知）
∴∠CAE=∠BAC=17°
∵AD是BC边上的高即AD⊥BC （已知）
∴∠D=90°，
∵∠AC E是△ACD的外角（已知）
∴∠ACE=∠CAD+∠D（三角形外角的性质）
∴∠CAD=∠ACE﹣∠D （等式的性质）
=110°﹣90°=20°
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE
=20°+17°
=37°．
故答案为：三角形内角和定理；∠BAC；34°；；90°；三角形外角的性质；∠CAE；37°．16．解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴平移后∠PB1C=∠CB=45°，
∴△PB1C是等腰直角三角形，
∴S
=B1C•（B1C）=2，
△PB1C
解得B1C=2，
∴BB1=BC﹣B1C=3﹣2=．
故答案为：．
17．解：如图①所示，当∠BAC=48°时，那么它的最大内角是90°
当∠ACB=48°时，有以下4种情况，
故答案为：88°，90°，99°，108°，116°
18．解：如图所示，作DE∥AC，则有∠1=∠A=α，
则上下最大可以转动的角度为2α．
故答案为：2α．
19．证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠DCE，
∵∠ACD=2∠B，
∴∠DCE=∠B，
∴AB∥CE．
20．解：∠A=2∠P
理由：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD（已知）
∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2 （角平分线的定义）
∵∠ACD为△ABC的外角
∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠1（三角形外角的性质）即：2∠2=∠A+2∠1，
∴∠A=2∠P．
故答案为：2，角平分线的定义，ABC，∠1．21．证明：∵ME∥BC，
∴∠B=∠MED，
∵DM⊥AB，
∴∠MDE=90°，
∴∠MDE=∠C=90°，
在△ABC和△MED中，，
∴△ABC≌△MED（ASA），
∴ME=AB．
22．（1）证明：∵∠A=90°，AB=AC=1
∴∠B=∠C=45°
又∵PQ⊥BQ
∴∠BPQ=45°
∴△BPQ是等腰三角形
∴PQ=BQ．
（2）解：在等腰直角△BPQ中，
∵BP=x
∴BQ=
在Rt△ABC中，BC==
在等腰直角三角形CQR中，CR=y
∴CQ=y
∵CQ=BC﹣BQ
即y=﹣
所以y=﹣x+1．
又∵△BPQ为等腰三角形，
∴PQ=
∵PR∥BC
∴∠PRQ=∠RQC=45°
∴PR=
∠A=∠A，∠APR=∠B，∠ARP=∠C
∴△APR∽△ABC
∴
即
解得：x=．
23．解：（1）100°，90°．
∵入射角与反射角相等，即∠1=∠4，∠5=∠6，
根据邻补角的定义可得∠7=180°﹣∠1﹣∠4=80°，
根据m∥n，所以∠2=180°﹣∠7=100°，
所以∠5=∠6=（180°﹣100°）÷2=40°，
根据三角形内角和为180°，所以∠3=180°﹣∠4﹣∠5=90°；
（2）90°，90°．
由（1）可得∠3的度数都是90°；
（3）90°（2分）
理由：因为∠3=90°，
所以∠4+∠5=90°，
=360°﹣2∠4﹣2∠5，
=360°﹣2（∠4+∠5），
=180°．
由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．
24．解：∠AED=∠ACB．
理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．
∴∠2=∠4．
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3=∠B（已知），
∴∠B=∠ADE（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
25．解：∵∠A=82°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣82°=98°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×98°=49°，
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣49°=131°；
由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣a°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣a°）=90°﹣a°，
故答案为：131°，90°+a°；
探究：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣a°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣a°）=120°﹣a°，
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣a°）=60°+a°；
故答案为：60°+a°；
（2）∠BOC=∠A．
理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠OCD=∠BOC+∠OBC，
∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，
∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），
∴∠A=2∠BOC，
∴∠BOC=∠A；
（3）∠BOC=90°﹣∠A．
理由如下：∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠OCB=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），
由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．。