压杆稳定欧拉公式

◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F Fcr
F ≥ Fcr
压杆稳定
压杆失稳
5
第二节 临界力的欧拉公式
对于弹性压杆，临界力的计算公式为
Fc r
π 2 EI
l
2
其中，E 为材料的弹性模量；I 为截面对中性轴 的惯性矩；l 为压杆长度； 为长度因数，取决 于压杆的两端约束 压杆一端固定一端自由： 压杆两端铰支： 压杆一端固定一端铰支：
3）圆环形截面
4 π 28 4 I 38 1 1012 7.22 108 m 64 38
A b 5.076 cm2
压杆临界力
Fcr π 2 EI min
l
2
35630 N
A c 5.18cm2
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式称为压杆的相当长度2在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下即各个方向上相等i应取最小值第三节第三节临界应力的欧拉公式临界应力的欧拉公式crcrcrcr压杆失稳一压杆的临界应力一压杆的临界应力定义定义crcr为压杆的临界应力为压杆的临界应力显然有显然有二压杆临界应力的欧拉公式二压杆临界应力的欧拉公式其中无量纲参量其中无量纲参量称为压杆的柔度或长细比其综合反映了压杆的两端约束长度和截面对压杆稳定性的影响可直接作为压杆稳定性的判据
第十章
一、压杆稳定与压杆失稳
压杆稳定
第一节 引言
压杆稳定： 压杆能够稳定地保持其原有直线形式的平衡 压杆失稳： 压杆丧失了其原有直线形式的平衡
FF F F cr cr
F FF ≥ ≥ F Fcr F≥ cr cr
压杆稳定
压杆失稳
1
工程结构中的压杆失稳破坏具有突发性，往往会引起严重灾难
1907年8月29日，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河上 建造的魁比克大桥（Quebec Bridge）发生稳定性破坏，85 位工
l
Байду номын сангаас
2
2073 N
A a 5cm2
2）No. 4.5 等边角钢
由型钢表查得 压杆临界力
Imin 3.89 108 m4
Fcr
π EI min
2
l
2
19200 N
A b 5.076 cm2
13
Fcr 2073 N
A a 5cm2
Fcr 19200 N
人死亡，成为上世纪十大工程惨案之一。
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
F
l
A a 5cm2
矩形截面
A b 5.076 cm2
No. 4.5 等边角钢
A c 5.18cm2
圆环形截面
解： 1）矩形截面
I min 1 3 3 3 50 10 10 10 0.42 108 m 4 12
12
压杆临界力
Fcr
π 2 EI min
7
第三节 临界应力的欧拉公式
一、压杆的临界应力 定义
cr
为压杆的临界应力， 显然有
Fcr A
＜ cr ： 压杆稳定 ≥ cr ： 压杆失稳
8
二、压杆临界应力的欧拉公式
cr
其中无量纲参量
π2 E
2
l
i

称为压杆的柔度或长细比，其综合反映了压杆的两端约束、长度 和截面对压杆稳定性的影响，可直接作为压杆稳定性的判据。
杆B： 1
B
1.6 a
A
C
l 1.3a
杆C： 0.7
d
l 1.12a
结论： A 杆先失稳
15
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
9
三、欧拉公式的适用范围
cr
π2 E

2
≤ p
或者
≥
π2 E
p
p
其中，欧拉公式适用的柔度的界限值 p 为材料常数
这类杆称为细长杆（或大柔度杆），亦即欧拉公式适用于细长 杆（或大柔度杆）
10
[例1] 如图，矩形截面的细长压杆两端铰支。已知杆长 l = 2m , 截 面尺寸 b = 40 mm， h = 90 mm，材料弹性模量 E = 200 GPa。试计 算此压杆的临界力Fcr. 解： 显然 Iy < Iz ，故应按 Iy 计算临界力
F
F
2 1
0.7
0.5
6
压杆两端固定可轴向移动：
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度