新教材人教A版高中数学选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测 含解析

第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测
一、1.1.1空间向量及其线性运算 ................................................................................. - 1 - 二、1.1.2空间向量的数量积运算 ................................................................................. - 7 - 三、1.2空间向量基本定理 .......................................................................................... - 15 - 四、1.3.1空间直角坐标系........................................................................................... - 21 - 五、1.3.2空间运算的坐标表示 ................................................................................... - 27 - 六、1.4.1第1课时空间向量与平行关系 ................................................................... - 33 - 七、1.4.1第2课时空间向量与垂直关系 ................................................................... - 41 - 八、1.4.2用空量研究距离夹角问题 ........................................................................... - 50 - 第一章章末测验............................................................................................................ - 63 -
一、1.1.1空间向量及其线性运算
一、选择题
1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →
等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]
2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →
，则四边形ABCD 是( )
A ．平行四边形
B ．空间四边形
C ．等腰梯形
D ．矩形
A [∵AO →＋O
B →＝DO →＋O
C →，∴AB →＝DC →
. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]
3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )
A ．OM →＝OA →＋O
B →＋O
C → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →
D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →
，
可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →
＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.
所以AM →与BM →，CM →
在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →
，其中m ＋n ＝1，则( )
A ．P ∈A
B B ．P ∉AB
C ．点P 可能在直线AB 上
D ．以上都不对
A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nO
B →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →
)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →
共线． 又AP →，AB →
有公共起点A ，
所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]
5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →
＝( )
A ．AA 1→＋12A
B →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →
C ．12AA 1→＋16AB →＋16A
D →
D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →
D [如图所示，AF →＝13A
E →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→
，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13
AA 1→＋16AB →＋16AD →
，故选D.]
二、填空题
6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →
确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.
2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]
7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→
＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →
＝________.
12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －1
2b ＋c .]
8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →
的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)
平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →
) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →
)．] 三、解答题
9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和
AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →
，并在图中标出化简结果的向量．
[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线， ∴GE →＝13BE →.
又12AC →＝12(DC →－DA →)
＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →
＝AG →＋GE →－FE →＝AF →
(如图所示)．
10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →
共面．
[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→
， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →
)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→
＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→)
＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →
共面．
11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC → C.AB →＋CA →＋BD → D.AB →－CB →＋CD →－AD →
BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →
＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →
表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]
12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →
，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →
，则A ，B ，C 三点共线
C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋1
10e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0
BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →
，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；
因为AB →∥AC →且AB →，AC →
有公共点A ，所以B 正确；
由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋1
10e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]
13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →
，
则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →
＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．
－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →
＋nOC →＝0得OA →
＝－m λOB →－n λOC →
由A ，B ，C 三点共线知－m λ－n
λ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]
14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．
－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →
＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4
k ，
所以k ＝－8.]
15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．
(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；
(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，
∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，
∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝
23PR →.
由题意知四边形MNQR 是平行四边形，
∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →
)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．
又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．
(2)平行．证明如下：
由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →
∥平面ABCD .
又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，
∴平面EFGH 与平面ABCD 平行
二、1.1.2空间向量的数量积运算
一、选择题
1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±
32 D ．1
A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]
2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是
BC ，AD 的中点，则AE →·AF →
的值为( )
A ．a 2
B ．12a 2
C ．14a 2
D ．3
4a 2
C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12A
D →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →
)＝
14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2
.]
3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C → B ．BD 1→·AC →
C ．AB →·A
D 1→
D ．BD 1→·BC →
D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →
＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]
4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →
所成的角为( )
A ．60°
B ．150°
C ．90°
D ．120°
D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →
|＝2a .
∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →
〉＝－a 22a ·2a ＝－12.
∴〈BA 1→，AC →
〉＝120°.]
5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )
A ．13
B ．23
C ．33
D ．43
B [∵A
C ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2
＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×9
2＝23，
∴|AC ′→
|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题
6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.
18
[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝1
2.
又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]
7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．
60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，
∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →
〉＝CD →·AB →
|CD →||AB →|
＝12，
∴异面直线a ，b 所成角是60°.]
8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧
(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.
即⎩⎨⎧
(a ＋λb )·
(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，
得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题
9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →
＝b ，AP →
＝c .
(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →
； (2)求BM 的长．
[解] (1)∵M 是PC 的中点，
∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .
(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，
由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝1
2(－a ＋b ＋c )，
|BM →
|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0
－
1＋1)]＝3
2.
∴|BM →
|＝62，∴BM 的长为62.
10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．
(1)求证：CE ⊥A ′D ；
(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→
＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →
＝－c ＋12b －12a .
∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫b ＋12c ·
⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →
，即CE ⊥A ′D .
(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →
|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·
⎝ ⎛
⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →
〉＝12|a |2
2×52|a |2＝1010.
∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为10
10.
11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2
B ．A 1
C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．A
D 1→与A 1B →
的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|
AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；
A 1C →·(A 1
B 1→－A 1A →)＝A 1
C →·AB 1→＝0；
AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →
的夹角为120°；
正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →
|.故选AB.]
12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →
( )
A ．重合
B ．平行但不重合
C ．垂直
D ．无法确定
C [AC 1→＝AB →＋A
D →＋AA 1→，C
E →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡
⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→
2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，
故AC 1→⊥CE →
.]
13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →
所成角的大小为________．
1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →
所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.
法二：根据向量的线性运算可得
B 1
C →·A 1P →＝(A 1A →＋A
D →)·⎝
⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2
＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →
，A 1P →
〉＝60°.]
14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．
6
3 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝2
3AM ，
∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →
)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]
15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .
(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直； (2)求〈DM →，AO →
〉．
[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →
＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝1
6(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝1
6
(a ＋b －5c )，
所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，
所以AO →⊥BO →，
即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．
(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →
|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2
＝12. 又|AO →|＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
16(b ＋c －5a )2
＝22，
DM →·AO →＝1
6(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝
14， 所以cos 〈DM →，AO →
〉＝
14
12×22＝22. 又〈DM →，AO →
〉∈[0，π]，
所以〈DM →，AO →
〉＝π4.
三、1.2空间向量基本定理
一、选择题
1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．a ＋b
C [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋1
4q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －1
2q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －1
4q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]
2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →
可表示为( )
A ．12a ＋1
2b ＋c B ．12a －1
2b ＋c C ．－12a －1
2b ＋c
D ．－12a ＋1
2b ＋c
D [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →
) ＝－12a ＋1
2b ＋c ，故选D.]
3．若向量MA →，MB →，MC →
的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →
成为空间一个基底的关系是( )
A ．OM →＝13OA →＋13O
B →＋13O
C → B ．MA →≠MB →＋MC →
C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →
D ．MA →＝2MB →－MC →
C [若MA →，MB →，MC →
为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →
，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →
，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]
4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →
＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →
为( )
A ．12a －23b ＋12c
B ．－23a ＋12b ＋12c
C ．12a ＋12b －23c
D ．23a ＋23b －12c
B [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(O
C →－OB →
)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]
5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→
两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→
|等于( )
A ．5
B ．6
C ．4
D ．8
A [在平行六面体ABCD -A 1
B 1
C 1
D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →
＋AA 1→
所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →
|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]
二、填空题
6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD
的中点，则OE →
＝________.(用a ，b ，c 表示)
12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →
)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]
7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．
4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )
则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5
3z ＝9，
解得⎩⎨⎧
x ＝4y ＝－1
z ＝3.
则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →
＝________.
23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →
＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →
＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题
9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→
＝c .
(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→
；
(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →
. [解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→
＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →
＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋1
2(a ＋b ＋c ＋c ) ＝1
2(c －b )．
法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →
) ＝1
2(c －b )．
10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →
＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.
[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →
.
由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得
AC →＝AB →＋AD →
＝a ＋b ， MA →
＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→
＝b －c ，
故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D → ＝b －1
3(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －1
3(b －c ) ＝1
3(－a ＋b ＋c )．
11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )
A ．2a ，a －b ，a ＋2b
B ．2b ，b －a ，b ＋2a
C ．a,2b ，b －c
D ．c ，a ＋c ，a －c
ABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋2
3(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋2
3(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－1
2(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]
12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )
A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底
B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底
C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →
不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面
D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底
ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →
，BN →共面．又BA →，BM →，BN →
过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μ
k b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]
13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.
1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，
使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，
于是有⎩⎨⎧
1＝λx ，－1＝λy ，
1＝λ，
解得⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝－1.
]
14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝1
2.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.
1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]
15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，E ，F 分
别是AD 1，BD 的中点．
(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →
；
(2)若D 1F →
＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，
D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →
＝a －b －c ，
EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →
＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→
) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －1
2b －c ， ∴x ＝12，y ＝－1
2，z ＝－1.
四、1.3.1空间直角坐标系
一、选择题
1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于z 轴对称
D ．关于原点对称
B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)
C ．(－1,0,3)
D ．(－1,0，－5)
D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →
＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →
＝(4,4,8)，
又AM →与AB →
共线，
∴AM →＝λAB →
，即⎩⎨⎧
x －1＝4λ，－2＝4λ，
z ＋1＝8λ，
解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]
3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．53
2 C ．532
D ．132 C [M ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝
4＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32－12
＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝1
4A 1B 1，则BE →
等于( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
－14，0，1
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，0，－1 C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )
A ．(12,14,10)
B ．(10,12,14)
C ．(14,12,10)
D ．(4,3,2)
A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]
二、填空题
6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．
(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]
7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．
(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→
的坐标为________．
(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→
|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→
＝(－4,3,2)．]
三、解答题
9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝3
2. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，
∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12，0.
∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12，1.
∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，
∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，
A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，
B 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→
}为正交基底，求下列向量的坐标：
(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.
[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→
}下，
(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，
AG →＝AB →＋12AD →，
∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，12，0.
(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，0，12；
EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB
→－12AD →
，
∴DG →＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，－12，0.
11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，1，3
C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1
D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．
ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]
12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→
，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )
A ．1
B ．12
C ．13
D ．1
6
D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝1
6.]
13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M
为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →
的坐标为________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →
，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →
，则点P 的坐标为________．
(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →
＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，
∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →
＝2OB →－OC →
＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]
15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →
＝c .
(1)用向量a ，b ，c 表示BM →
.
(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →
的坐标．
[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →
，
∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →
)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .
(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →
＝(0,1,0)．
∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，
∴BM →
＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，34，12.
五、1.3.2空间运算的坐标表示
一、选择题
1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2
D ．a ＝－2，b ＝1
C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →
＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，
∴⎩⎨⎧
a －1＝λ，－2＝－λ，
b ＋4＝3λ，
解得⎩⎨⎧
a ＝3，
b ＝2，
λ＝2.
故选C.]
2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝1
2x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)
D ．(6,6，－6)
B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )
则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12w ，12y ，12z
－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，
－20)．]
3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)
D ．(－1,0,1)
B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，
A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－
12≠1
2，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·
|b |＝12×2＝1
2，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝
a ·
b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠1
2，不满足条件．故选
B.]
4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．－3
A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]
5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →
，则λ等于( )
A ．28
B ．－28
C ．14
D ．－14
D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →
＝(－1，6，λ－3)，
∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题
6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.
－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]
7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →
的夹角θ的大小是________．
120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →
＝(－1,3，－2)，
cos 〈AB →，CA →
〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，
∴θ＝〈AB →，CA →
〉＝120°.]
8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．
1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，
∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →
＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，
只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题
9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；
(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．
[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－
1010.
(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，
∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－5
2， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，
∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求正三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，
由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→
＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→
＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.
(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →
＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.
因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →
〉＝－226＝－66.
所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为6
6.
11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )
A ．cos 〈a ，b 〉＝－2
5 B ．a ⊥b C ．a ∥b
D ．|a |＝|b |
AD [∵向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)， ∴|a |＝5，|b |＝5，
a ·
b ＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－25＝－
25.
由上知A 正确，B 不正确，D 正确．C 显然也不正确．]
12．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A ．110
B ．25
C ．
D ．2
2
C [建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，设BC ＝2，则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)，N (1,0,2)，所以BM →
＝(1，－1,2)，AN →
＝(－1,0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝BM →·AN →|BM →|·|AN →|
＝36×5＝3010.] 13．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.
(－64，－26，－17) [∵a ，b ，c 两两垂直． ∴a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0，
∴⎩⎨⎧
－x ＋2y －12＝0x －4－4z ＝0－1－2y ＋3z ＝0
，
解得：x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 故(x ，y ，z )＝(－64，－26，－17)．]
14．(一题两空)已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当|P A →|＝|PB →
|
时，点P 的坐标为________；当AP →·BP →
＝0取最小值时，点P 的坐标为________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，0，0 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，0 [因为P 在x 轴上，设P (x,0,0)，由|P A →|＝|PB →|，则( x －1)2＋4＋0＝x 2＋1＋1解得x ＝3
2.
∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，0，0，又AP →＝(x －1，－2,0)，BP →＝(x ，－1,1)．
AP →·BP →＝x (x －1)＋2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋7
4，
∴当x ＝12时，AP →·BP →取最小值74，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，0.]
15.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π
3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .求P A 的长．
[解] 如图，连接BD 交AC 于点O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，
又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，分别以OB →，OC →，AP →
为正交基底建立空间直角坐标系O -xyz .
因为OC ＝CD cos π
3＝1，AC ＝4，所以AO ＝AC －OC ＝3，又OB ＝OD ＝CD sin π
3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．
由P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，其中z >0.
由F 为PC 的中点，得F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－1，z 2，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－
z )．
又AF ⊥PB ，所以AF →·PB →
＝0， 即6－z 2
2＝0，
解得z ＝23或z ＝－23(舍去)．所以P A →＝(0,0，－23)，则|P A →
|＝2 3. 所以P A 的长为2 3.
六、1.4.1第1课时空间向量与平行关系
一、选择题
1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)
D [若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2，
B 中a ·n ＝1＋5＝6，
C 中a ·n ＝－1，只有
D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.故选D.] 2．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则( )
A ．α⊥β
B ．α∥β
C ．α与β相交但不垂直
D ．以上都不对
B [因为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，所以有n ＝－2m ，即m 与n 共线(平行)，可知平面α和平面β相互平行．答案选B.]
3．平面α的法向量u ＝(x,1，－2)，平面β的法向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，已知α∥β，
则x ＋y ＝( )
A ．154
B ．174
C ．3
D ．5
2
A
[由题意知，∵α∥β，∴u ＝λv ，即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－λ，1＝λy ，
－2＝1
2λ，
解得λ＝－4，y ＝－1
4，
x ＝4，∴x ＋y ＝4－14＝15
4.]
4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．(1，－1,1)
B ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，3，32
C ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，3，－32 B [对于B ，AP →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，4，－12，
则n ·AP →＝(3,1,2)·⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，4，－12＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，3，32在平面α内．]
5.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )
A ．(1，－2,4)
B ．(－4,1，－2)
C ．(2，－2,1)
D ．(1,2，－2)
B [设正方体棱长为2，则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (1,0,2)， ∴AE →＝(0,2,1)，AF →
＝(－1,0,2)
设向量n ＝(x ，y ，z )是平面AEF 的一个法向量。