2023高考数学二轮复习专项训练《指数函数》(含解析)

2023高考数学二轮复习专项训练《指数函数》
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）某工厂2005年某种产品的年产量为a,，若该产品年增长率为x ，则2010年该厂这种产品的年产量为y ，那么x 与y 的函数关系式是( )
A. y=10ax
B. y= 10x a
C. y = a(1+10%)x
D. y = a(1+x)5
2.（5分）把函数y =2x 的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y =
2x 3
，则t =( )
A. 12
B. log 23
C. log 32
D. √3
3.（5分）设a >0，b >0，化简(a 23
b 13
).(−a 12
b 12
)÷(1
3
a 16
b 56
)的结果是( )
A. −1
3a 23
B. −3a 23
C. −1
3a
D. −3a
4.（5分）某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果2013年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2018年需退耕（ ）
A. 8×1.14万公顷
B. 8×1.15万公顷
C. 8×1.16万公顷
D. 8×1.13万公顷
5.（5分）下列运算正确的是（ ）
A. a2•a3=a6
B. （x5）2=x7
C. （-3c ）2=9c2
D. （a-2b ）2=a2-2ab+4b2
6.（5分）给出下列结论，其中正确的序号是( )
A. 当a <0时，(a 2)3
2=a 3 B. √a n n
=|a|
C. 函数y =(x −2)1
2
−(3x −7)0的定义域是(2,+∞) D. √63
=√6412
7.（5分）已知3x −3−y ⩾5−x −5y 成立，则下列正确的是( )
A. x +y ⩽0
B. x +y ⩾0
C. x −y ⩾0
D. x −y ⩽0
8.（5分）已知集合A ={ x |1<2x ⩽4}，B ={ x |x >1}，则A ∩B =( )
A. { x |1⩽x <2}
B. { x |1<x ⩽2}
C. { x |0<x ⩽2}
D. { x |0⩽x <2}
9.（5分）三个数0.76，60.7，log 0.76的大小关系为( )
A. log 0.76<0.76<60.7
B. 0.76<60.7<log 0.76
C. log 0.76<60.7<0.76
D. 0.76<log 0.76<60.7
10.（5分）下列运算中，正确的是( )
A. x 3⋅x 2=x 5
B. x +x 2=x 3
C. 2x 3÷x 2=x
D. (x
2)3=
x 32
11.（5分）化3√3√3√3为分数指数幂结果是( )
A. 3 7
8
B. 3 15
8
C. 3 7
4
D. 3 17
8
12.（5分）下列判断正确的是( )
A. 1.61.5>1.62
B. 0.50.2>0.50.3
C. 1.60.2<0.53.2
D. log 20.5>log 32
二 、填空题（本大题共6小题，共30分）
13.（5分）log √22√2+log 23⋅log 34= ______ ，当a <0时，√a 2⋅3a 3⋅a −1= ______ ． 14.（5分）(27
9
)0.5+0.1−2+(210
27
)3−π0=__________;
lg √2+lg 3−lg √10
lg 1.8
=__________
15.（5分）若√9a 2−6a +1=3a −1，则实数a 的取值范围是________. 16.（5分）若x ⋅log 32=1，则2x +2−x =________________.
17.（5分）已知函数f(x)为R 上的奇函数且x <0时f(x)=(1
2)x −7，则不等式f(x)<1
的解集为 ______ .
18.（5分）解方程：52x −6×5x +5=0的解集为__________. 三 、解答题（本大题共6小题，共72分） 19.（12分）计算下列各式的结果： (1)lo g 53+lo g 5
115
+(lo g 3315).(lo g √2216
)；
(2)(6+2√5)12
+8−
23
×
(94)−12
−(0.01)12
−(√5−2)−1．
20.（12分）计算下列各式的值：
(1)log 4√8+≶50+≶2+5 log 53+(−9.8)0； (2)(27
64) 23
−
(254
)0.5+(0.008) −
23
×2
5
．
21.（12分）求值：
(1)√49−(27
8)−1
3+(π−1)0；
(2)4a 2
3b −1
3÷(−2
3
a −13
b −1
3)(a >0, b >0)．
22.（12分）
22-1.(1)√25
9−(8
27)13
−(π+e )0+(14)−1
2
； lg √10.(−lg 10)
；
23.（12分）求值与化简：
(1)(17
9)1
2
+(32
)
−1
−√(√3−2)2； (2)
2lg 6−lg 3
1+12lg 0.36+13
lg 8
+2log 24−log 29×log 32.
24.（12分）已知函数y =f(x)的图象与g(x)=log a x(a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称，且g(x)的图象过(4,2)点． (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x −1)>f(5−x)，求x 的取值范围． 四 、多选题（本大题共6小题，共30分）
25.（5分）已知实数a ，b 满足log 3a −log 3b <(1
3)a −(1
3)b ，则下列结论正确的是 ( )
A. a<b
B. 1
a <1
b
C. 2a−b <1
D. ln(b −a)>0
26.（5分）下列判断正确的有( )
A. √(π−4)2=π−4
B. 0∈{−1,0,2}
C. cos 1°>sin π
6
D. y =(√x)2与y =x 是同一个函数
27.（5分） 已知集合M ={(x,y)|y =f(x)}，若对于任意实数对(x 1,y 1)∈M ，存在(x 2,y 2)∈M ，使x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是()
A. M ={(x,y)|y =1
x 2} B. M ={(x,y)|y =sinx +1} C. M ={(x,y)|y =2x −2} D. M ={(x,y)|y =log 2x}
28.（5分）下列说法不正确的是( )
A. 命题“∀x > 0，2x > 1”的否定为“∀x ⩽0，2x ⩽1”
B. “xy > 0”是“x +y > 0”的充要条件
C. “α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件
D. 若“1 x 3”的必要不充分条件是“m−2 x m+2”，则实数m 的取值范围是[1,3] 29.（5分）已知x >0,y >0，lg 2x +lg 8y =lg 2，则1
x +
13y
( )
A. 有最小值4
B. 有最小值−4
C. 有最大值4
D. 无最大值
30.（5分）函数f （x ）是指数函数，则下列等式中正确的是（）
A. f(x +y)=f(x)f(y)
B. f(x −y)=
f(x)
f(y)
C. f(x
y )=f(x)−f(y) D. f(nx)=[f(x)]n (n ∈Q)
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】因为2005年年底的产量为a，年平均增长率为x，则2011年年底产量为
a+ax=a（1+x），
2010年年底的产量为a（1+x）+a（1+x）x=a（1+x）（1+x）=a（1+x）2，
由此得出，从2005年年底开始，每一年年底的产量构成以a为首项，以1+x为公比的等比数列，
以2005年年底的产量a为首项，则2010年年底的产量为a5
所以，2011年年底的产量y=a（1+x）5．
故选D。

2.【答案】B;
【解析】
此题主要考查函数的平移变换规律，属于基础题.
由题意利用函数图象向右平移t个单位长度后得到y=2x−t的图象，求得t的值．
【解析】
解：把函数y=2x的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=
2x−t=2x
2t =1
3
.2x，
∴2t=3，t=log
2
3，故选：B.
3.【答案】D;
【解析】解：(a 2
3b
1
3).(−a
1
2b
1
2)÷(
1
3
a16b56)=−a(23+12)b(13+12)÷1
3
a16b56=−3a.
故选：D.
利用有理数指数幂的性质进行运算即可．
此题主要考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．
4.【答案】B;
【解析】解：根据题意，2013年退耕8万公顷，记为a1=8，以后每年比上一年增加10%，
则每年的退耕还林亩数组成等比数列，求q=1+10%=1.1，
∴a n=a1•q n−1=8×1.1n-1；
所以2018年退耕亩数为a6=8×1.15（万公顷）．
5.【答案】C;
【解析】解：a 2•a 3=a 5，所以A 不正确； （x 5）2=x 10，所以B 不正确；
（-3c ）2=9c 2，满足运算法则，所以C 正确； （a-2b ）2=a 2-4ab+4b 2，所以D 不正确； 故选：C ．
6.【答案】D; 【解析】
此题主要考查的是是指数幂的运算，函数的定义域，属于基础题. 根据指数幂的运算法则即可得到答案.
解：A 中，当a <0时，(a 2)3
2>0,a 3<0，所以(a 2)3
2≠a 3，故错误; B 中，当n 为奇数且a <0时，√a n n =a ≠|a |，故错误； C 中，函数的定义域为[2,73)∪(7
3,+∞),故错误; D 中，√6412
=√63
，故正确. 故选D.
7.【答案】B;
【解析】解：构造函数f(x)=3x −5−x ， ∵y =3x 为增函数，y =5−x 为减函数，
由函数单调性的性质“增”−“减”=“增”得到函数f(x)=3x −5−x 为增函数 又∵3x −3−y ⩾5−x −5y ， 即3x −5−x ⩾3−y −5y ， 故x ⩾−y 即x +y ⩾0 故选B
构造函数f(x)=3x −5−x ，根据函数单调性的性质结合指数函数的单调性，我们可以判断出函数f(x)=3x −5−x 为增函数，由3x −3−y ⩾5−x −5y 成立，我们易根据单调性的定义得到一个关于x ，y 的不等式，进而得到答案．
本题的考查的知识点是不等式比较大小，其中构造函数f(x)=3x −5−x ，将已知中的不等关系转化为函数单调性的应用，是解答本题的关键．
8.【答案】B;
该题考查交集的运算，属于基础题
可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：A={ x|0<x⩽2}；
∴A∩B={ x|1<x⩽2}．
故选：B．
9.【答案】A;
【解析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
该题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
0.76∈(0,1)，60.7>1，log
0.7
6<0，
∴60.7>0.76>log
0.7
6，
故选：A．
10.【答案】A;
【解析】
根据指数幂的运算性质计算即可．
该题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
解：对于A，根据同底数的运算法则可得，x3⋅x2=x5，故正确，
对于B：不是同类项，不能合并，故错误，
对于C：2x3÷x2=2x3−2=2x，故错误，
对于D：(x
2)3=x3
8
，故错误，
故选A．
11.【答案】B;
【解析】
分数指数幂和根式的互化和指数幂的运算性质化简即可．
该题考查了分数指数幂和根式的互化和指数幂的运算性质，属于基础题．
解：3√3√3√3=3×(3(3(31
2)
1
2)
1
2)=3158，
故选：B．
12.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
解：对于选项A，1.6x为增函数，即1.61.5<1.62，A错；
对于选项B，0.5x为减函数，即0.50.2>0.50.3，B对；
对于选项C，1.60.2=√1.6
5>1，0.53.2<1，即1.60.2>0.53.2，C错；
对于选项D，log
20.5<0<log
3
2，D错．
∴只有B正确．故选B.
13.【答案】5;-a;
【解析】解：log
√22√2+log
2
3⋅log
3
4=3+2=5，
当a<0时，√a2⋅3a3⋅a−1=−a⋅a⋅a−1=−a，
故答案为：5，−a．
根据对数的运算性质和指数幂的运算性质计算即可．
该题考查了对数的运算性质和指数幂的运算性质，属于基础题．
14.【答案】102；;1
2
;;
【解析】
此题主要考查指数和对数的运算，是基础题.
根据指数和对数的运算性质求解即可.
解：(27
9)0.5+0.1−2+(210
27
)3−π0=(25
9
)0.5+102+(64
27
)13−1=5
3
+100+4
3
−1=102；
lg√2+lg3−lg√10
lg1.8=
3√2
√10
lg1.8
=lg√1.8
lg1.8
=
1
2
lg1.8
lg1.8
=1
2
.
15.【答案】[1
3
,+∞);
【解析】
此题主要考查根式的运算，
根据根式性质化简即可.
解：由√9a 2−6a +1=3a −1得|3a −1|=3a −1， 所以3a −1⩾0，得a ⩾1
3. 故答案为[1
3,+∞).
16.【答案】10
3; 【解析】
此题主要考查指数与对数的运算，属于基础题. 先由x ⋅log 32=1解得x ，代入计算即可.
解：由x ⋅log 32=1，解得x =log 23， ∴2x +2−x =2log 23+2−log 23 =3+1
3=
103.
故答案为10
3
.
17.【答案】{x|-3＜x≤0，或x ＞lo g 26};
【解析】解：由题意可得，f(0)=0.设x >0，则−x <0，由题意可得f(−x)=2x −7=−f(x)，
求得f(x)=7−2x ，即f(x)={(1
2
)x −7,x <00,x =07−2x ,x >0.
显然，x =0满足不等式．
当x <0时，由f(x)<1可得(1
2)x −7<1，可得−x <3，∴0>x >−3. 当x >0时，由f(x)<1可得7−2x <1，可得2x >6，∴x >log 26. 综上可得，不等式的解集为{ x |−3<x ⩽0,或x >log 26}. 故答案为：{ x |−3<x ⩽0,或x >log 26}.
项由条件利用函数的奇偶性求出函数解析式，分类讨论求得不等式的解集，综合可得结论．
此题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，指数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
18.【答案】{ 0,1}; 【解析】
此题主要考查指数函数的解的问题，属于基础题.利用十字相乘法即可求解.
解：52x −6+5x +5=0 (5x −1)(5x −5)=0 5x =1或5x =5 x =0或x =1
所以52x −6×5x +5=0的解集为{ 0,1} . 故答案为{ 0,1} .
19.【答案】解：（1）原式=lo g 5(3×
1
15
)+15
.1612
=lo g 515
+
1
15
=−1+
115
=−14
15
；
（2）原式=[(1+√5)2
]12
+14
×23
−0.1−(√5+2)=1+√5+1
6
−
110
−√5−2=−1415
．;
【解析】
(1)进行对数的运算即可； (2)进行指数和根式的运算即可．
该题考查了对数、指数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：（1）原式=lo g 2223
2+lg （50×2）+3+1=34
+2+4=
274
．
（2）原式=[(3
4
)3]2
3−[(5
2
)2]1
2+[(2
10
)3]−2
3×2
5
=(34)2−52+(15)−2×2
5 =916−52+25×2
5
=129
16．（注：只要有正确的转换，都要给步骤分，不能只看结果）; 【解析】
(1)直接利用对数运算法则化简求解即可． (2)利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．
该题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用，考查计算能力．
21.【答案】解：（1）√49−(27
8)−1
3+(π−1)0
=23−2
3+1 =1． （2）4a 23
b −
13
÷(−2
3
a −
13
b −
13
)(a ＞0， b ＞0)
=-6a
23+1
3
b
−13
−(−13
)
=-6a ．; 【解析】
(1)利用指数性质、运算法则直接求解． (2)运用指数性质、运算法则直接求解．
该题考查指数式化简求值，考查指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
22.【答案】解：(1)原式=5
3
−(2
3
)3×1
3−1+2−2×(−1
2)=53
−2
3
−1+2=2；
(2)原式=lg
8×1252×5
1
2
lg 10×(−lg 10)
=
lg 102−
12
=−4.;
【解析】此题主要考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
(1)利用指数幂的运算性质即可得出． (2)利用对数的运算性质即可得出．
23.【答案】解：(1))(17
9
)1
2+(3
2
)−1−√(√3−2)2.
=(16
9
)12
+2
3
−(2−√3)
=43
+2
3
−2+√3
=√3； (2)
2lg 6−lg 3
1+12lg 0.36+13
lg 8+2log 24−log 29×log 32.
=lg 36−lg 3
1+lg 0.6+lg 2+4−2log 23×log 32 =
lg 12
+4−2
=3.; 【解析】
(1)化带分数为假分数，化负指数为正指数，再由有理指数幂的运算性质求解； (2)直接利用对数的运算性质化简求值．
此题主要考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础的计算题．
24.【答案】解：（Ⅰ）∵g （x ）=lo g a x （a ＞0，且a≠1）的图象过点（4，2）， ∴lo g a 4=2，a=2，则g （x ）=lo g 2x ．…（2分） ∵函数y=f （x ）的图象与g （X ）的图象关于x 轴对称， ∴g(x)=lo g 12
x ．…（5分）
（Ⅱ）∵f （x-1）＞f （5-x ）， ∴lo g 12
(x −1′)＞lo g 12
(5−x)，
即{x −1＞0
5−x ＞0x −1＜5−x ，解得1＜x ＜3， 所以x 的取值范围为（1，3）…（12分）; 【解析】
(Ⅰ)把点(4,2)代入g(x)的解析式求出a ，再根据条件求出f(x)的解析式； (Ⅱ)根据(Ⅰ)和对数函数的单调性、真数大于零列出不等式组，求出解集即可．
该题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．
25.【答案】AC;
【解析】因为log 3a −log 3b <(13)a −(13)b 成立，所以a >0,b >0，由log 3a −log 3b <(13)a −(13)b 变形得log 3a −(13)a <log 3b −(13)b ，令函数f(x)=log 3x −(13)x ，因为y =log 3x,y =−(13)x 都在(0,+∞)上单调递增，所以函数f(x)=log 3x −(13)x 在(0,+∞)上单调递增，所以由log 3a −(13)a <log 3b −(13)b ，即f(a)<f(b)，可得0<a <b ，所以1a
>1b ，故A 正确，B 错误；因为a −b <0，函数y =2x 在(−∞,+∞)上单调递增，所以2a−b <20=1，故C 正确；b −a >0,ln(b −a)的符号可正可负，故D 错误.故选AC.
26.【答案】BC;
【解析】解：对于A ，√(π−4)2=|π−4|=4−π，所以选项A 错误；
对于B ，根据元素与集合之间的关系知，0∈{−1,0,2}，所以选项B 正确； 对于C ，sin π6=sin 30°=cos 60°，且0°<1°<60°<90°， 所以cos 1°>cos 60°，即cos 1°>sin π6，选项C 正确；
对于D ，y =(√x)2=x 的定义域是[0,+∞)，y =x 的定义域是R ，
两函数的定义域不同，不是同一函数，所以选项D 错误．
故选：BC ．
根据题意，对选项中的命题分析，判断正误即可．
此题主要考查了根式的化简以及命题真假的判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
27.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于较难题.
由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线y =f(x)上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直，逐一验证选项即可
解：A:由题意可得集合M 是“垂直对点集”，
即满足曲线y =f(x)上过任意一点与原点的直线，
都存在过另一点与原点的直线与之垂直．
M ={(x,y)|y =1x 2}，
其图象向左向右和x 轴无限接近，向上和y 轴无限接近，
根据幂函数的图象和性质可知，
在图象上任取一点A，连OA，
过原点作OA的垂线OB必与y=1
x2
的图象相交，
即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，
故M={(x,y)|y=1
x2
}是“垂直对点集”，故A符合；
B:由题意可得：M={(x,y)|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，
因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．
所以M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故B符合.
C:M={(x,y)|y=2x−2}，其图象过点(0,−1)，且向右向上无限延展，向左向下无限延展，
所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x−2的图象相交，即一定存在点B，
使得OB⊥OA成立，故C是“垂直对点集”；
M={(x,y)|y=log2x}，(x>0)，取(1,0)，则不存在点(x2,log2x2)(x2>0)，满足
1×x2+0=0，因此D不是“垂直对点集”.
故选ABC.
28.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查全称量词命题的否定，属于基础题.
对于A项根据含有量词的否定即可判断；对于BCD项，根据充分条件和必要条件的定义即可判断.解：A.命题“∀x > 0，2x > 1”的否定为“∃x>0，2x⩽1”，故A错误;
B.“xy>0”是“x+y>0”的既不充分也不必要条件，故B错误;
C.由“α=β”可得“sinα=sinβ”，而由“sinα=sinβ”不可得“α=β”，
故“α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件，故C正确;
D.“1 x 3”的必要不充分条件是“m−2 x m+2”，则{m−2⩽1
m+2⩾3(等号不能同时成立)，
解得1⩽m⩽3，故D正确.
故选AB.
29.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
考查对数运算，由对数运算得出x+3y=1，利用基本不等式可得最值.
解：因为lg2x+lg8y=lg(2x×23y)=lg2，所以2x+3y=2，则x+3y=1，
所以1
x +1
3y
=(1
x
+1
3y
)×(x+3y)
=2+3y
x +x
3y
⩾2+2√3y
x
=4，
当且仅当x=3y=1
2
时，等号成立. 故选AD.
30.【答案】ABD;
【解析】略。