空间向量及其加减与数乘运算用

一：空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义 表示法 向量的模 相等向量
相反向量 单位向量 零向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小 a AB
长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
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具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量
D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
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感谢您的欣赏！
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e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2
是平面内的两个不共线的向量，那么
对于这一平面内的任意向量
只有一对实数1 ，2 使 a
a，有且
1e1 2e2
如果空间向量 p 与两不共线向量a ，b 共面
那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有
p x yb
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反过来，对空间任意两个不共线的向量 a ，b ，如 果 p x yb，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 上l 的
充要条件是存在实数t,满足等式 OP OA ta
若其O中P向量OAa叫做t A直B线 的l 方向P向量. a
(或AP t AB)
B
则A、B、P三点共线。
A
若O若PP为xAO,AB中 y点O,B(x y 1)，O
则A则、BO、P P三1 点OA共线OB。 2
OP OA t AB
OP xOA yOB(x y 1)
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二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
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那么什么情况下三个向量共面呢？
e
e 2
a
③式称为空间平面ABC的向量参数方程，空间中任 意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定。
2
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P与A,B,C共面
AP xAB yAC
OP OA xAB y AC
OP xOA yOB zOC(x y z 1)
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例1. 已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外 的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、 B、C一定共面？
直线向量表示式
31
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说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广． 练习1.对于空间任意一点O，下列命题正 确的2是.凡：是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 A.若中O有P关 结OA论仍t A适B 用，于则它P们、。A、B共线
B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点
C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
长度相等且方向 相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
思考：空间任意两个向量是否都可以平移到
同一平面内？为什么？
B
b
O
A
a
O′
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
内，成为同一平面内的两个向量。
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概念 加法 减法 运算
运 算 律
二、空间向量的加法、减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
A1
An 1
A2
An
A3
A4
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平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 ABCD 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记
作ABCD— ABCD ．
D’
平行六面体
A’
的六个面都是平
C’ B’
行四边形，每个 面的边叫做平行 六面体的棱．
a
D
A
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C B
例题
例已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
a
a
b
c
b
c
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说明 对空间向量的加法、减法的说明
⒈ 空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉ 两个向量相加的平行四边形法则，三角形 法则，减法法则在空间 仍然成立．
⒊ 空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加．
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面 向量中有关结论仍适用于它们。
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回顾
空间向量数乘运算
1）实数 与空间向量
a
的乘积 a仍然是一个向量
（1）方向：当 当
0 0
时， 时，
aa与与向向量量
a 方向相同 a方向相同
当 0 时，a 是零向量
（2）大小：
a的长度是
a
的长度的
| |倍
又 A B，A C不共线，所以A B，A C，A P共面且有公共点A
从而A, B,C, P四点共面。
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例1(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA , OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证： 四点E、F、G、H共面；
共面
yb
推论 OP OA t AB
OP OA xAB y AC
OP xOA yOB(x y 1) OP xOA yOB zOC
(x y z 1)
运用 判断三点共线，或两 判断四点共线， 直线平行
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由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
AD
AA'
AC
A’
AA'
AC CC' AC'
始点相同的三个不共面向量之和， 等于以这三个向量
D
为棱的平行六面体的以公共始点
为始点的对角线所示向量
A
C’ B’
C B
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———共线向量与共面向量
a
b
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回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内， 成为同一平面内的向量。
存在唯一实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
C百度文库
p
P
b
A aB
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对空间任一点O,有OP OA xAB y AC ③
C
p
P
b
A aB
O 填空：OP (1__-_x_-_)OA (__x__)OB (__y__)OC y
能否推广到空间向量中呢？
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2.使共a /线/ ba向(b的量充b0(定要b)条理 件0:)对是空存间在任唯意一两实个数向λ，量 ，a b，
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如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
a
知存在唯一的t,
满足
AP ta
置关系？
C
p
P
b
A aB
xa, yb分别与a，b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
并且此平行四边形在 a，b确定的平面内，
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
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a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
k( AB AD)
k(OB OA OD OA)
D
A
H
C
B
G
OF OE OH OE
E
F
EF EH
所以 E、F、G、H共面。
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小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合
定理 a // b(a 0)
a b
叫 做共面向量. a b p p x
列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
D’ A’
C’ B’
D
A
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C B
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下
列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
D’
解：⑴AB BC AC
⑵AB
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例1 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：四点E、F、G、H共面；
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
（﹡）代入
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2. 空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a ()a ()a
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1.回 顾
1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？
怎样判定向量b与非零向量a是否共线？
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于 任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 所以平行向量也叫做共线向量．
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
加法交换律
ab ba 加法结合律:
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) (a b) c a (b c)
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四、空间向量加法与数乘向量运算律
问题2：平的面实向数量中，，a使// ba(b0b)的充要条件是：存在唯一
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1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
问问题题12：：平若的a面实//向b数(量a 中0，，)a则使// baa,(bb所0b在)的直充线要有条那件些是位：置存关在系唯?一
进一步，OP还可表示为： OP _1_-_t _OA __t__OB
因为 AB OBOA,
所以 OP OA t(OB OA)
aP
B A
O
(1 t)OA tOB
特别的，当t= 1 时，则有 2
OP 1 (OA OB) P点为A,B 的中点 2
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A、B、P三点共线
AP t AB（有公共点 A）
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推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
A2
An
A3
A4
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推广
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A
对空间任意一点O,
AP OP OA,
l
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
若在l上取 AB a 则有
OP OA t AB
②
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间
一点及直线的方向向量唯一决定。
由此可判断空间任意三点共线。
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OP OA t AB
(1)OB OC 3OP OA (2)OP 4OAOB OC
解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只
要证明存在有序实数对（x,y）使得 AP xAB yAC
(1)共面，因为OB OC 2OA 3OP 3OA
即(OB OA) (OC OA) 3AP
所以AB AC 3AP,所以AP 1 AB 1 AC 33