高二上学期开学考试数学试题
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16.已知函数 ，关于x的不等式 只有一个整数解，则正数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得 的值域，进而结合不等式可知 ；因为不等式 只有一个解，因而计算 后与 比较即可确定这个解为 ；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围.
【详解】函数 ，
故
，
故 恒成立等价于 即 恒成立，
化简得到 ，因为 ，故 .
故选D.
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围.
， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，故选B．
【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.在边长为1的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，以 点为坐标原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系，得到 ， ，以及直线 的方程，设出点E坐标，根据向量数量积，直接计算，即可得出结果.
所以 ，即 ，
当 时， 符合条件.
（2）因为 ，所以 ，
解得 或 （舍）.
故 ，
令 ，由 ，故 ，
所以
函数 图象的对称轴为 ，
① 时， ，解得 （舍去）；
② 时， 函数的性质，考查了换元法，考查了已知函数的最小值求参数问题，考查了数学运算能力.
20.开发商现有四栋楼A，B，C，D．楼D位于BC间，到楼A，B，C的距离分别为 ， ， ，且从楼D看楼A，B的视角为 ．如图所示，不计楼大小和高度．
2.若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的值域可知 ，利用不等式知识可知 ，从而得到 的值域.
【详解】 值域为
的值域为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数值域的求解问题，关键是能够通过 的值域得到 所处的范围，属于基础题.
3. （ ）
A. B. C. D.
11.已知数列 满足 … ，设数列 满足： ,数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 的通项，再求出 的通项，从而可求 ，利用参变分离可求 的取值范围.
【详解】因为 … ，
所以 … ，
故 即 ，其中 .
而令 ，则 ，故 ， .
，
10.已知函数 是定义在R上的偶函数，且当 时， ，若对于任意实数 ，都有 恒成立，其中 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用分离常数化简解析式，结合函数解析式可判断函数 在 上是增函数；结合偶函数性质将不等式化为简，再利用单调性可得 ， ，再由 的范围，求得 的最大值，即可得 的范围.
（1）证明：数列 是等差数列．
（2）若 对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
分析】
（1）根据已知可变形为 常数；（2）首先求数列 的通项公式，然后利用裂项相消法求 ，若满足 对 恒成立，需满足 ， ，求 的取值范围.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，，
则 ．
又 ，
故数列 是以1为首项，2为公差的等差数列．
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式组，画出可行域，将线性目标函数转化为直线，利用平移法即可求得最小值.
【详解】根据不等式组，画出可行域如下图所示：
目标函数 可化为 ，将 平移可知当 经过 时截距为最小值，
由 解得 ，
所以目标函数 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题.
即 的取值范围为 .
故选B
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，利用建立坐标系的方法求解即可，属于常考题型.
6.若实数 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式得 ，然后解不等式可得，同时注意 ．
【详解】∵ ，∴ （ 时取等号）， ，∴ ，又 ，∴ ，
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.在 中，已知 ，则BC的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件，结合余弦定理即可求解.
【详解】在 中，已知 ，
则由余弦定理可得
，
故答案为：
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
14.已知实数x、y满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为________．
【详解】如图，以 点为坐标原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为等边三角形的边长为1，所以 ， ， ， ，
则直线 的方程为 ，整理得 ，
因为E为线段AC上一动点，设 ， ，
则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，最大值为 .
三、解答题（共6小题，共70分）
17.设函数 .
（I）求 的最小正周期 ；
（Ⅱ）求 在区间 上的值域.
【答案】（I） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（I）将函数 的解析式利用二倍角降幂公式、辅助角公式化简，再利用周期公式可计算出函数 的最小正周期；
（Ⅱ）由 ，求出 的取值范围，再结合正弦函数的图象得出 的范围，于此可得出函数 在区间 上的值域.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式得到答案.
【详解】
故答案选B
【点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题.
4.记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 （ ）
A. 2B. -4C. 2或-4D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列的前 项和公式求出公比，由此能求出结果．
【详解】∵ 为等比数列 的前 项和，
（2）由（1）可知 ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
易知 单调递增，则 ．
所以 ，且 ，解得 ．
故 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了证明等差数列 方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据 的正负判断单调性，然后求最值.
【详解】因为 ， 所以 ，即 ，
令 ，可得 ，
于是有 ，因此 ，即 ，所以 的最小值为 ，故本题选D.
【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
8.已知函数 在区间 上为单调函数，且 ，则函数 的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数在区间 上为单调函数，得周期 ， ，得出图像关于 对称，可求出 ， ，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解.
【详解】当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，
而 ，又 是定义在R上的偶函数，
所以由偶函数性质可得 ，
则 ， ，
因为对任意实数 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，
既有 ，解得 ，
即a的取值范围为 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性 综合运用，由函数单调性解不等式，绝对值函数的最值求法，属于中档题.
15.如图，已知点 是平行四边形 的中心，过点 作直线与边 及 的延长线分别交于 ,若 ， ，则 的最小值为___________
【答案】
【解析】
【分析】
利用 ， 转化到 上，得到 之间的关系，再利用基本不等式求得 的最小值.
【详解】 ，
， 共线，所以
而 ，
所以 ，即
当且仅当 ，即 ，等号成立.
【点睛】本题考查向量的基底代换，向量共线表示，基本不等式中“1的代换”，属于中档题.
【详解】设 的最小正周期为 ， 在区间 上具有单调性，
则 ，即 ，由 知，
有对称中心 ，所以 .
由 ，且 ，
所以 有对称轴 .
故 .解得 ，于是 ，
解得 ，所以 .
故选：C
【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题.
9.已知等差数列 和 的前 项和分别为 和 ， ．若 ，则 的取值集合为（ ）
（1）求 的最小值；
（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）化简 得 ，所以 ，展开后利用基本不等式求最小值即可；
（2）由（1），原不等式可转化为 ，讨论去绝对值即可求得 的取值范围.
则从楼A看楼B，C视角的大小为 ；
（2）在 和 中，
， ，
则在 中， ，
中， ，
记矩形开发区 的面积为 ，
则
；
又
；
当 时，即 时，矩形开发区域AMPN的面积最大．
【点睛】本题考查了三角函数式化简变形的应用，正切和角公式及余弦差角公式的应用，辅助角公式的应用，由正弦函数性质求最值，属于中档题.
21.已知 ， ， .
19.设函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）若 ， ，且 在 上的最小值为1，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数 这一性质求解即可；
（2）由 ，求出 的值，利用换元法，根据二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据 即可得出 ，再根据前n项的公式计算出 即可．
【详解】
，选D.
【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：
（1）通项公式的推广：
（2）若 为等差数列， ；
（3）若 是等差数列，公差为 ， ，则是公差 的等差数列；
2019-2020学年度高二年级上学期开学联考
数学 试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，得 ，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的交集运算及对数不等式.
（2）由 ，利用直角三角形的边角关系，表示出矩形 的面积，结合余弦差角公式及辅助角公式化简三角函数式，即可由正弦函数性质求得最大值.
【详解】（1）因为楼D到楼B、C的距离分别为 和 ，到楼A的距离为 ，
所以 百米， 百米， 百米，
因为从楼D看楼A、B的视角为 ，则 ，
则 ，
所以
，
又 ，
即 ，所以 ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用： ．
7.已知 为 的三个内角 的对边， ， 的面积为2，则 的最小值为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出 的最小值.
（1）试求从楼A看楼B，C视角大小；
（2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼M，P，N，形成以楼AMPN为顶点的矩形开发区域，规划要求楼B，C分别位于楼MP和楼PN间，如图所示，记 ，当 等于多少时，矩形开发区域面积最大？
【答案】（1）从楼A看楼B，C视角的大小为 ； （2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数定义及边角关系，结合正切函数和角公式，即可求得楼A看楼B，C视角大小；
结合打勾函数性质可知， ，
关于x的不等式 ，因为求正数a的取值范围，
因而 ，化简不等式可得 ，
所以 ，即
则 ，
因为关于x的不等式 只有一个整数解，
所以由以上数据可知整数解为 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为： .
【点睛】本题考查了打勾函数图像与性质的综合应用，含参数不等式的解法，对分析问题、解决问题、逻辑推理能力要求较高，属于难题.
12.已知 是定义域为 的单调函数，且对任意实数 ，都有 ， 则 的值为（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【详解】因为函数 是 上的单调函数，且对任意实数 ，都有 ，
所以 恒成立，且 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，故选A.
点睛：本题主要考查了函数解析式的求法和函数值的求解问题，着重考查学生的运算、求解能力，试题比较基础，属于基础题.
【详解】（Ⅰ） ，
所以 ；
（Ⅱ）因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的值域为 .
【点睛】本题考查三角函数的基本性质，考查三角函数的周期和值域问题，首先应该将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，结合三角函数图象得出相关性质，考查计算能力，属于中等题．
18.在数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，且 ．
【答案】
【解析】
【分析】
将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得 的值域，进而结合不等式可知 ；因为不等式 只有一个解，因而计算 后与 比较即可确定这个解为 ；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围.
【详解】函数 ，
故
，
故 恒成立等价于 即 恒成立，
化简得到 ，因为 ，故 .
故选D.
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围.
， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，故选B．
【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.在边长为1的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，以 点为坐标原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系，得到 ， ，以及直线 的方程，设出点E坐标，根据向量数量积，直接计算，即可得出结果.
所以 ，即 ，
当 时， 符合条件.
（2）因为 ，所以 ，
解得 或 （舍）.
故 ，
令 ，由 ，故 ，
所以
函数 图象的对称轴为 ，
① 时， ，解得 （舍去）；
② 时， 函数的性质，考查了换元法，考查了已知函数的最小值求参数问题，考查了数学运算能力.
20.开发商现有四栋楼A，B，C，D．楼D位于BC间，到楼A，B，C的距离分别为 ， ， ，且从楼D看楼A，B的视角为 ．如图所示，不计楼大小和高度．
2.若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的值域可知 ，利用不等式知识可知 ，从而得到 的值域.
【详解】 值域为
的值域为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数值域的求解问题，关键是能够通过 的值域得到 所处的范围，属于基础题.
3. （ ）
A. B. C. D.
11.已知数列 满足 … ，设数列 满足： ,数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 的通项，再求出 的通项，从而可求 ，利用参变分离可求 的取值范围.
【详解】因为 … ，
所以 … ，
故 即 ，其中 .
而令 ，则 ，故 ， .
，
10.已知函数 是定义在R上的偶函数，且当 时， ，若对于任意实数 ，都有 恒成立，其中 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用分离常数化简解析式，结合函数解析式可判断函数 在 上是增函数；结合偶函数性质将不等式化为简，再利用单调性可得 ， ，再由 的范围，求得 的最大值，即可得 的范围.
（1）证明：数列 是等差数列．
（2）若 对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
分析】
（1）根据已知可变形为 常数；（2）首先求数列 的通项公式，然后利用裂项相消法求 ，若满足 对 恒成立，需满足 ， ，求 的取值范围.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，，
则 ．
又 ，
故数列 是以1为首项，2为公差的等差数列．
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式组，画出可行域，将线性目标函数转化为直线，利用平移法即可求得最小值.
【详解】根据不等式组，画出可行域如下图所示：
目标函数 可化为 ，将 平移可知当 经过 时截距为最小值，
由 解得 ，
所以目标函数 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题.
即 的取值范围为 .
故选B
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，利用建立坐标系的方法求解即可，属于常考题型.
6.若实数 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式得 ，然后解不等式可得，同时注意 ．
【详解】∵ ，∴ （ 时取等号）， ，∴ ，又 ，∴ ，
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.在 中，已知 ，则BC的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件，结合余弦定理即可求解.
【详解】在 中，已知 ，
则由余弦定理可得
，
故答案为：
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
14.已知实数x、y满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为________．
【详解】如图，以 点为坐标原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为等边三角形的边长为1，所以 ， ， ， ，
则直线 的方程为 ，整理得 ，
因为E为线段AC上一动点，设 ， ，
则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，最大值为 .
三、解答题（共6小题，共70分）
17.设函数 .
（I）求 的最小正周期 ；
（Ⅱ）求 在区间 上的值域.
【答案】（I） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（I）将函数 的解析式利用二倍角降幂公式、辅助角公式化简，再利用周期公式可计算出函数 的最小正周期；
（Ⅱ）由 ，求出 的取值范围，再结合正弦函数的图象得出 的范围，于此可得出函数 在区间 上的值域.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式得到答案.
【详解】
故答案选B
【点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题.
4.记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 （ ）
A. 2B. -4C. 2或-4D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列的前 项和公式求出公比，由此能求出结果．
【详解】∵ 为等比数列 的前 项和，
（2）由（1）可知 ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
易知 单调递增，则 ．
所以 ，且 ，解得 ．
故 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了证明等差数列 方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据 的正负判断单调性，然后求最值.
【详解】因为 ， 所以 ，即 ，
令 ，可得 ，
于是有 ，因此 ，即 ，所以 的最小值为 ，故本题选D.
【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
8.已知函数 在区间 上为单调函数，且 ，则函数 的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数在区间 上为单调函数，得周期 ， ，得出图像关于 对称，可求出 ， ，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解.
【详解】当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，
而 ，又 是定义在R上的偶函数，
所以由偶函数性质可得 ，
则 ， ，
因为对任意实数 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，
既有 ，解得 ，
即a的取值范围为 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性 综合运用，由函数单调性解不等式，绝对值函数的最值求法，属于中档题.
15.如图，已知点 是平行四边形 的中心，过点 作直线与边 及 的延长线分别交于 ,若 ， ，则 的最小值为___________
【答案】
【解析】
【分析】
利用 ， 转化到 上，得到 之间的关系，再利用基本不等式求得 的最小值.
【详解】 ，
， 共线，所以
而 ，
所以 ，即
当且仅当 ，即 ，等号成立.
【点睛】本题考查向量的基底代换，向量共线表示，基本不等式中“1的代换”，属于中档题.
【详解】设 的最小正周期为 ， 在区间 上具有单调性，
则 ，即 ，由 知，
有对称中心 ，所以 .
由 ，且 ，
所以 有对称轴 .
故 .解得 ，于是 ，
解得 ，所以 .
故选：C
【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题.
9.已知等差数列 和 的前 项和分别为 和 ， ．若 ，则 的取值集合为（ ）
（1）求 的最小值；
（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）化简 得 ，所以 ，展开后利用基本不等式求最小值即可；
（2）由（1），原不等式可转化为 ，讨论去绝对值即可求得 的取值范围.
则从楼A看楼B，C视角的大小为 ；
（2）在 和 中，
， ，
则在 中， ，
中， ，
记矩形开发区 的面积为 ，
则
；
又
；
当 时，即 时，矩形开发区域AMPN的面积最大．
【点睛】本题考查了三角函数式化简变形的应用，正切和角公式及余弦差角公式的应用，辅助角公式的应用，由正弦函数性质求最值，属于中档题.
21.已知 ， ， .
19.设函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）若 ， ，且 在 上的最小值为1，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数 这一性质求解即可；
（2）由 ，求出 的值，利用换元法，根据二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据 即可得出 ，再根据前n项的公式计算出 即可．
【详解】
，选D.
【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：
（1）通项公式的推广：
（2）若 为等差数列， ；
（3）若 是等差数列，公差为 ， ，则是公差 的等差数列；
2019-2020学年度高二年级上学期开学联考
数学 试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，得 ，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的交集运算及对数不等式.
（2）由 ，利用直角三角形的边角关系，表示出矩形 的面积，结合余弦差角公式及辅助角公式化简三角函数式，即可由正弦函数性质求得最大值.
【详解】（1）因为楼D到楼B、C的距离分别为 和 ，到楼A的距离为 ，
所以 百米， 百米， 百米，
因为从楼D看楼A、B的视角为 ，则 ，
则 ，
所以
，
又 ，
即 ，所以 ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用： ．
7.已知 为 的三个内角 的对边， ， 的面积为2，则 的最小值为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出 的最小值.
（1）试求从楼A看楼B，C视角大小；
（2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼M，P，N，形成以楼AMPN为顶点的矩形开发区域，规划要求楼B，C分别位于楼MP和楼PN间，如图所示，记 ，当 等于多少时，矩形开发区域面积最大？
【答案】（1）从楼A看楼B，C视角的大小为 ； （2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数定义及边角关系，结合正切函数和角公式，即可求得楼A看楼B，C视角大小；
结合打勾函数性质可知， ，
关于x的不等式 ，因为求正数a的取值范围，
因而 ，化简不等式可得 ，
所以 ，即
则 ，
因为关于x的不等式 只有一个整数解，
所以由以上数据可知整数解为 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为： .
【点睛】本题考查了打勾函数图像与性质的综合应用，含参数不等式的解法，对分析问题、解决问题、逻辑推理能力要求较高，属于难题.
12.已知 是定义域为 的单调函数，且对任意实数 ，都有 ， 则 的值为（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【详解】因为函数 是 上的单调函数，且对任意实数 ，都有 ，
所以 恒成立，且 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，故选A.
点睛：本题主要考查了函数解析式的求法和函数值的求解问题，着重考查学生的运算、求解能力，试题比较基础，属于基础题.
【详解】（Ⅰ） ，
所以 ；
（Ⅱ）因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的值域为 .
【点睛】本题考查三角函数的基本性质，考查三角函数的周期和值域问题，首先应该将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，结合三角函数图象得出相关性质，考查计算能力，属于中等题．
18.在数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，且 ．