三角函数诱导公式教案

三角函数诱导公式教案
一、教学目标：
1.掌握三角函数诱导公式的概念和相关性质；
2.理解三角函数诱导公式与函数周期、对称性的关系；
3.能够运用三角函数诱导公式求解相关问题。

二、教学重点：
1.三角函数诱导公式的概念和相关性质；
2.三角函数诱导公式与函数周期、对称性的关系。

三、教学难点：
1.三角函数诱导公式推导过程的理解；
2.运用三角函数诱导公式求解相关问题的能力。

四、教学方法：
1.示范引导法；
2.分组合作探究法；
3.案例分析法。

五、教学过程：
1.导入新知：通过一道例题引出三角函数诱导公式的概念和作用。

例题：已知$\sin \theta = \frac{3}{5}$，求$\cos \theta$的值。

引导学生利用三角函数的定义解答问题，得到$\cos \theta = \pm
\sqrt{1-\sin^2 \theta} = \pm \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \pm
\frac{4}{5}$。

从例题中引出三角函数诱导公式的概念，即$\cos \theta = \pm
\sqrt{1-\sin^2 \theta}$。

2.基本三角函数的诱导公式学习：
（1）$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta) = \cos \theta$；
（2）$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = \sin \theta$；
（3）$\sin(\frac{\pi}{2}+\theta) = \cos \theta$；
（4）$\cos(\frac{\pi}{2}+\theta) = -\sin \theta$。

通过两两比较基本三角函数的定义式，结合特殊角的值，学生分组合作，依次验证以上四个公式的正确性。

然后，指导学生进行思考和总结，
得到以上四个公式。

导出这些公式的过程：首先，通过基本三角函数的定义式可知，
$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin(\frac{\pi}{2} \cdot 1-\theta)$；然后，利用和差化积公式展开并化简，得到$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta) = \cos \theta \cdot \sin \frac{\pi}{2} - \sin \theta \cdot \cos
\frac{\pi}{2} = \cos \theta$。

3.三角函数诱导公式的应用：
（1）奇偶性：
将三角函数诱导公式的基本式中的$\theta$换成$-\theta$，观察函
数值得变化。

例题：利用奇偶性证明$\sin(\pi-\theta) = \sin \theta$。

解答过程：根据基本定义$\sin(\pi-\theta) = \sin \pi \cdot
\cos \theta - \cos \pi \cdot \sin \theta = 0 \cdot \cos \theta - (-1) \cdot \sin \theta = \sin \theta$。

从中可以看出，当
$\theta$为$\pi$的整数倍时，对应的$\sin(\pi-\theta)$值为0。

因此，通过奇偶性得证。

（2）周期性：
利用三角函数诱导公式，将基本三角函数的周期性性质加以说明。

例题：利用周期性证明$\sin(\theta+2\pi) = \sin \theta$。

解答过程：利用三角函数诱导公式得到$\sin(\theta+2\pi) = \sin
\theta \cdot \cos 2\pi + \cos \theta \cdot \sin 2\pi = \sin
\theta \cdot 1 + \cos \theta \cdot 0 = \sin \theta$。

4.案例分析：结合实际问题，运用三角函数诱导公式解决问题。

例题：树下的影子长度与太阳高度的关系。

引导学生通过实际思考，将问题转化为三角函数的形式。

根据例题可知，影子长度与太阳高度之间存在对应关系。

假设太阳高度为$\theta$，
则影子长度可以表示为$\sin \theta$。

通过诱导公式可以发现，
$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$可以表示为太阳高度与影子长度之间的关系。

通过讨论和实际例子的演示，引导学生探索诱导公式的应用，并启发他们将所学知识灵活运用到实际问题的解决中。

六、作业布置：
请学生回顾和总结今天所学内容，并完成教师布置的相关作业。

七、板书设计：
$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta) = \cos \theta$
$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = \sin \theta$
$\sin(\frac{\pi}{2}+\theta) = \cos \theta$。