第17讲 随机变量的分布函数 (I)

x 3时, F(x) P{X x} P(S) 1 四川大学
四川大学
第17讲 随机变量的分布函数(I) 26
X 123
(1) 求X的分布函数
pk
111
F(x)，并作图；
4 2 4 四川大四学川大学
0
x 1
四川大学
1
4
1 x 2
F(x) P{X x} 1 1 3 42 4
由概率的减法公式
P{a X b} P[{X b}{X a}] 四川大学 P{X b} P{X a}
因此，我们只要知道事件{X≤x}的概率即可。
四川大学
第17讲 随机变量的分布函数(I) 8
定义（随机变量的分布函数）
设X是一个随机变量(离散型或连续型)，
x是任意实数， 四川大学
上一节我们讲了离散型随机变量。
离散型随机变量X的一切可能的取值可以一
一列出： xi (i=1,2,…)。四川大学
我们通过确定每一个取值的概率pi=P{X=xi} (i=1,2,…) 得到离散型随机变量的分布律。
但是，对于非离散型随机变量X，由于其可
能的取值不能一一列出，因而不能像离散型
随机变量那样用分布律来描述。四川大学
称事件{X≤x}的概率P{X≤x}为X的分布函数，
记作
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F(x) P{X x}
分布函数的定义域是整个实数域: (-∞, +∞)
四川大学
第17讲 随机变量的分布函数(I) 9
X 的分布函数 F(x) P{X x}
对于任何实数 x1, x2 (x1<x2)，都有
四川大学 P{x1 X x2} P{X x2}P{X x1} F (x2 ) F (x1)
四川大学
四川大学
F(x)单调地从 0 增加到 1 (不一定能取到 0 和 1 )。
F(x)处处右连续，有有限个或可数个间断点。
曲线 y=F(x) 有水平渐近线 y=0 和 y=1。
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 16
（三）利用分布函数求概率
四川大学
四川大学 泸州
第17讲 随机变量的分布函数(I) 17
X 1 2 3 111
pk 4 2 4
四川大学
(1) 求X的分布函数F(x)，并作图；
(2) 求 P{X≤1/2}, P{X<1/2}, P{3/2<X≤5/2}
和 P{2≤X≤3}； 四川大学
(3) 求P{X=2}和P{X=2.5}。
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 24
X pk 解(1)
2 x3
由此可见分布函 数是概率的累积
四川大学
1 1 1 1 3 x 424
第17讲 随机变量的分布函数(I) 27
X 1 2 3
111 pk 4 2 4
四川大学
0,
F
(x)

1 3
4, 4,
1, 3 x
x 1 1 x 2 2 x3
阶梯曲线
F ( x) 1
随机变量的分布函数(I)
29
X 1 2 11
pk 4 2
四川大学
x 0, 1
3 1 4
F(x)

1 3
第17讲 随机变量的分布函数(I) 11
性质1 分布函数F(x)是实数域(-∞, +∞)上的 单调不减函数，
即 x1 x2 F(x1) F(x2)
证 设 x1 x2
四川大学
则 F(x2) F(x1) P{x1 X x2} 0
F(x1) F(x2)
四川大学
因此，若已知 X 的分布函数F(x)，则我们就可 以求出 X 落入任一区间(x1, x2]的概率。
从这个意义上讲，分布函数完整的描述了随机
变量的统计规律性。
四川大学
分布函数的引入使得我们能用微积分来研究随
机变量。
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 10
（二）分布函数的性质
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四川大学 泸州
1 2 3
111 424
(1) 求X的分布函数 F(x)，并作图；
四川大学
随机变量X只取三个值：-1, 2, 3
x 1时, X x 1 的概率为零
( ) { }F0 x P X x
四川大学
或 F(x) P() 0
1 x 2 时,F(x) P{X x} P{X 1} 1 4
(3) P{X a} F (a) F (a 0) 特别有用
P{X a} P[{X a}{X a}]
P{X a} P{X a} F (a) F (a 0)
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 18
(1) P{X a} F (a) 分布函数的定义 (2) P{X a} F (a 0) F(x)在a处的左极限 (3) P{X a} F (a) F (a 0) 特别有用
(8) P{a X b} F (b 0) F (a) 四川大学
0bP)FaaX b(9){ }
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 22
（四）离散型随机变量的分布函数
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四川大学 泸州
第17讲 随机变量的分布函数(I) 23
例1 设离散型随机变量X的分布律为
有时我们需要利用分布函数求概率。 下面给出有关公式。 (1) P{X a} F (a) 分布函数的定义
(2) P{X a} F (a 0) F(x)在a处的左极限
P{X a} lim P{X x} lim F (x) 四川大学
x a
x a
四川大学
X x a
(3) P{X a} F (a) F (a 0) 特别有用
PX(a4)F{1a}( ) 四川大学
四川大学
P{X a} 1 P{X a} 1 F (a) 四川大学
FPaX1(a(50)){}
P{X a} 1 P{X a} 1 F (a 0)
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 12
性质2 分布函数F(x)满足
F x (1) 0 ( ) 1 四川大学 四川大学
(2) F() lim F(x) 0 F() lim F(x) 1
x
x
证 (1) 0 F(x) P{X x} 1
(2) 当 x 事件 {X x} 趋于必然事件
推论 若x=a是F(x)的连续点，则 P{X a} 0
若x=a是F(x)的间断点，则
P{X a} =F(x)在点x=a处的跃度。
四川大学 F (a)
四川大学
F(a0)
四川大学
a
第17讲 随机变量的分布函数(I) 19
(1) P{X a} F (a) 分布函数的定义
(2) P{X a} F (a 0) F(x)在a处的左极限
(6) P{a X b} F (b) F (a) 前面已经推导
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 20
(1) P{X a} F (a) (2) P{X a} F (a 0)
(7) P{a X b} F (b 0) F (a 0)
P{a X b} P[{X b}{X a}]

lim
xx0+
F ( x)
F(x0)
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右极限等 于函数值
证明较难（从略） 四川大学
注意: F(x)不一定是左连续的，从而不一定连续。
有的教材定义F(x)=P{X < x}，则它左连续。
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 14
分布函数F(x)满足：
(1) 单调不减
(2) lim F(x) 0 x
y F(x)
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1
四川大学
23
x
第17讲 随机变量的分布函数(I) 28
0, x 1
X 1 2 3
111 pk 4 2 4
四川大学
F
(x)

1 3
4, 4,

1,
1 x 2 2 x 3 3 x
(2) 求 P{X≤1/2}, P{X<1/2}, P{3/2<X≤5/2}, P{2≤X≤3}。
P{X b} P{X a} F (b 0) F (a 0)
(8) P{a X b} F (b 0) F (a)
P{a X b} P[{X b}{X a}] P{X b} P{X a} F (b 0) F (a)
(9) P{a X b} F (b) F (a 0) X bXa {} Pa X b
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P{X b} P{X a} F (b) F (a 0)
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 21
利用分布函数求概率的公式
(1) P{X a} F (a)
例如，我们可以考虑随机变量X属于区间(a, b]
的概率：
P{a<X≤b}
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 7
例如，我们可以考虑随机变量X属于区间(a, b]
的概率：P{a<X≤b} 四川大学 因为 {a X b} {X b} {X a} 且 {X a}{X b} (, a) (,b)
概率论与数理统计
主讲：四川大学
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 1
§2.3 随机变量的分布函数
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 3
第17讲 随机变量的分布函数 (I)
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第17讲 Baidu Nhomakorabea机变量的分布函数(I) 4
（一）分布函数的概念
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四川大学 泸州
第17讲 随机变量的分布函数(I) 5
(2) P{X a} F (a 0)
(3) P{X a} F (a) F (a 0)
(4) P{X a} 1 F (a)
(5) P{X a} 1 F (a 0)
(6) P{a X b} F (b) F (a)
(7) P{a X b} F (b 0) F (a 0)
() {1}F x P X x
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当 x 事件 {X x} 趋于不可能事件
F(x) P{X x} 0
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 13
性质3 分布函数F(x)至多有可数个跳跃，间断点
且处处都是右连续的， 即对任何实数x0，都有
F ( x0
0)
P{X 1} F(1) 1 2 24
P{X 1} P{X 1} 1
2
4
或者 P{X a} F (a 0)
或者 P{X 1}

P{X

1} P{2X

1 }
2
2

1 F( )
0

1
2
4
四P{川X大学1
2}

F(1
2

0)

F(1
2) 1
第17讲
4 四川大学
随机变量X只取三个值：-1, 2, 3
x 1时, F(x) P{X x} P() 0 1 x 2 时,F(x) P{X x} P{X 1} 1
4 2 x 3时, F(x) P{X x}
P[{X 1}{X 2}] 1 4 1 2 3 4
2 x 3时, F(x) P{X x}
P[{X 1}{X 2}] P{X 1} P{X 2}
四川大学 1 412 3 4第17讲 随机变量的分布函数(I) 25
X 1 2 3
(1) 求X的分布函数
pk
111
F(x)，并作图；
4 2 4 四川大四学川大学
(3) 处处右连续
lim F(x) 1
x
0 F(x) 1
可由(1), (2) 得出
以上三个性质揭示了分布函数的本质属性。
可以证明： 四川大学
凡是满足以上三个性质的函数必然是某随机
变量的分布函数。
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 15
分布函数示意图
y 1
y F(x)
此外，连续型随机变量X取某一个值x的概率
都等于零：P{X=x}=0（以后解释）。
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第17讲 随机变量的分布函数(I) 6
因此不能像离散型随机变量那样用
f(x)=P{X=x}
来定义连续型随机变量X的概率分布。
实际上，我们常常关心的不是随机变量X取某 一个值的概率，而是关心X落入某一个区间的
概率。 四川大学