中职数学基础模块(下册)第七章-简单几何体练习题

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第七章 简单几何体练习题
数学试卷
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．半径为1的球的表面积是（ ） A ．2π
B ．4π
C ．π
D ．4π3
2．有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形. A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知正四棱锥的高为3 ）
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A ．6
B ．
C ．2
D 5．一个棱柱是正四棱柱的充要条件是（ ） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
6．圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（ ） A ．1
B ．2
C ．π
D ．2π
7．如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A 出发，沿三棱柱侧面绕行两周
到达1A 的最短路线长为（ ）
A ．25
B ．24
C ．31
D ．28
8．某几何体底面的四边形OABC 直观图为如图矩形1111O A B C ，其中116O A =，112O C =，则该几何体底面对角线AC 的实际长度为（ ）
A ．6
B ．
C ．
D ．9．圆台上､下底面半径分别是12､ ） A B ． C ． D 10．正三棱柱111ABC A B C -，如图所示，以四边形11BCC B 的前面为正前方画出的三视图正确的是（ ）
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A ．
B ．
C ．
D ．
11．下列说法正确的是（ ） A ．多面体至少有3个面
B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D ．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
12．如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是（ ）
A ．该几何体的侧面是平行四边形
B ．该几何体有七个面
C ．该几何体恰有十二条棱
D ．该几何体恰有十个顶点
13．已知棱长为1的正方体的所有顶点均在一个球的球面上，则该球的表面积是（ ） A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
14．若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（ ）
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A ．
2π3
B ．2π
C D 15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．12π
B ．18π
C ．24π
D ．36π
16．如图，A B C '''是ABC 的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么ABC 是
一个（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
17．如图所示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．则这个几何体的侧面积与体积分别为（ ）
A ．4π
B ．4π
C ．2π
D ．π
18．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为211A B BC −的体积为（ ） A ．1
2
B C ．1 D 19．若一个圆柱的母线长等于其底面圆的直径，且该圆柱的体积为16π，则该圆柱的母线长是（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
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20．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）
二、填空题
21．圆柱的底面半径为1，高为2，则其表面积为______.
22．边长为2的正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为___________.
23．如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是_______.
①A 与B ②D 与E ③B 与D ④C 与F
24．如图，若斜边长为A B C '''（B '与O '重合）是水平放置的ABC 的直观图，则ABC 的面积为________．
25．如图是一个多面体的三视图，则该多面体的体积为________.
三、解答题
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26．如图，四面体−P ABC 的各棱长均为3，求它的表面积．
27．圆锥底面积为3π，母线与底面所的成角为60︒，求它的体积．
28．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1－ABD ，求剩余的几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积．
29．如图，正方形O A B C ''''的边长为a ，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC 的周长是多少？
30．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S ABCD −．
(1)求它的表面积； (2)求它的体积.
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参考答案：
1．B
【分析】利用球的表面积公式直接求解即可.
【详解】球的半径1R =，∴该球的表面积24π4πS R ==. 故选：B. 2．C
【分析】由圆柱、圆锥的结构特征逐一分析四个命题得结论．
【详解】解：①圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误； ②过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确；
③以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误； ④平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误．
∴其中错误命题个数为3． 故选：C ． 3．A
【分析】根据斜二测画法规律，平行于y 轴的线段长度是原长的一半即可判断. 【详解】在直观图中，其一条对角线在y 所以在原图形中其中一条对角线必在y 轴上，且长度为 故选：A ． 4．C
【分析】直接利用棱锥的体积公式计算即可.
【详解】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为1
323
=
故选：C. 5．C
【分析】由正四棱柱的定义及几何特征，结合充要条件的概念，依次判断即可．
【详解】若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故A 不满足要求；
若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故B 不满足要求；
若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，反之也成立，故C 满足要求；
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若每个侧面都是全等矩形的四棱柱，其底面可能不是正方形，故D 不满足要求. 故选：C ． 6．D
【分析】设圆柱母线l 、半径r ，结合2πl r =即可得结果.
【详解】令圆柱母线为l ，底面半径为r ，则2πl r =，故2πl
r
=.
故选：D 7．A
【分析】根据正三棱柱的侧面展开图求得最短线路长.
【详解】正三棱柱的侧面展开图是底边长为4312⨯=，高为7的矩形，
所以绕行两周的最短路线长为225.
故选：A 8．B
【分析】通过直观图与原图的关系得出A 、C 两点的坐标，即可得出答案. 【详解】根据四边形OABC 直观图将其还有为平面图形如图：
根据直观图与原图的关系可得：
116OA O A ==，OD ==112CD OC ==， 则点()6,0A ，(2,C −，
AC ∴=
故选：B. 9．A
【分析】运用圆台体积公式直接计算.
【详解】由圆台体积公式知：()()22221ππ121233V h R r Rr =++=++⨯= ；
故选：A.
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10．A
【分析】根据三视图的知识确定正确答案. 【详解】由于四边形11BCC B 的前面为正前方， 所以主视图为矩形，左视图为三角形， 俯视图是中间有一条横线的矩形， 所以A 选项正确. 故选：A 11．D
【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可． 【详解】对于A ，多面体至少有4个面，故选项A 错误；
对于B ，有2个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B 错误；
对于C ，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C 错误；
对于D ，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D 正确. 故选：D ． 12．C
【分析】根据棱柱的定义及性质判断即可.
【详解】解：根据棱柱的定义可知，该几何体的侧面是平行四边形，故A 正确； 该五棱柱有七个面，十五条棱，十个顶点，故B 、D 正确，C 错误； 故选：C 13．C
【分析】利用正方体外接球的直径为正方体的体对角线，即可求解． 【详解】棱长为1 而正方体的外接球直径即为正方体的体对角线， ， ∴该球的表面积为2
24π4π3πS R ==⨯=⎝⎭
故选：C
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14．B
【分析】设正方体边长为a ，根据体对角线为球的直径即可求出球的半径，进而可求解. 【详解】设正方体的边长为a ，则正方体的体对角线d ==， 则正方体的表面积为26a ，球的表面积为22
4π()3π2
d a =，
所以该正方体表面积与球表面积的比值是2262
3ππ
a a =
， 故选:B. 15．A
【分析】通过三视图判断几何体的图形形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，=4故该几何体体积为2
134123
V ππ=⨯⨯=.
故选:A.
16．A
【分析】将直观图还原为投影图，分析几何图形的形状.
【详解】
将直观图还原，则1BO CO ==，AO =ABC 是正三角形. 故选：A. 17．C
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和体积公式求得结果.
【详解】如图根据几何体的三视图知，该几何体是一个圆锥，底面圆的半径1r =，母线2l =，高h =π2πS rl ==侧，体积21π3V r h ==．
故选：C ． 18．C
【分析】根据三棱锥的体积与三棱柱体积的关系求解.
【详解】正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2 棱柱的底面面积为：122
⨯
棱柱的体积为：3SH ． 由三棱锥的体积的推导过程可知：
三棱锥11A B BC −的体积为：11
3133
V =⨯=三棱柱．
故选：C ． 19．A
【分析】根据圆柱的体积公式即可求解.
【详解】解：设圆柱底面半径为R ，则母线长即高为2R ，所以圆柱的体积为2π216πV R R =⋅=,解得2R =,所以母线长为：24R =， 故选：A. 20．A
【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果． 【详解】因为四个面是全等的正三角形， 1=112S ⨯⨯底面积 则表面积4S =故选：A. 21．6π
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【分析】直接利用表面积公式计算得到答案. 【详解】表面积22π2π2π4π6πS r rh =+=+=. 故答案为：6π 22．16π
【分析】圆柱的底面半径2r =，母线长2l =，代入公式求值即可. 【详解】该圆柱的底面半径2r =，母线长2l =，
所以该圆柱体的表面积为222π2π2π22π2216πS r rl =+=⋅+⋅⋅=. 故答案为：16π. 23．①②④
【分析】还原正方体即可解决. 【详解】根据题意，标记下图，
还原得
由图知，A 与B ，D 与E ，C 与F 重合， 故答案为：①②④ 24．【分析】还原原图，计算面积即可.
【详解】在斜二测直观图中， 由A B C '''为等腰直角三角形， A B ''=2A C ''=，2B C ''=．
还原原图形如图：
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则2AB BC ==，
则11
222
ABC S AB BC =⨯⨯=⨯=△
故答案为： 25．2
【分析】由三视图可得该几何体为如图所示的直三棱柱，由三视图的数据结合三棱柱的体积公式即可求解.
【详解】由三视图可得该几何体为如图所示的直三棱柱，底面为直角三角形，底边长为2，高为1，三棱柱的高为2，
故该几何体的体积为1
12222
V =⨯⨯⨯=.
故答案为:2. 26．
【分析】利用四面体表面积的意义直接计算作答.
【详解】因为四面体−P ABC 的各棱长均为3，于是得四面体−P ABC 的四个面是全等的正三角形，
所以四面体−P ABC 的表面积22443ABC
S S AB ==== 27．3π
【分析】由圆锥底面积，可求得底面圆的半径，由母线，底面半径，高组成的直角三角形中
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求得圆锥的高，即可求得体积.
【详解】由圆锥底面积为3π，即23,r r ππ==603h =， 所以圆锥的体积为2
133
r h ππ=
故答案为：3π 282
【分析】结合正方体的性质，根据表面积的定义即可求解.
【详解】解：由正方体的性质可知1A BD 的等边三角形， 所以1A BD 的面积)
12
A BD
S
=
=
2， 所以所求几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积S ＝1111133A BD
BDC
A B C D S S
S ++2＋21
32a ⨯3a 2a 2
． 29．8a
【分析】根据斜二测画法，OA O A ''=，2OB O B ''=，且△OBC 为直角三角形，则可求OC 【详解】∵O A a ''=，对角线O B ''=，
如图原图形OABC 中OA O A a ''==，2OB O B ''==，且△OBC 为直角三角形， ∴3OC a ==， ∴原图形周长是2(3a ＋a )＝8a ．
30．(1)25+； (2)6
【分析】(1)四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和；
答案第9页，共9页
(2)连接AC 、BD ，AC ∩BD ＝O ，连接SO ，则SO 为棱锥的高，求出SO ，根据棱锥体积公式即可求解． （1）
∵四棱锥S ABCD −的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形， ∴它的表面积为222114sin 4552522SA SB ASB AB ∠⨯⋅⋅⋅+=⨯⨯=+
（2）
连接AC 、BD ，AC ∩BD ＝O ，连接SO ，则SO 为棱锥的高， 则SO ==2=， 故棱锥的体积2153V =⨯=。