九年级数学复习解直角三角形山东教育版知识精讲

九年级数学复习解直角三角形某某教育版
【本讲教育信息】
一、教学内容
复习解直角三角形
二、学习目标：
1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用锐角三角函数来表示直角三角形中两边的比。

2. 熟记30
、45
、60
角的各个三角函数值，会计算含有特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊角的三角函数值计算角。

3. 理解并掌握直角三角形中边、角之间的关系，会用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，锐角三角函数解直角三角形。

4. 会用解直角三角形的有关知识解某些简单实际问题，进一步理解数形结合的思想。

三、重点、难点
重点理解锐角三角函数，应用其解直角三角形；难点是解决一些生活实际问题。

（一）熟练掌握直角三角形的边角关系
如图，ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c
（1）三边之间的关系：2
2
2
c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：=A sin b
a A tan ,c
b A cos ,
c a ==，
所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。

解直角三角形的基本类型题解法如下表所示： 类型
已知条件 解法
两边
两直角边a ，b
A
90B ,b a
A tan ,b a c 22-︒==+= 一直角边a ，斜边c
A
90B ,c a
A sin ,a c b 22-︒==-=
一边、一锐
角
一直角边a ，锐角A
斜边c ，锐角A
A cos c b ,A sin c a ,A 90
B ⋅=⋅=-︒=
（二）弄清解直角三角形的涵义
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

1. 隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件。

2. 已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形。

因为边角的组合有边边、边角、
角角，但角角不能确定三角形的大小，更无法求其边长，所以不能解三角形。

3. 所求的未知元素：共三个，上述的两种情况： （1）中所求元素为两边和另一锐角 （2）中所求元素为第三边和两个锐角
（三）善于找到解题的基本思路
1. 由于本章数形结合紧密，故求解时要根据已知条件画出图形，以帮助分析题意。

2. 对于已知一边和一角的，其难点在求边，其基本思路为： （1）用所求的边与已知边相比
（2）选定已知角所该用的函数值，构成等式 （3）将等式变形，查表计算
已知两边的，其难点在求角，思路是： （1）用两条已知边相比 （2）选定一个所求的锐角
（3）确定该角所用的函数值，构成等式 （4）由比值求角度
3. 有时题目中没直接的直角三角形可用，这时需利用图形的一些性质（如等腰三角形的三线合一）或通过作辅助线来构造直角三角形求解，作辅助线的方法有：
（1）作垂线构成直角三角形 （2）作三角形的高
（3）连结或平移某些线段构成直角三角形
（四）掌握解直角三角形的技巧与策略
有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；数简用勾，数繁用函。

（五）实际应用掌握方位角，仰角、俯角、坡角、坡度等概念，理解触礁等问题的意义。

【典型例题】
（一）锐角三角函数的定义
例1、在△ABC 中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinA 的值是（ ）
A.
135
B.
13
12 C.
125 D. 5
12 分析：由正弦的定义，可得：sinA ＝斜边的对边A ＝AB BC ＝13
5
，故选（A ）.
例2、在RtΔABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 扩大4倍 D. 没有变化
分析：锐角A 的正切值等于∠A 的对边比∠A 的邻边，当各边长度都扩大为原来的2倍时，锐角A 的对边与邻边的比是保持不变的，故应选（D ）.
（二）锐角三角函数之间的关系
例3、在RtΔABC 中，∠C=90°，则下列关系中不一定成立的是（ ）
A. sinA ＝cosB
B. cosA ＝sinB
C. sinA ＝sinB
D. tanA·tanB＝1 分析：RtΔABC 中，∠C=90°，如图，由三角函数的定义可得：
c a A =
sin ，c b A =cos ，b a A =tan ， sinB ＝c b ，cosB ＝c a ，a
b
B =tan ，则有下列关系式：
sinA ＝cosB ， cosA ＝sinB ，tanA ·tanB tan tan 1a b
A B b a =⨯=，
故（A ）（B ）（D ）是成立的，（C ）是不一定成立的.
（三）特殊角的三角函数值 例4、2)130(tan -︒＝（ ）
A. 3
31-
B. 13-
C.
13
3
- D. １－3 分析：本题考查特殊角的三角函数值tan30°＝33，由于3
3
≈0. 577＜1，
所以，原式＝3
3
1-，故选（A ）.
（四）锐角三角函数的增减性 例5、如果∠A 为锐角，且cosA ＝4
1
，那么（ ） A. 0°＜∠A≤30° B. 30°＜∠A≤45° C. 45°＜∠A≤60°
D. 60°＜∠A＜90°
分析：锐角A 的余弦值在0°－90°之间是随着角度的增大而减小的，cos60°＝
2
1， 41＜2
1
，所以60°＜∠A＜90°，故选（D ）.
（五）解直角三角形
例6、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是∠BA C 的平分线. 已知AB=34，那么AD=.
分析：本题是简单的解直角三角形问题，考查学生灵活应用直角三角形中的边角关系解题.
解：∵∠B=30°，AB=34，∴ AC＝23， ∠CAD＝
21∠BAC＝30°，在RtΔADC 中，cos∠CAD＝AD
AC ，
即
23＝AD
32，解得：AD ＝4.
（六）解直角三角形的应用
例7、如图，一轮船原在A 处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P ，轮船沿着北偏西30°方向航行4小时到达B 处. 这时灯塔P 正好在轮船的正东方向上，已知轮船的航速为25海里/小时，求轮船在B 处与灯塔P 的距离（结果可保留根号）.
分析：本题与实际生活联系起来，体现了数学来源于生活的应用性. 题中无直角三角形，作辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键.
解：过A 作AC⊥BP，垂足为C ，
在Rt△ABC 中，AB ＝100，∠BAC＝30°，
BC ＝AB•sin30°＝50，AC ＝AB•cos30°＝350， 在Rt△ACP 中，∠CAP＝45°，CP ＝AC ＝350， BP ＝50＋350
答：轮船在B 处与灯塔P 的距离为（50＋350）海里.
（七）解直角三角形的综合题
例8、已知：如图，在ABC △中，D 是AB 边上的一点，BD AD >，A ACD ∠=∠，
（1）若30A B ∠=∠=，3BD =，求CB 的长；
（2）过D 作CDB ∠的平分线DF 交CB 于F ，若线段AC 沿着AB 方向平移，当点A 移到点D 时，判断线段AC 的中点E 能否移到线段DF 上，并说明理由.
答案：
（1）解：
30A ACD ∠=∠=，
60CDB ∴∠=. 又30B ∠=， 90DCB ∴∠=.
A
D C B
E
F
在Rt BDC △中，cos BC
B BD
=
，
.2
3233cos =⋅
=⋅=∴B BD BC （2）解：CDB A ACD ∠=∠+∠，且DF 是CDB ∠的平分线， 22FDB A ∴∠=∠，FDB A ∴∠=∠. AC DF ∴∥. 方法1：FDB A ∠=∠，B B ∠=∠， BDF BAC ∴△∽△. DF BD
AC BA ∴=
. BD AD >， 12BD BA ∴>. 12
DF AC ∴>. E 是AC 的中点，1DF
AE
∴>. 即DF AE >.
∴点E 可以移到线段DF 上.
例9、如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救. 1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑到C 点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B 点最近的D 点，再跳入海中. 救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒. 若
45BAD ∠=，60BCD ∠=，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B .
1.4≈
1.7≈）
A
C
答案：解：在ABD △
中，4590300A D AD ∠=∠==，，.
cos 45
AD
AB ∴=
=BD=AD ·tan45°=300. 在BCD △中，
6090BCD D ∠=∠=，， 300sin 603BD BC ∴=
==300sin 60
3
BD CD ∴=
==
1号救生员到达B
点所用的时间为
2102
=≈（秒）， 2号救生员到达B
点所用的时间为30050191.7623-+=+≈（秒），
3号救生员到达B 点所用的时间为300300
20062
+=（秒）
， 191.7200210<<，2∴号救生员先到达营救地点B .
例10、去年夏季山洪暴发，我市好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确某某体不滑坡. 某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF BC ∥，斜坡AB 长30米，坡角60ABC ∠=°. 改造后斜坡BE 与地面成45°角，求AE 至少是多少米？（精确到米）
解：在Rt ADB △中，30AB =米60ABC ∠=°
sin 30sin 6025.9826.0AD AB ABC =∠=⨯=≈≈·°（米）
15DB =米
连接BE ，过E 作EN BC ⊥于N AE BC ∵∥
∴四边形AEND 是矩形 26NE AD =≈米
在Rt ENB △中，由已知45EBN ∠°≤， 当45EBN ∠=°时 26.0BN EN ==米
26.01511AE AD BN BD ==-=-=∴米 答：AE 至少是11米.
【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一、填空题
1. 已知角α为锐角，且5
3
sin =
α，则αcos ＝. 2. 在△ABC 中，若AC =2，BC =7，AB =3，则cos A =.
3. 已知A 是锐角，且sin A =1
3
，则cos （90°－A ）＝___________.
4. 已知36α∠=︒，若β∠是α∠的余角，则β∠=度，sin β=____（结果保留四个有效
数字）.
*5. 如图，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔走s 米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为β，则塔高是__________米.
*6. 在△ABC 中，∠A ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则AB ＝________（用b 和θ的三角比表示）.
7. 某山路坡面坡度399i =200米，升高了_______米. 8. 如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为m （精确到m ）.
二、选择题
9. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若∠B ＝2∠A ，则cos B 等于（）
3
3
C.
2
3
D.
2
1 10. 已知α为锐角，tan （90°－α）3，则α的度数为（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
*11. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）
A. 1
B. 2
C.
2
2
D.22 *12. 如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）.
a B A
C
A. a ·sinα
B. a ·cosα
C. a ·tanα
D. a ·cotα
*13. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且5
3
cos =α，AB = 4， 则AD 的长为（ ）
A
B
C D
E
A.3
B.
316C.320D.5
16 14. 某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环
境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）
︒
15020米
30米
A. 450a 元
B. 225a 元
C. 150a 元
D. 300a 元
三、解答题
15. 计算：︒⋅︒-︒60tan 45cos 30sin 2
.
16. 在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sin A =
1
2
，tan B =3，AB =10，求△ABC 的面积. **17. 如图，将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD ，试求ADB ∠的正切值.
18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝3
5
，点D 在BC 边上，且∠ADC ＝45°，DC ＝6，求∠BAD 的正切值.
A
B
C
D
*19. 为申办2010年冬奥会，须改变某某市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°.
问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？
试题答案
一、1.
54；2. 23；3. 3
1
；4. 54、0.8090；5. βαcot cot -s ；6. b ·cot θ；7. 10；.
二、9.D ；10. A ；11. B ；12. C ；13. B ；14. C .
三、15.
46
21-； 16. 32
25；
17. 提示：过点A 作DB 的延长线的垂线AE ，垂足为E . 18. 过D 点作
，交AB 于E 点，所以tan ∠BAD ＝
651
5427
DE AE =⨯=； 19. 可求出AB = 43米，因为8＞43，所以距离B 点8米远的保护物不在危险区内。