[推荐学习]2017_2018学年高二数学下学期第一次联考4月试题文

福建省德化一中、永安一中、漳平一中2017-2018学年高二数学下学
期第一次联考（4月）试题 文
（考试时间：120分钟 总分150分）
一.选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).
1.设复数z 的共轭复数为z ，若1z i =-(i 为虚数单位)，则z 在复平面内的
.A 第一象限内 .B 第二象限内 .C 第三象限内 .D 第四象限内
2.已知条件:0p x ≤，条件1
:
0q x
>，则p ⌝是q 成立的 .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
3.已知命题:p x y +≥，命题:q 在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >.则下列命题为真命题的是
.A p q ∧ .B p q ∨ .C p .D q ⌝
4.以下说法，错误的个数为
①农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．
②公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理． ③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用的类比推理．
④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理．
.A 1 .B 2 .C 3 .D 4
5.用反证法证明：“若0,0,2x y x y >>+>，求证:,x y 中至少有一个大于1”时，下列假设正确的是
.A 假设,x y 都不大于1 .B 假设,x y 都小于1
.C 假设,x y 至多有一个大于1
D. 假设,x y 至多有两个
大于1
6.执行图中的程序框图(其中[]x 表示不超过x 的最大整数)，则输出的
S 值为
.5A .7B .9C .12D
7. 某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表 附表：
请参考公式d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=
其中,)
)()()(()(2
2
，通过计算判断下列选项正确的是：
.A 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 .B 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 .C 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 .D 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
8.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 的方程
为ρθ=,直线l
的参数方程为32
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.设圆C 与直线l 交于
,A B 两点，若点P
的坐标为(，则弦长||AB 等于
A B C 9.已知函数2)()(a x x x f -=的极小值点是1-=x ，则a =
.A 0或1- .B 3-或1- .C 3- .D 1-
10.已知12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在点A ，
满足122||3||AF AF a -=，则椭圆的离心率的取值范围是
1.(,1)2A 1.[,1)5B
2.(,1)5C 2
.[,1)5
D 11.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给丙看乙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
.A 丙可以知道四人的成绩 .B 丙，丁可以知道自己的成绩
.C 乙、丁可以知道对方的成绩 .D 乙、丁可以知道自己的成绩
12. 已知函数()ln 1
x x
f x x =-
+在0x x =处取得最大值，则下列结论中正确的序号为： ①()00f x x <；②()00f x x =；③()00f x x >；④()012f x <；⑤()01
2f x >
.A ①④ .B ②④ .C ②⑤ .D ③⑤
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.复数3
1i i
+的虚部为 .
14.已知函数()sin f x ax x =+的图像在2
π
=x 处的切线与直线 02=+-y x 平行，则a 的值
是 .
15.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ．若射线()21y x =-（1x …）与抛物线C 和l 分别交于,P Q 两点，则
PF PQ
= .
16.已知椭圆具有以下性质：若,M N 是椭圆122
22=+b
y a x 上关于原点对称的两个点，点P 是
椭圆上任意一点，当直线,PM PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k k 时，PM k 与PN k 之积是与
点P 的位置无关的定值．类比椭圆的性质：若,M N 是双曲线12
4
2
2=-y x 上关于原点对称的
两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线,PM PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k k 时，PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值，则这个定值为 .
三.解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点N M 、的极坐标分别为(
)2,0,2π⎫
⎪⎪⎝⎭
，圆C 的参数方程为⎩
⎨
⎧+-=+=θθ
s i n 23c o s 22y x (θ为参数)． (Ⅰ)求线段MN 的中点P 的极坐标； (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系. 18.（本小题满分12分）
已知函数3()3f x x ax b =-+（其中R b a ∈,），若)(x f 在1x =-处取得极值1. (Ⅰ)求b a ,的值；
(Ⅱ)当x ∈[2,3]-时，()10f x m -+≥恒成立，求m 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ,点O 为坐标原点. (Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)过点(4,0)的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，求证：以AB 为直径的圆恒过坐标 原点O .
20.（本小题满分12分）
从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：
经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据()y x ,(其中x (万元)表示购车价格，y (元)表示商业车险保费)：(8,2 150)，(11,2 400)，(18,3 140)，(25,3 750)，(25,4 000)，(31,4 560)，(37，5 500)，(45，6 500)．设
由这8组数据得到的回归直线方程为1055ˆ+=x b y . (Ⅰ)求b
ˆ的值； (Ⅱ)广东李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车． (i)估计李先生购车时的商业车险保费．
(ⅱ)若该车今年2月已出过一次险，现在又被刮花了，李先生到4S 店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议李先生自费(即不出险)，你认为李先生是否应该接受建议?并说明理由．(假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保)
21.（本小题满分12分）.
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，点M 的坐标为)2,0(
且
MF =，椭圆C 的离心率为1
2
．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)过点F 且不垂直于坐标轴的直线交椭圆C 于A 、B 两点, 设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求MFG △的面积S 的取值范围．
22.（本小题满分12分）
设函数()()2
12
x
k f x x e x =--
（其中0k >）． (Ⅰ)若2
1
=
k ，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)讨论函数()f x 的零点个数．
参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分）
1.()A ；
2.()C ；
3.()B ；
4.()A ;
5.()A
6.()C ;
7.()A ;
8.()D
9.()C ；10.()D ;11.()B ;12.()B .
二、填空题（每题5分，满分20分)
113.2-；14.1
；； 116.2
三.解答题 （本大题共6小题，共70分) 17.（本小题满分10分）
解：(Ⅰ)由题意知，点,M N 的直角坐标分别为()0,2，⎪⎪⎭⎫
⎝⎛332,0，
又P 为线段MN 的中点，所以点P 的直角坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
33,1， 故线段MN 的中点P
的极坐标为)6
π
. ……5 分 （Ⅱ）因为直线l 上两点M ，N 的直角坐标分别为()0,2，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛332,0，所以直线l 的直角坐标方
程为023=--y x ，又圆C
的圆心坐标为(2,-，半径2r =， 所以圆心到直线l
的距离3
2
d r =
=
<， 故，直线l 与圆C 相交． ……10 分 18.（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)2'()33f x x a =-，
依题意知'(1)0
(1)0
f f -=⎧⎨
-=⎩
解得：12a b =⎧⎨=-⎩
，经检验符合题意. ……4分
（Ⅱ）由（1）知2()33f x x '=-， 令'()0f x =得121,1x x =-=
当(2,1)x ∈--时，()0f x '>，)(x f 在(2,1)--上单调递增， 当()1,1-∈x 时，()0f x '<，故)(x f 在()1,1-∈x 单调递减， 当()2,1∈x 时，()0f x '>，故)(x f 在()2,1∈x 单调递增； 所以，)(x f 在1x =处取得的极小值4-；又(2)4f -=- 所以，当[2,3]x ∈-时，()f x 的最小值为4-.
因此，14m -≤-，所以3m ≤-. ……12分 19.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)因为焦点为(1,0)F ，所以2p =，所以抛物线方程为24y x =.……4分 (Ⅱ)设直线方程为4x my =+.
由244x my y x
=+⎧⎨=⎩，得24160y my --=.
则124y y m +=，1216y y =-. ……8分
212121212(4)(4)4()16x x my my m y y m y y =++=+++
所以，2
12121212(1)4()16x x y y m y y y y +=++++2216(1)16160m m =-+++= 所 以，AB 为直径的圆恒过坐标原点O . ……12分 20.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)1(811182525313745)8x =
⨯+++++++200258
==（万元） )
(40008
32000)
65005500456040003750314024002150(8
1
元==+++++++=y
回归直线1055ˆ+=x b
y 经过样本点的中心(,)x y ，即(25,4000)
所以，105540001055
117.825y b x
--=
== ……6分
（Ⅱ）(ⅰ)价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为：
117.82010553411⨯+=（元）．
(ⅱ)由于该车已出过一次险，若再出一次险，
则保费增加25%，即增加341125%852.75⨯=(元)．
因为852.75>800，所以应该接受建议． ……12分 21.（本小题满分
12分）
解：(Ⅰ)依题意，||MF ==0c >，故2c =. 因为1
2
c e a =
=，故4a =，故22212b a c =-=， 故椭圆的标准方程为22
11612
x y += ………5分
（Ⅱ）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠.
由22
(2),34480
y k x x y =+⎧⎨+-=⎩ 消去y 并整理得2222(34)1616(3)0k x k x k +++-=.易知0∆>，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则22121222
161648
,4343
k k x x x x k k --+==++， ………7分 设00(,)M x y 是线段AB 的中点，则2
0200
28,43
6(2)43k x k k y k x k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=+=
⎪+⎩
线段AB 的垂直平分线的方程为001
()y y x x k
-=-
-， 令0y =，得2200222
862
343434G k k x x ky k k k
-=+=+=-
+++. 因为0k ≠，所以1
02
G x -
<< ………10分 因为11
|||||2|,(,0)22
M G G S FG y x x =⋅=+∈-，
所以，S 的取值范围是3(,2)2
………12分 22. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，
()()()1x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，
当21=
k 时，令()0f x '>，解得2
1
ln <x 或0x >， ………3分 所以()f x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
∞-21ln ,和()0,+∞上单调递增，在⎪⎭
⎫
⎝⎛0,21ln
上单调递减 ………5分 （Ⅱ）由()()()1x
x
x
x
f x e x e kx xe kx x e k
'=+--=-=-()01f =-，
所以①当01k <≤时，令()0f x '>得ln 0x k x <>，或知， 当(),0x ∈-∞时，
()()()()()2
2max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--=--+<⎣
⎦，
此时()f x 无零点； ………6分 当[)0,x ∈+∞时，()01f =-，()2
2
2220f e k e =-≥->，
又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()f x 在[)0,+∞上有唯一的零点， 故函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有唯一的零点， ………8分 ②当1k >时，令()0f x '>得0ln x x k <>，或 当(),lnk x ∈-∞时，()()()max 010f x f x f ≤==-<，
此时()f x 无零点； ………10分 当[)ln ,x k ∈+∞时，()()ln 010f k f <=-<，
()()()22
11
11122k k k k k f k ke k e ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
令()21,122
t
g t e t t k =-=+>，则()(),1t t g t e t g t e '''=-=-，
因为()()2,0,t g t g t '''>>在()2,+∞上单调递增，()()2
220g t g e ''>=->，
所以()g t 在()2,+∞上单调递增，得()()2
220g t g e >=->，即()10f k +>，
所以()f x 在[)ln ,k +∞上有唯一的零点， 故函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有唯一的零点．
综合①②知，当0k >时函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有且只有一个零点． ………12分。