2022-2023学年上海市建平中学高三下学期3月月考数学试卷含详解

上海市建平中学2022-2023学年高三下3月月考数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.
已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥
，则λ=___________.
2.设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数=a _____．
3.4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为_____．
4.
已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为_____．5.已知集合
{
}2{sin ,},20
M y y x x N x x x ==∈=--<R ∣∣，则M N ⋂=_____．
6.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2
cm
.
7.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．
8.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成
[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在
[]90,100这一组中的纵坐标为a ，则该次体能测试成绩的80%分位数约为___________分
.
9.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____．
10.已知F 是椭圆E ：22
221x y a
b +=(0)a b >>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF
=且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为______．
11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面
积，则2
a S 的最小值为______.
12.对于二元函数
(),f x y ，
(){}{}
min max ,x y
f x y 表示
()
,f x y 先关于y 求最大值，再关于x 求最小值.已知平面内
非零向量a ，b ，c ，满足：a b ⊥
，2a c b c a b
⋅⋅=
，记
(),mc b
f m n mc na
-=-
（m ，R n ∈，且0m ≠，0n ≠），则
(){}{}
min max ,m
n
f m n =
______.
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）
13.设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（）
A.αβ⊥，//l β
B.αβ⊥，l β
⊂C.//l n ，n α
⊥ D.m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n
⊥14.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
第x 周
1234
5
治愈人数y （单位：十人）
3
810
14
15
由上表可得y 关于x 的线性回归方程为 1y bx
=+ ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）
A.1-
B.0
C.1
D.2
15.设函数()f x 定义域为R,(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列四个结论错误个数是（）
（1）7324
f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭（2）
(7)f x +为奇函数
（3）()f x 在(6,8)上为减函数（4）()f x 的一个周期为8A.1
B.2
C.3
D.4
16.已知共有(
)
*
k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量()1,n n n c a a += ，(,1)(1,2,,1)n d n n n k =+=-
，若
n n c d =
，则满足条件的数列{}n a 的个数有（
）个．A.2
B.k
C.1
2k - D.
(1)2
2
k k -三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17.已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913
S S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列2n a
n b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
18.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和
30%.
（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？
有出游意愿
无出游意愿合计
青年中年合计附：
()
20P K k ≥0.
050
0.0100.0050.
001
k 3.841 6.635
7.879
10.828
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
19.如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，
120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.
（1）证明：//CF 平面SAB ；
（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.
20.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．
（1）求椭圆E 的方程．
（2）若点(1,0)S ，点T 为椭圆E 上的任意一点，求||TS
的最大值与最小值．
（3）设椭圆E 的下顶点为点A ，若不过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．若M ，N 的横坐标之积是2，证明：直线l 过定点．21.已知函数()e ,()sin cos x f x g x x x ==+．（1）求函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程；（2）已知1x e x ≥+对于x ∈R 恒成立，证明：当4
π
x >-
时，()()f x g x ≥；（3）当
4π
x >-
时，不等式()()()20f x g x ax a +--≥∈R ，求a 的取值范围．
上海市建平中学2022-2023学年高三下3月月考数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥
，则λ=___________.
【答案】4
【分析】由题意可知，a b
和的坐标，结合题中给的(2)a b a -⊥ ，可结合向量的坐标运算完成列式，计算λ.
【详解】因为(1,2),(,3)a b λ== ，所以(2)a b λ-= （2-，1），而(2)a b a -⊥
，所以(2)0a b a -= ，即12-20λ⨯+=（），解得4λ=.
故答案为：4.
2.设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数=a _____．【答案】1
【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解．【详解】复数()()()()1i 1i 11i a a a ++=-++，因为复数()()1i 1i a ++是纯虚数，
所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩
，解得1a =．
故答案为：1．
3.4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为_____．【答案】24
【分析】利用二项展开式的通项公式求出x 的指数为2的项，即得到其系数可求.
【详解】()412x -的展开式中含2x 的项为()2
22
4C 224-=x x ，系数为24．
故答案为：24.
4.
已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为_____．【答案】()2
214
x y +-=【分析】把三个点代入圆的标准方程求解即可.
【详解】设ABC 外接圆的方程为()()2
2
2,0x a y b r r -+-=>，
则有()(
))
()()()222
2222220003a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪⎪
-+-=⎨⎪⎪-+-=⎪⎩
，解得0
12a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则ABC 外接圆的方程为()2
214x y +-=.故答案为：()2
214x y +-=.
5.已知集合{
}
2
{sin ,},20M y
y x x N x x x ==∈=--<R ∣∣，则M N ⋂=_____．
【答案】{}
|11x x -<≤【分析】利用正弦函数的值域与解二次不等式化简集合,M N ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】由正弦函数值域可知{}|11M y y =-≤≤，由220x x --<解得12x -<<，则{}|12N x x =-<<，所以{}|11M N x x =-<≤ .故答案为：{}|11x x -<≤.
6.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2cm .
【答案】300(4+【分析】根据棱柱表面积的求法，结合已知求茶叶盒的表面积.
【详解】由题设，一个底面的面积为11
61010sin 602
S =⨯
⨯⨯⨯︒=2cm ，一个侧面矩形面积为21020200S =⨯=2cm ，
所以茶叶盒的表面积为1226300(4S S +=2cm .
故答案为：300(47.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．【答案】1
2##0.5
【分析】由扇形面积公式先求θ，再根据两角和差的正切公式求得结果.【详解】已知扇形半径为4r =，圆心角为θ，∵扇形面积2211142π222θθ===⋅=S lr r ，∴π
4θ=，
∴()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ
+++===--，解得：1
tan 2ϕ=.
故答案为：12.
8.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，
在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在
[]90,100这一组中的纵坐标为a ，则该次体能测试成绩的80%分位数约为___________分.
【答案】92
【分析】先利用频率分布直方图进行数据分析，求出a ，再套公式求出80%分位数.【详解】由频率分布直方图知0.0350.0200.0140.0040.0020.075++++=，由()100.0751a ⨯+=得：0.025a =.因为0.020.040.140.20.350.75++++=，
所以该次体能测试成绩的80%分位数落在[]90,100内，设其为x ，则由()900.0250.05x -⨯=，解得92x =.故答案为：92.
9.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____．【答案】1
2##0.5
【分析】随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况,根据组合知识求得基本事件的个数后可得概率
【详解】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况.
所求概率为2231
35354
8C C C C 1
C 2
+==P .故答案为：1
2.
10.已知F 是椭圆E ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若
5PF QF =且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为______．
【答案】
21
6
【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||5||PF QF =及椭圆的性质可得3a PF '=
，53
a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，
由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，
则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-= ，||5||PF QF =5||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以3a PF '=
，所以53
a PF =，在PFF ' 中，22
2
2
2
2
14||||1cos 22599533
22a a c PF PF FF FPF a PF PF a '+-+-∠=
==⨯⨯'''，整理，得2221360a c -=，即2
2136e =
，由01e <<解得21
6
e =.故答案为：
21
6
.11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面
积，则2
a S
的最小值为______.
【答案】22
【分析】应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得sin()3sin cos B C A A +=，根据三角形性质有1cos 3
A =，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最小值，注意取最小值的条件.【详解】由题设及正弦定理边角关系，sin cos sin cos 3sin cos
B
C C B A A +=，即sin()3sin cos B C A A +=，而A B C π++=，故sin 3sin cos A A A =，又sin 0A ≠，则1cos 3A =
，故22sin 3
A =，而2
2
2
2
2
22cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-
，12sin 23
bc
S bc A ==，所以2223()262222a S bc bc =≥=，当且仅当b c =时等号成立，故2
a S
的最小值为22.故答案为：22
12.对于二元函数(),f x y ，()
{
}{
}min max ,x
y
f x y 表示(),f x y 先关于y 求最大值，再关于x 求最小值.已知平面内
非零向量a ，b ，c ，满足：a b ⊥
，2a c b c a b ⋅⋅=
，记(),mc b f m n mc na -=- （m ，R n ∈，且0m ≠，0n ≠），则(){}{}
min max ,m
n
f m n =______.
【答案】2
【分析】记a OA = ，b OB = ，c OC =
，构建直角坐标系，根据向量几何意义判断OC 所在直线的斜率，设(),0A a ，()0,B b ，,2c C c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，结合函数的定义、数形结合思想研究相关向量的模长随点的变化情况，进而求目标式的值.
【详解】记a OA = ，b OB = ，c OC = ，则2a c b c a b
⋅⋅= 表示OC 在OA 上的投影恰为OC 在OB
上的投影的两倍，即射线OC 的斜率为1
2.
设(),0A a ，()0,B b ，,2c C c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
记mc OD = ，na OE =
，则mc b BD -= ，mc na ED -= ，
所以(),mc b BD
f m n mc na ED
-==- .先让m 不变，n 变化，即点D 固定，点E 变化，那么()0,mc b BD BD
f m n mc na ED E D -==≤-
，其中0E D OA ⊥，接着再让m 变化，即点D 变化，求0BD
E D
的最小值.因为
02BD E D
=
，当且仅当4c b =时取得等号.
综上，()
{
}{
}min max ,2m
n
f m n =.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：利用向量几何意义，构建直角坐标系并设A 、B 、C 的坐标，根据函数新定义、数形结合思
想将问题转化为两向量模长的比值，讨论动点位置变化对向量模长的影响确定目标式的值.
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）
13.设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（）
A.αβ⊥，//l β
B.αβ⊥，l β
⊂C.//l n ，n α⊥ D.m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n
⊥【答案】C
【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l ⊂
α、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误；
对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误；
对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确；对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误.故选：C .
14.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
第x 周
1234
5
治愈人数y （单位：十人）
3
810
14
15
由上表可得y 关于x 的线性回归方程为 1y bx
=+ ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）
A .
1
- B.0C.1 D.2
【答案】A
【分析】将样本中心点()
,x y 的坐标代入回归直线方程，求出b
的值，可得出回归直线方程，再将5x =代入回归直线方程，用15减去所得结果即可得解.【详解】由表格中的数据可得1234535x ++++=
=，38101415
105
y ++++==，
由于回归直线过样本的中心点，则3110b += ，解得3b = ，回归直线方程为 31y x =+，
将5x =代入回归直线方程可得 35116y =⨯+=，因此，第5周的残差为15161-=-.故选：A.
15.设函数()f x 定义域为R,(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2
()1f x x =-+，则下列四个
结论错误个数是（）
（1）7324
f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）
(7)f x +为奇函数
（3）()f x 在(6,8)上为减函数
（4）()f x 的一个周期为8A.1 B.2
C.3
D.4
【答案】A
【分析】由()()11f x f x --=--、()()11f x f x -+=+可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫
⎪⎝⎭
、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案．【详解】由题设，()()11f x f x --=--，则()f x 关于()1,0-对称，所以()()1111f x f x ⎡⎤---=---⎣⎦，即()()2f x f x -=--，则()()222f x f x ⎡⎤--=---⎣⎦，即()()24f x f x -=--，由()()11f x f x -+=+，则()f x 关于1x =对称，
所以()()1111f x f x ⎡⎤--+=-+⎣⎦，即()()2=f x f x -，
综上，()()4f x f x =--，则()()()4448f x f x f x -=---=--，故()()8f x f x =-，即()()8f x f x =+易知()f x 的周期为8，所以(4)正确；
77311132112222224f f f f f f
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-=-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以(1)正确；由()()17f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，所以(2)正确；由()1,0x ∈-时，()2
1f x x =-+递增，则()7,8x ∈时，()f x 递增，所以(3)错误．
故选：A ．
16.已知共有
()
*
k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量()1,n n n c a a += ，(,1)(1,2,,1)n d n n n k =+=- ，若n n c d =
，则满足条件的数列{}n a 的个数有（
）个．A.2 B.k
C.1
2k - D.
(1)2
2
k k -【答案】C
【分析】通过向量的模相等，推出n a 与1n a +的关系，通过递推关系式，推出2
2
2
2
11n a a n =-+，n 为奇数，
222222n a a n =-+，n 为偶数，然后判断满足条件的数列{}n a 的个数．
【详解】解：由||||n n c d = ，可知，2222
1(1)n n a a n n ++=++，
即(
)22
22
1(1)n n a a n n
+-+=--，
则2
2
2
2
11(1)(1)n n a n a n +--+=--，推得2
2
2
2
11,n a a n n =-+为奇数
222222,n a a n n =-+为偶数
另外由11c d =可以得出21a =或1
-
由上可看出，2
n a 有唯一解，
所以n a 有互为相反数的两解（除了已知的1a ）故n a 个数为12k -．故选：C ．
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，向量的模的求法，考查计算能力．
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17.已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913
S S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列2n a
n b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）2n a n =；（2）12
44
33
n n n +++-.【分析】（1）由953S S =，应用等差数列前n 项和、等差中项公式得510a =，结合已知求基本量，进而写出{}n a 的通项公式；
（2）由（1）得24n
n c n =+，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求n T .【小问1详解】由题设953S S =，则
19159()5()
322
a a a a ++=⨯，即533530a a ==，所以510a =，而36a =，易得2d =，则12a =，故1(1)2n a a n d n =+-=.【小问2详解】由（1）知：22
4n
n n b ==，则24n n c n =+，
所以11
2
2
(1)4(14)442(12...)(44...4)221433
n n n
n n n T n n n ++-=+++++++=⨯
+=++--.18.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.
（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？
有出游意愿
无出游意愿合计
青年中年合计附：
()
20P K k ≥0.0500.0100.0050.0010
k 3.841
6.635
7.879
10.828
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
【答案】（1）分布列见解析，
3
5
；（2）表格见解析，不能.【分析】（1）由题得样本中“00后”员工8人有出游意愿，2人无出游意愿，再写出X 的所有可能取值和对应的概率，即得X 的分布列和数学期望；
（2）结合已知完成22⨯列联表，再利用独立性检验求解.
【详解】解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数110010%10n =⨯=人，.由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，
从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X 的所有可能取值为0，1，2，.
()383107015C P X C ===，()21823107115C C P X C ===，()12
823101
215
C C P X C ===，
随机变量X 的分布列为
X 012
P
715
7
15115
.
随机变量X 的期望()77130121515155
E X =⨯
+⨯+⨯=.（2）由题知，样本中中年员工占比为110%30%60%--=，人数210060%60n =⨯=人，青年员工人数
310040%40n =⨯=人，.
结合图3得到如下22⨯列联表，
有出游意愿
无出游意愿
合计青年301040中年402060合计
70
30
100
.
假设“有出游意愿与年龄段无关”，则
()2
1003020401050
0.794 3.84170304060
63
k ⨯⨯-⨯=
=
≈<⨯⨯⨯，.∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.
19.如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，
120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.
（1）证明：//CF 平面SAB ；
（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；
（2）
5
.【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面SAB 的法向量，再利用0CF n ⋅=
即可求解；
（2）根据（1）的结论，求出平面SAD 的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解；【小问1详解】
过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，以DC ，DE ，DA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.
如图所示
因为120SDC ∠=︒，所以30SDE ∠=︒,又2SD =，所以点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3，则有
(
)()
()()()130,0,0,,0,0,2,2,0,0,2,0,1,,,022D S A C B F ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
,
所以(
)()
532,0,1,2,,,0,
22AB AS CF ⎛⎫
=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭
设平面SAB 的法向量为(),,n x y z =
，则
n AB n AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩
，即2020x z x z -⎧=-+-=⎪⎨⎪⎩
，令x =
5,y z ==，
所以n =
，
所以550022CF n ⎛⎫⋅=-+⨯ ⎪⎝⎭
，即CF n ⊥ ，
又CF ⊄平面SAB ，所以//CF 平面SAB .【小问2详解】
由（1）知，平面SAB
的法向量为n =
，(
)()
0,0,0,,
D S -()0,0,2,A 所以(
)(
)0,0,2,1,2,
AD AS =-=--
设平面SAD 的法向量为()111,,m x y z =
，则
m AD m AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=
，即11112020z x z -=-+-=⎧⎪⎨⎪⎩
，令1x =111,0y z ==，
所以)
m =
，
设平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角为θ，则
10
cos cos,
5
m n
m n
m n
θ
⋅
=<>==
.
所以平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为
10
5.
20.已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
E a b
a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
（1）求椭圆E的方程．
（2）若点(1,0)
S，点T为椭圆E上的任意一点，求||
TS
的最大值与最小值．
（3）设椭圆E的下顶点为点A，若不过点A且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于P，Q两点，直线AP，AQ分别与x轴交于M，N两点．若M ，N的横坐标之积是2，证明：直线l过定点．
【答案】（1）
2
21
4
x y+=
（2）最小值是
6
3，最大值是3
（3）证明见解析
【分析】（1）根据给定的条件，列出关于a b
，的方程，求出a b
，即可得到椭圆方程；
（2）设()
00
,
T x y，由()1,0
S得：()
00
1,
TS x y
=--
，再根据两点间的距离公式及点()
00
,
T x y在椭圆上，转化为二次函数的最值问题求解即可；
（3）设直线l的方程为()
0,1
y kx m k m
=+≠≠-，()()
1122
,,,
P x y Q x y，求出M，N两点的横坐标，再联立l与E 的方程，通过韦达定理运算求解，即可求出m的值，从而可得直线的定点坐标．
【小问1详解】
依题意，2
a
b
=，故椭圆E方程为：
22
22
1
4
x y
b b+=，
又椭圆E过
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，于是有
22
1
341
4b b+=
，解得22
1,4
b a
==，
所以椭圆E的方程为
2
21
4
x y+=
；
【小问2详解】
设()
00
,
T x y，由()1,0
S得：()
00
1,
TS x y
=--
，
因为点(
)
00
,
T x
y在椭圆上，所以22
1
4
x y+=
，
所以
TS==
==
因为0
22
x
-≤≤，所以，当
4
3
x=时，TS
有最小值为
6
3，
当02x =-时，TS
有最大值为3；
【小问3详解】
由（1）知()0,1A -，依题意，设直线l 的方程为()0,1y kx m k m =+≠≠-，
()()1122,,,P x y Q x y ，直线AP 的方程为11
1
1y y x x +=
-，令0y =，得点M 的横坐标为1
11
M x x y =+，同理得点N 的横坐标为2
21
N x x y =
+，由22
44y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得，()222418440k x kmx m +++-=，()()
222264441440k m k m ∆=-+->，即2241m k <+，122841km x x k -+=+，2122
44
41
m x x k -=+，因此，()()()()
1212
12121111M N x x x x x x y y kx m kx m =
=
++++++()()()
12
2
2121211x x k x x k m x x m =
+++++()()222
222244412448114141m k m km k k m m k k -+==--⎛⎫⋅++++ ⎪
++⎝⎭
，即
()4121
m m -=+，解得3m =，
直线l 的方程为3y kx =+，l 过定点()0,3，所以直线l 过定点()0,3．21.已知函数()e ,()sin cos x f x g x x x ==+．（1）求函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程；（2）已知1x e x ≥+对于x ∈R 恒成立，证明：当4
π
x >-时，()()f x g x ≥；（3）当4
π
x >-
时，不等式()()()20f x g x ax a +--≥∈R ，求a 的取值范围．【答案】（1）1y x =+（2）证明见解析
（3）答案见解析
【分析】（1）先求出()y g x =的导数，将点(0,1)横坐标代入导数求出切线的斜率，再写出切线的方程；（2）可设函数()()()x f x g x ϕ=-，借助导数，将区间分为π
04
x -＜＜和0x ≥分别研究函数的单调性，然后进
行判断，通过放缩即可完成证明；
（3）构造函数()e sin cos 2x
G ax x x x +-=-+，利用()00G =得到()00G '=，从而求得参数的值，然后验证
当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点即可.【小问1详解】
已知()sin cos g x x x =+，则()cos sin '=-g x x x ，切线的斜率(0)1k g '==，
所以函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程为1y x =+.【小问2详解】
由已知，()e x
f x =，()sin cos
g x x x =+，
令()()e π(4))x
f x
g x x x ϕ-+
==，所以()π
e )4
x x x ϕ'=-+，()00ϕ=
①当π
04x -＜＜时，ππ44x +0＜＜，所以π
)4
x +，而e 1x ＜，
则()πe )04
x
x x ϕ'=+
＜，所以，函数()x ϕ在)π
(,04-上单调递减，故()()00x ϕϕ=＞；
②当0x ≥时，构造函数()sin m x x x =-，()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在区间[)0,∞+上单调递增，()()00m x m ≥=，即sin x x ≥.由（1）e 1x x ≥+，所以
当0x ≥时，()e sin cos e 10ϕ=--≥--≥x
x
x x x x ，当且仅当0x =时等号成立，
综上所述，对任意4
π
x >-时，()()f x g x ≥.【小问3详解】当4
π
x >-
时，不等式sin cos e 20x x x ax ++--≥（a ∈R ），不妨设()e sin cos 2x
G ax x x x +-=-+，即()0G x ≥，因为()0G x ≥且()00G =，所以当0x =时，()G x 取得最小值.
由于函数()G x 为可导函数，()π
e 4
x
G x a x '=+
-，
则0x =为函数()G x 的极小值点，故()π
01204
G a a '=+-=-=，解得2a =，下面证明当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点，由（2）问可知，当4
πx >-
时，()e cos sin 2x
x G x x '=+--，令()e cos sin 2x
h x x x =+--，所以()()e sin co 0s x
h x x x x ϕ'=--≥=，
故函数()G x '在π,4∞⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
上单调递增，因为()00G '=，所以当π04
x -＜＜时，()()00G x G ''=＜，当0x ≥时，()()00G x G ''=＞，所以函数()G x 在π,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减，在)(0,∞+上单调递增，所以0x =为函数()G x 的极小值点，满足题意.综上所述，2a =.
【点睛】含有指数或对数函数的不等式恒成立问题方法点睛：在证明不等式恒成立的题目中，可借助“e 1x
x ≥+”
或“ln 1≤-x x ”等切线放缩，帮助我们将复杂关系变得简单，从而能够完成整体的证明.。