8.2线性变换的运算一、加法及其算律

8.2 线性变换的运算
V 是数域F 上的向量空间，用()L V 表示数域F 上向量空间V 的一切线性变换所成的
集合.我们将在()L V 中引进加法、数乘和乘法.如何研究线性变换：
注10第一个手段是对某空间V 的全体线性变换的集合()L V 引进运算：加法、数
乘和乘法。

这样()L V 构成F 上的向量空间。

我们可以利用这些运算来研究线性变换。

20第二个手段。

在空间给定一个基，在该基下引入线性变换的矩阵，从而把空间的
几何对象“线性变换”与数量对象“矩阵”进行了对应。

在解析几何中，点与坐标的对
应称为“形”“数”转换，现在的线性变换与矩阵的对应是更广义的“形”“数”转换。

这种转换有两方面的好处：一方面可把向量空间与线性变换的一些问题转换为数字计算
的问题；另一方面可把一些数量关系的问题联系上空间的性质（如线性变换的性质）而
得到解决。

一、加法及其算律
定义8.2.1 设()L V στ∈，，对于V 的每一向量ξ，令()()+στξξ与之对应，这
样得到V 的一个变换，叫做σ与τ的和，记作+στ，即
+στ：()()+στξ
ξξ或()()()()+=+στστξξξ.
求σ与τ的和的运算叫做σ与τ的加法.
注10先定义和，再定义加法，()()+στξξ是V 中的向量。

+στ应看做一个整体，代表V 的一个新变换。

例8.2.1 设向量空间3
F 的两个线性变换，对任意的()3123=x x x F ∈，，ξ，规定： ()()1231212=+x x x x x x x σ，，，，，
()()123123312=+0x x x x x x x x x τ---，，，，，
则()()()12312323=2x x x x x x x x στ+-，，+，，.
命题1 V 的线性变换σ，τ的和+στ也是V 的一个线性变换.即()L V στ∀∈，，
()+L V στ∈。

事实上，对任意的a b F ∈，，V ∈，ξη，
()()()()
()()()()
()()()()()()()()()()()()+=.
a b a b a b a b a b a b a b a b στστσσττστστστστστστ+=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+++++++++++ξηξηξηξηξηξξηηξξηηξη
所以+στ是V 的一个线性变换.
容易证明，线性变换的加法满足交换律和结合律.对任意的()L V ρστ∈，，，
（1）+=+σττσ；
（2）()()++=++ρστρστ；
（3）令θ表示V 的零变换，对任意的()L V σ∈，有
+=θσσ；
（4）设()L V σ∈，σ的负变换σ-是指V 到自身的映射
()σσ--：ξξ.
σ-也是V 的线性变换，并且
()+σσθ-=.
命题2 σ-也是V 的线性变换。

利用负变换，我们定义线性变换σ与τ的差
()+στστ-=-.
这样，在()L V 里，减法是加法的逆运算，减法运算可以实施.
二、数乘及其算律
定义8.2.2 设()k F L V σ∈∈，，对于V 的每一向量ξ，令()k σξ与之对应，这样得到V 的一个变换，称为数k 与线性变换σ的乘积（简称数乘），记作k σ，即
()k k σσ：ξξ或()()()=k k σσξξ.
求数k 与线性变换σ的乘积的运算叫k 与σ的乘法.
注10应把k σ看做一个整体，()k V σ∈ξ。

命题3 k σ也是V 的一个线性变换.
事实上，对任意a b F ∈，及V ∈，ξη，
()()()
()()()()()
()()()()=.
k a b k a b k a b ak bk a k b k σσσσσσσσ===+++++ξηξηξηξηξη 所以，k σ是V 线性变换.
容易证明下列算律成立：
（5）()+=+k k k στστ；（数乘分配律）
（6）()=k l k l σσσ++；（数乘分配律）
（7）()()()==kl k l l k σσσ；（数乘交换律结合律）
（8）1=σσ.（单位性）
其中k l ，是F 中的任意数，σ，τ是V 的任意线性变换.
至此，我们定义了线性变换的加法和数乘运算，而且这两种运算封闭且满足向量空间的
八条运算公理.
定理8.2.1 ()L V 对于上面定义的加法和数乘运算作成数域F 上的向量空间.
三、乘法及其算律
设σ，()L V τ∈，对任意V ∈ξ，()τξ是V 中唯一确定的向量，因此()()
στξ仍是V 中唯一确定的向量.
定义8.2.3 设σ，()L V τ∈，对任意V ∈ξ，规定()()
στξ与之对应，我们得到V 的
一个变换，称为σ与τ的积，并且记作στ.即 ()()στστ：ξξ或()()()()=στστξξ.
求线性变换σ与τ的积的运算称为σ与τ的乘法.
注10σ与τ的积实质上就是τ与σ的复合映射.
命题4 στ是V 的一个线性变换.
事实上，对任意的a b F ∈，及V ∈，ξη，
()()()()
()()()()()()()
()()()()=.
a b a b a b a b a b στστσττστστστστ===+++++ξηξηξηξηξη
所以，στ是V 的一个线性变换.
()L V 的乘法运算满足算律：
（9）()ρστρσρτ+=+；（乘法对加法的分配律——右乘分配律）
（10）()στρσρτρ+=+；（乘法对加法的分配律——左乘分配律）
（11）()()a a στστ=.（数乘结合律）
对于任意a F ∈，()L V ρστ∈，，成立.
我们只验证一下等式（9），其余两个等式可以类似地验证.
设V ∈ξ，我们有
()()()()()
()()()
()()()()()()()()
()().
ρστρστρστρσρτρσρτρσρτ+=+=+=+=+=+ξξξξξξξξξ
因而（9）成立.
注意10线性变换的乘法不满足交换律.在()L V 中，=στθ（θ是零变换），不能推出
=σθ或=τθ，因此由()=στσρσθ≠，也不能得出=τρ，即线性变换的乘法不满足消去
律.
线性变换的乘法满足结合律：对任意的()L V ρστ∈，，，都有
（12）()()=ρστρστ.（乘法结合律）
四、幂与多项式
根据乘法结合律，可以合理地定义一个线性变换σ的n 次幂
=n σσσσ.
这里n 是正整数.
令ι表示V 的单位变换.规定 0=σι.
这样，一个线性变换的任意非负整数幂有意义.进一步推出
()+=m
n m n m n nm σσσσσ=，.
设
()01++n n f x a a x a x =+
是F 上一个多项式，而()L V σ∈，以σ代替x ，以0a ι代替0a ，得到V 的一个线性变换
01++n n a a a ισσ+，
这个线性变换叫做当x σ=时()f x 的值或线性变换σ的多项式，并记作()f σ.因为对任意
的V ∈ξ，()00a a ι=ξξ，我们也将0a ι简记作0a ，这时可以写成 ()01++n n f a a a σσσ=+
这样σ就可以作为数参与运算.如果()()[]f x g x F x ∈，，并且
()()()u x f x g x =+，
()()()v x f x g x =.
那么根据()L V 中运算所满足的性质，我们有
()()()u f g σσσ=+，
()()()v f g σσσ=.
最后，如果线性变换σ有逆映射1σ
-，则1σ-也是线性变换.叫做σ的逆变换，这时σ就
叫做可逆的或非奇异的.我们有 11σσσσι--==（单位变换）.
例8.2.2 设σ是n 维向量空间V 的线性变换，12n ，，，ααα是V 的一个基，σ可逆的充要条件是()()()12n σσσ，，，ααα是V 的一个基.
证明 充分性.对任意的V ∈ξ，设()1n i i i a σ==∑ξα，定义()1
n i i i a τ==∑ξα.容易验证τ
是V 的一个线性变换，且有σττσι==（单位变换），所以σ是可逆线性变换.
必要性. 如果()1=n i i
i a σ=∑0α成立，由σ可逆知，存在1σ-，用1σ-作用上式两端可得
1=n i i
i a =∑0α，因12n ，，，ααα线性无关，所以()012i a i n ==，，，，从而
()()()12n σσσ，，，ααα线性无关，因而构成V 的一个基.。