四川省成都市双流区2017-2018学年高二数学4月月考试题理

现证明 2ln x
x
1 (x
1) .
x
构造函数 G( x) x 1 2ln x (x x
1) ，
则 G '(x)
1
1 x2
2 x
x2 2x 1
x2
0.
n1 n
n . (*) n1
∴函数 G (x) 在 [ 1, ) 上是增函数，即 G (x) G (1) 0 .
∴当 x 1时，有 G ( x)
0 ，即 2ln x
(2) 若 g( x) － f ( x) ＝ 0 有两个相异的实根，即 g( x) ＝f ( x) 中函数 g( x) 与 f ( x) 的图象有 e2
两个不同的交点，作出 g( x) ＝ x＋ x ( x>0) 的图象． ∵ f ( x) ＝－ x2＋ 2ex＋ m－ 1＝－ ( x－ e) 2＋ m－ 1＋e2. 其对称轴为 x＝e，开口向下，最大值为 m－1＋ e2. 故当 m－ 1＋ e2>2e，即 m>－e2＋2e＋ 1 时，
5.024
6.635
10.828
19. （本题满分 12 分）
已知函数
f ( x) ＝－
x2＋
2ex
＋
m－
1
，
g(
x
)
＝
x＋
e2 x
(
x>0) ．
( Ⅰ) 若 g( x) ＝ m有实根，求 m的取值范围； （Ⅱ）确定 m的取值范围，使得 g( x) － f ( x) ＝ 0 有两个相异实根 .
3
20. （本题满分 12 分）
x
1
成立 .
x
n1
令x
，则 (*) 式成立 .
n
综上，得
1
ln 2 n 1
1
.
( n 1)(n 2)
n n(n 1)
对数列
1
， ln 2 n 1 ，
1
分别求前 n 项和，得
）
A．（ 2， ）
B
．（ 2， ）
C
．（ 2，
） D ．（ 2， ）
3．化极坐标方程 2 cos 2 0 为直角坐标方程为（
）
A． x 2+y2=0 或 y=2
B
． x=2
C
． x 2+y2=0 或 x=2
D
4. 函数 f ( x) ＝ ln(4 ＋ 3x－ x2) 的单调递减区间是 ( )
A.
3
,
2 ． －3， 0
12．过点 M(2 ，－ 2p) 作抛物线 x2 ＝2py( p＞0) 的两条切线，切点分别为 中点的纵坐标为 6，则 p 的值是（ ）．
A， B，若线段 AB的
A． 1
B.2
C.1
或2
D.-1
或2
第Ⅱ卷（ 90 分）
二. 填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分）
（Ⅱ）若 Q 是曲线 C 上的动点， M 为线段 PQ 的中点 . 求点 M 到直线 l 的距离的最大值 .
4
23. 选修 4-5 ：不等式选讲
已知函数 f ( ຫໍສະໝຸດ ) 2x 1 x 1 .( Ⅰ) 解不等式 f ( x) 3 ；
（Ⅱ）记函数
f ( x) 的最小值为 m ，若 a ， b ， c 均为正实数，且
进行统计，其频率分布表如下 .
分组
频数
频率
分组
频数
频率
[135,150]
8
0.08
[135,150]
4
0.04
[120,135)
17
0.17
[120,135)
18
0.18
[105,120)
40
0.4
[105,120)
37
0.37
2
[90,105) [75,90) [60,75)
总计
21
0.21
12
18. 解：（Ⅰ）理科数学成绩的频率分布表中，成绩小于
105 分的频率为 0.35<0.5 ，
成绩小于 120 分的频率为 0.75>0.5 ，
故理科数学成绩的中位数的估计值为
15 (0.5 0.35)
105
110.625
0.40
分．
（Ⅱ）根据数学成绩的频率分布表得如下列联表：
数学成绩 ≥120 分
，
所以过点 且垂直于
的直线 过 的左焦点 .
21. 解：（ 1）由 f (x) 0 ，得 x ln x ax 1 0 ( x 0) .
整理，得
1 a ln x 恒成立，即
a
x
令 F (x)
ln x
1 . 则 F '(x)
x
1 x
1 x2
1 (ln x ) min .
x x1 x2 .
∴函数 F ( x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增 .
21. 已知函数 f ( x) x ln x ax 1， a R .
( Ⅰ) 当时 x 0 ，若关于 x 的不等式 f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围；
（Ⅱ）当 n N * 时，证明：
n
ln 2 2 ln 2 3
2n 4
2
ln 2 n 1
n
.
n n1
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22. 选修 4-4 ：极坐标与参数方程
B.2
条
C.3
条
D.4
条
9. 若不论 k 为何值，直线 y k(x 2) b 与曲线 x2 y2 1总有公共点，则 b 的取值范围
是（ ）
A. ( 3, 3)
B.
3, 3 C. ( 2,2) D.
2,2
10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是 么这个三棱柱的体积是 ( )
g( x) 与 f ( x) 有两个交点，即 g( x) － f ( x) ＝0 有两个相异实根． ∴ m的取值范围是 ( － e2＋ 2e＋ 1，＋∞ ) ．
20. 解：（ 1）设
，
，则
由
得
因为
在 上，所以
（2）由题意知
设
. 因此点 的轨迹方程为 ，则 ，
由
得
又由（ 1）知
，故
所以
，即
.
又过点 存在唯一直线垂直于
合计
理科 文科
合计 （Ⅲ）设文理科数学成绩相互独立，记
分”，估计 A 的概率 .
A 表示事件“文科、理科数学成绩都大于等于
200 120
附： K 2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d )
P( K 2 k0 )
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
13. 动圆过点 (1,0) ，且与直线 x = - 1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为
ln x 2
14. 函数 f ( x)
在 x 1 处的切线方程为 ____________.
x
____________.
15. 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 不等式 f x c2
2 与 x 1 时都取得极值，若对 x 3
解的个数至少是 ( )
A． 5
B
．4
C
．3
D
．2
7. 直线 y x b 与抛物线 x2 2 y 交于 A、B 两点，O为坐标原点， 且 OA OB ，则 b （ ）
A. 2
B. 2
C. 1
D. 1
8. 若直线 l 过点 (3,0) 与双曲线 4x2 9y2 36 只有一个公共点，则这样的直线有（
）
A.1 条
数学成绩 <120 分
合计
理科
25
75
100
文科
22
78
100
合计
47
153
200
K2 200 (25 78 75 22)2 0.250 2.706
100 100 47 153
，
故没有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关． （Ⅲ）记 B表示“文科数学成绩大于等于 120 分”，C表示“理科数学成绩大于等于 120 分”， 由于文理科数学成绩相互独立，
1 a
b
2c
m ，求
2
a 2 b2 c 2 的最小值 .
5
2018 年春期四川省双流中学高二年级四月月考 数学（理科）答案
1-6 ABCDDB 7-12 ACBDBC
13. y 2 4x ; 14.
x y 3 0 ; 15.
17.. 解： (1) f ′（x) ＝ ex( ax＋ a＋b) － 2x－4，
17．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) ＝ ex( ax＋ b) － x2－4x，曲线 y＝ f ( x) 在点 (0 ， f (0)) 处的切线方程为 y＝
4x＋ 4．
( Ⅰ) 求 a，b 的值；
( Ⅱ) 讨论 f ( x) 的单调性．
18．（本小题满分 12 分）
某校进行文科、 理科数学成绩对比， 某次考试后， 各随机抽取 100 名同学的数学考试成绩
2
设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： x 2
y2 1上，过 M 作 x 轴的垂线，
垂足为 N ，点 P 满足 NP 2 NM . ( Ⅰ) 求点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）设点 Q 在直线 x 3 上，且 OP PQ 1. 证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .
B.
3 ,
2
2
C.
3 1,
D.
3 ,4
2
2
5. 点 ( 2a, a 1) 在圆 x2 y2 2y 4 0 的内部，则 a 的取值范围 ( )
．y=2
A ．－ 1< a <1 B ． 0< a <1 C ．– 1< a < 1 5
D ．－ 1 < a <1 5
6．f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 f (2) ＝ 0，则方程 f ( x) ＝0 在区间 (0,6) 内
1,2 ，
恒成立，则 c 的取值范围为 ______。
16. 已知函数 f ( x) x3 1 sin x 3x ，对于任意 x R 都有 f ( x2 3x) f ( x 2k ) 0 2
恒成立，则 k 的取值范围是
.
三. 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）
n n(n 1)
由（ 1），当 a
1时，有 x ln x
x1
0 ，即 ln x
x
1
.
x
n1
n1
n
1
令x
1，即得 ln
1
.
n
n
n1 n1
∴ ln 2 n 1 ( 1 ) 2
1
1
1.
n n 1 (n 1)(n 2) n 1 n 2
现证明
2
ln
n
1
1，
n n(n 1)
n1 即 2ln
n
1 nn1
n1 n n n1
0.12
2
0.02
100
1
理科
[90,105) [75,90) [60,75)
总计
31
0.31
7
0.07
3
0.03
100
1
文科
（Ⅰ）根据数学成绩的频率分布表，求理科数学成绩的中位数的估计值；
（Ⅱ）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有
90%的把握认为数学成绩与文理科有
关：
数学成绩 120 分
数学成绩 120 分
. 作答时，用 2B 铅
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x 2 3 cos ，其中 为参数， y 2sin
(0, ) . 在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为
(4 2, ) ，直线 l 的极坐标方程为 sin(
) 5 2 0.
4
4
( Ⅰ) 求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；
所以 A 的概率 P( A) P (BC ) P(B) P(C) 0.22 0.25 0.055 ．
6
2
19.(
本小题满分 12 分 ) 解
e (1) ∵ g( x) ＝ x＋ ≥ 2
e2＝ 2e，
x
等号成立的条件是 x＝ e. 故 g( x) 的值域是 [2e ，＋∞ ) ，
因而只需 m≥ 2e，则 g( x) ＝ m就有实根．
∴函数 F (x)
ln x
1 的最小值为 F (1) 1 .
x
∴ a 1 ，即 a 1 .
7
∴ a 的取值范围是 [ 1, ) .
（2）∵ n 为数列
1
的前 n 项和， n 为数列
1
的前 n 项和 .
2n 4
(n 1)(n 2)
n1
n(n 1)
∴只需证明
1
2n 1 ln
1 即可 .
( n 1)(n 2)
由已知得 f (0) ＝ 4， f ′(0) ＝ 4，故 b＝ 4，a＋ b＝ 8．
从而 a＝ 4， b＝4．
(2)
由(1)
知，
f
(
x)
＝
x
4e (
x＋
1)
－
x2－
4x
，
16. 2,
f ′（x) ＝ 4ex( x＋ 2) － 2x－4＝ 4( x＋2) · ex 1 ． 2
令 f ′（x) ＝ 0 得， x＝－ ln 2 或 x＝－ 2． 当 x∈( －∞，－ 2) ∪( － ln 2，＋∞ ) 时， f ′（x) ＞ 0；当 x∈( － 2，－ ln 2) 时， f ′（x) ＜0． 故 f ( x) 在 ( －∞，－ 2) ，( － ln 2 ，＋∞ ) 上单调递增，在 ( － 2，－ ln 2) 上单调递减．
32
，那
3
1
A. 96 3
B.
16 3
C.
24 3
D.
48 3
11．直线 y＝ kx＋ 3 与圆 ( x－ 2) 2＋ ( y－ 3) 2＝4 相交于 M， N 两点，若 | MN| ≥２ 3，则 k 的取
值范围是 ( )
3 A． － 4， 0
33 B ． － 3， 3
C． [ － 3， 3] D
四川省成都市双流区 2017-2018 学年高二数学 4 月月考试题 理
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 .
1．复数
=（ ）
A． i
B
．1 i
C
．i
D
．1 i
2．点 M的直角坐标为 ( 3, 1) 化为极坐标为（