人教版初二数学上试卷新 数 第十三章第一节线段垂直平分线的性质课

初中数学试卷
新人教版数学八年级上册第十三章第一节线段垂直平分线的性质课
时练习
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于线段AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若△ADC 的周长为10，AB ＝7，则△ABC 的周长为（ ）
A ．7
B ．14
C ．17
D ．20
答案：C
知识点：线段垂直平分线的性质 作图—基本作图
解析：
解答：∵在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，∴MN 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∵△ADC 的周长为10，∴AC ＋AD ＋CD ＝AC ＋BD ＋CD ＝AC ＋BC ＝10，∵AB ＝7，∴△ABC 的周长为：AC ＋BC ＋AB ＝10＋7＝17．
分析：首先根据题意可得MN 是AB 的垂直平分线，即可得AD ＝BD ，又由△ADC 的周长为10，求得AC ＋BC 的长，则可求得△ABC 的周长．
2．如下图，在ACB △Rt 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC ＝9，则AE 的值是（ ）
A．6 B．4 C．6 D．4
答案：C
知识点：线段垂直平分线的性质含30度角的直角三角形角平分线的定义
解析：
解答：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA＝EB，∴∠A＝∠ABE，∴∠CBE＝30°，∴BE＝2EC，即AE＝2EC，而AE＋EC＝AC＝9，∴AE＝6．
分析：由角平分线的定义得到∠CBE＝∠ABE，再根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，则∠A＝∠ABE，可得∠CBE＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE＋EC＝AC＝9，即可求出AC．
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
答案：B
知识点：线段垂直平分线的性质
解析：
解答：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB＝PA，而已知线段PA＝5，∴PB＝5．
分析：由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB＝PA，而已知线段PA＝5，由此即可求出线段PB的长度．
4．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）
A．80°B．60° C．40°D．20°
答案：B
知识点：线段垂直平分线的性质等腰三角形的性质
解析：
解答：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝80°，∵DE是线段AB垂直平分线的交点，∴AE＝BE，∠A＝∠ABE＝20°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°．故选B．
分析：先根据△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE＝BE，即∠A＝∠ABE＝20°即可解答．
5．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：
甲：作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
答案：D
知识点：线段垂直平分线的性质
解析：
解答：甲错误，乙正确．∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC＝BC，∠A＝∠B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝EB，∵AD＝DC，EB＝CE，∴AD＝DC＝EB＝CE．故选D．
分析：先根据直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，判断出△ABC 是等腰三角形，即AC ＝BC ，再根据线段垂直平分线的性质作出两点D 、E ，使得AD ＝DC ＝CE ＝EB ．
6．如图，在ABC △Rt 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．AE ＝BE
B ．A
C ＝BE C ．CE ＝DE
D ．∠CA
E ＝∠B
答案：B
知识点：线段垂直平分线的性质 角平分线的性质
解析：
解答：根据线段垂直平分线的性质，得AE ＝BE ，故A 选项正确；因为AE ＞AC ，AE ＝BE ，所以AC ＜BE ，故B 选项错误；根据等角对等边，得∠BAE ＝∠B ＝30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC ＝60°，则∠CAE ＝∠BAE ＝30°，根据角平分线的性质，得CE ＝DE ，故C 选项正确；根据C 的证明过程，故D 选项正确．
分析：根据线段垂直平分线的性质，得AE ＝BE ；根据等角对等边，得∠BAE ＝∠B ＝30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC ＝60°，则∠CAE ＝∠BAE ＝30°，根据角平分线的性质，得CE ＝DE ．
7．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A ．△ABC 的三条中线的交点
B ．△AB
C 三边的中垂线的交点
C ．△ABC 三条角平分线的交点
D ．△ABC 三条高所在直线的交点 答案：C
知识点：角平分线的性质
解析：
解答：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC 三条角平分线的交点．故选C ． 分析：由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知
是△ABC三条角平分线的交点，由此即可确定凉亭位置．
8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
答案：A
知识点：线段垂直平分线的性质
解析：
解答：∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD．故选A．
分析：由已知条件AC＝AD，利用线段垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的．
9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（）
A．6 B．9 C．3 D．8
答案：A
知识点：线段垂直平分线的性质含30°角的直角三角形
解析：
解答：∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE＝6，∴CE＝6．故选A．
分析：由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．
10．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE的度数为（）
A．80° B．70° C．60°D．50°
答案：D
知识点：线段垂直平分线的性质等腰三角形的性质
解析：
解答：∵DE垂直平分AC，∠A＝30°，∴AE＝CE，∠ACE＝∠A=30°，∵∠ACB＝80°，∴∠BCE＝80°－30°＝50°．故选D．
分析：根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE＝CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE ＝∠A＝30°，再根据∠ACB＝80°即可解答．
11．如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为（）
A．50° B．30° C．75°D．45°
答案：D
知识点：线段垂直平分线的性质等腰三角形的性质三角形内角和定理
解析：
解答：∵△ABC是等腰三角形，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD=30°，∴∠BDC＝60°，∴∠CBD＝180°－75°－60°＝45°．故选D．
分析：根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A＝∠ABD ＝30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD＝45°．
12．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与边BC交于点D，边AB交于点E．若△EDC 的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（）
A．12 B．6 C．24 D．36
答案：B
知识点：线段垂直平分线的性质
解析：
解答：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE＝CE，∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC 的周长之差为12，∴ED＋DC＋EC＝24①，BE＋BD－DE＝12②，由①－②得，DE＝6．故选B．分析：运用线段垂直平分线定理进行线段转换，根据题意列关系式后求解．
13．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于( )
A．95° B．15° C．95°或15°D．170°或30°
答案：C
知识点：线段垂直平分线的性质
解析：
解答：如图（1），当点A、B在线段EF的同侧时，∵A和B两点在线段EF的中垂线上，∴AE＝AF，BE＝BF，又∵∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，∴∠AEF＝∠AFE＝55°，∠BEF＝∠BFE ＝40°，∴∠AEB＝∠AEF－∠BEF＝15°；如图（2），当点A、B在线段EF的两侧时，∵A 和B两点在线段EF的中垂线上，∴AE＝AF，BE＝BF，又∵∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，∴∠AEF＝∠AFE＝55°，∠BEF＝∠BFE＝40°，∴∠AEB＝∠AEF＋∠BEF＝95°．故选C．
分析：本题没有给出图形，所以需要考虑点A、B在线段EF的同侧与两侧来解题．
14．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（）
A．120° B．30° C．60°D．80°
答案：C
知识点：线段垂直平分线的性质 等腰三角形的性质 三角形的外角性质
解析：
解答：由AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，可得∠B ＝30°，因为点D 是AB 的垂直平分线上的点，所以AD ＝BD ，因而∠BAD ＝∠B ＝30°，从而∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ＝60°．故选C ．
分析：由三角形的外角性质知∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ，又已知∠BAC ＝120°，根据三角形内角和定理易得∠B ，而AB 的垂直平分线交BC 于点D ，根据垂直平分线的性质知∠BAD ＝∠B ，从而得解．
15．如图，∠ABC ＝50°，AD 垂直且平分BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是（ ）
A ．50°
B ．25°
C ．80°
D ．115° 答案：D
知识点：线段垂直平分线的性质 角平分线的定义 三角形的外角性质
解析：
解答：∵AD 垂直且平分BC 于点，∴BE ＝EC ，∴∠DBE ＝∠DCE ，又∵∠ABC ＝50°，BE 为∠ABC 的平分线，∴∠EBC ＝∠C ＝2
1×50°＝25°，∴∠AEC ＝∠C ＋∠EDC ＝90°＋25°＝115°，∴∠AEC ＝115°．故选D ． 分析：先由题意得出垂直平分线垂直且平分BC ，BE ＝EC ，由题意可得∠C ＝∠EBC ＝
21×50°＝25°，由三角形外角的性质可得∠AEC ＝90°＋25°＝115°．
二、填空题
1．如图，有一腰长为5cm ，底边长为4cm 的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 _____个不同的四边形．
答案：4
知识点：线段垂直平分线的性质剪纸问题
解析：
解答：让三条相等的边互相重合各得到一个平行四边形；让斜边重合还可以得到一个一般的平行四边形．那么能拼出的四边形的个数是4个．
分析：可动手操作拼图后解答．
2．已知如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE 的周长等于_________ ．
答案：8
知识点：线段垂直平分线的性质
解析：
解答：∵△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，∴AD＝BD，AE ＝CE∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝BD＋DE＋CE＝BC＝8．
分析：要求周长，就是求各边长和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可求出．
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AC，AC ＝AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_________ （把你认为正确结论的序号都填上）
答案：①
知识点：线段垂直平分线的性质等腰三角形的判定与性质
解析：
解答：∵AB＝AC，AC＝AD，∴AB＝AD∵AC平分∠DAB∴AC垂直平分BD，①正确；∴DC＝CB，易知DC＞DE，∴BC＞DE，②错；D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，
∠DBC与∠DAC是圆心角与圆周角的关系，③错误；当△ABC是正三角形时，∠CAB＝60°
那么∠DAB＝120°，如图所示是不可能的，所以错误．故①的结论正确．
分析：由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段垂直平分线的性质进一步得到其它结论．4．如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE＝3cm，则△ABD的周长为_________ cm．
答案：13
知识点：线段垂直平分线的性质
解析：
解答：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足∴AD=DC，AC=2AE=6cm，∵△ABC的周长为19cm，∴AB+BC=13cm，∴△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝13cm．
分析：根据垂直平分线的性质：△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC．
5．在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是
________°．
答案：15
知识点：线段垂直平分线的性质三角形内角和定理
解析：
解答：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝（180°－50°）÷2＝65°∵DE为AB的中垂线∴AD＝BD∴∠ABD＝∠A＝50°∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝15°．
分析：由已知条件，求出底角的度数，根据垂直平分线的性质计算可得答案．
三、解答题
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
答案：（1）36°；（2）5
知识点：线段垂直平分线的性质等腰三角形的性质三角形的外角性质
解析：
解答：解：（1）∵DE垂直平分AC，∠A＝36°∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB ＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．
分析：（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE＝EC；∠A＝∠C；已知∠A＝36，即可求得；（2）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，可得∠B＝72°又∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°，所以，得BC ＝EC＝5．
2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
答案：30°
知识点：线段垂直平分线的性质三角形内角和定理角平分线的定义
解析：
解答：解：∵DE垂直平分AB，∴∠DAE＝∠B，∵在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，∴∠DAE＝（90°－∠B）＝∠B，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°．
分析：根据DE垂直平分AB，求证∠DAE＝∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：（1）FC＝AD；
（2）AB ＝BC ＋AD ．
答案：见解析
知识点：线段垂直平分线的性质 全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠ECF ，∵E 是CD 的中点，∴DE ＝EF ，∵在△ADE 与△FCE 中，∠ADC ＝∠ECF ，DE ＝EF ，∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴FC ＝AD ；（2）∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，AD ＝CF ，又∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB ＝BF ＝BC ＋CF ，∵AD ＝CF ，∴AB ＝BC ＋AD ．
分析：（1）根据AD ∥BC 可知∠ADC ＝∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB ＝BF 即可．
4．如图所示，在ABC △Rt 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°．
（1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l 分别交AB 、AC 及BC 的延长线于点D 、E 、F ，连接BE ，求证：EF ＝2DE ．
答案：见解析
知识点：线段垂直平分线的性质 作图—基本作图 含30度角的直角三角形
解析：
解答：解：（1）如下图所示，直线l 即为所求．
（2）证明：在ABC △Rt 中，∵∠A ＝30°，∠ABC ＝60°．又∵l 为线段AB 的垂直平分线，∴EA ＝EB ，∴∠EBA ＝∠A=30°，∠AED ＝∠BED=60°，∴∠EBC ＝30°＝∠EBA ，∠FEC ＝60°．又∵ED ⊥AB ，EC ⊥BC ，∴ED ＝EC ．在ECF △Rt 中，∠FEC ＝60°，∴∠EFC ＝30°，∴EF ＝2EC ，∴EF ＝2ED ．
分析：由∠A ＝30°可证∠F ＝30°，因而EF ＝2EC ，要证EF ＝2DE ，只要证明EC ＝DE 就可以．
5．如图，已知线段AB ，分别以A 、B 为圆心，大于线段AB 长为半径画弧，两弧相交于点C 、Q ，连接CQ 与AB 相交于点D ，连接AC ，BC ，求∠ADC 的度数．
答案：（1）90°
知识点：线段垂直平分线的性质 作图—基本作图 等腰三角形的性质
解析：
解答：解：（1）△ABC ，△AQB 中，AC ＝AQ ，BC ＝BQ ，AB ＝AB ，△ABC ≌△ABQ ，∠CAB ＝∠QAB ，由等腰三角形性质知：AD 是等腰△ACQ 底边的高、中线和顶角的平分线，∴∠ADC ＝90°． 分析：本题虽然涉及的知识点比较多，但只要找准确所求与已知的关系，本题并不难解．．。