初中数学创新思维能力培养案例分析2010.12
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简单情形 观察 归纳 一般性结论
华罗庚：“先足够地退到我们所容易看清楚问题的 地方，认定了、钻深了、然后再上去” 案例1： 归纳的方法.doc
教学中如何培养归纳思维
（2）提出延伸性问题，引导学生进一步探究。
案例2
问题1-3苹果
一个农夫按照正方形的规律种植苹果树。为了保护 果树免受强风侵袭，他在果园的周围栽种了针叶树。 下面是栽种情况的示意图，根据苹果树的行数 （n），你可以看到苹果树和针叶数的种植规律。
创造性人才的创造活动是在相应的创造 性思维的支配下，所进行的一种积极的能 动的活动。创造性思维是一切创造活动的 核心和灵魂。
著名的数学家A· 赛尔伯格指出： “……数学的内容一定要重新斟酌。 应该增加一些涉及如何发现并令人 振奋的内容。”
著名数学家J· P塞尔指出： “ 关于学生，关键是要让他们明白 数学是活生生的，而不是僵死的， 讲数学的传统方法有个缺陷，即 教师从不提及这类问题，这很可 惜。在数论中有许多这类问题， 十几岁的孩子就能很好地理解它 们：当然包括费马大定理，还有 哥德巴赫猜想。你可以随意讲一 些定理而不加证明
因此我认为： 数学教学不但应该传授 数学知识，还应该培养 学生的创新思维。
讲五个问题
一、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 五、统计推断 下面将结合初等数学和数学史上一些著名 问题来讲，并结合初中数学教材谈谈如何 采取措施，切实培养思维能力
一、归纳思维
归纳是人类赖以发现真理的基本的、重 要的思维方法。 著名数学家高斯曾说： “我的许多发现都是靠归纳取得的。”
数学中“一题多解”最著名的例 子,是几何学中关于“勾股定理”的证法。
勾股定理(被誉为“千古第一定 理”): 一个直角三角形的斜边c的平方 等于另外两边(a,b)的平方和。即 a2 + b2 = c2 这个定理人们用不同的方法,给 出了370多个证明。
这个定理的重要性在于：
1. 它是联系“数”与“形”的第一个重要定 理； 2. 它导致了不可公约量的发现（第一次数学 危机）； 3. 它开始把数学由计算与测量的技术扩大到 证明与推理的科学； 4. 它是最早得出完整解的不定方程，并引导 到各式各样的不定方程，包括费马大定理。
初中数学教学中 创新性思维培养的案例分析
引言
全国科技大会上指出：
“创新是一个民族进步的灵魂，是国家 兴旺发达的不竭动力。 … 一个没有创新 能力的 民族难于屹立于世界民族之林。” “建立创新型国家。”
教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变 教育观念， …… 尤其是要以培养 学生的创新意识和创造精神为 主。”
也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个
别中发现一般。
从数学的发展可以看出，许多新的数学 概念、定理、法则、……的形式，都经历过 积累经验的过程，从大量观察、计算 ……, 然后归纳出其共性和本质的东西，例如：哥 德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。
杨辉三角形
1
1
1 1 1 4 3 6 2
1
1 3 1
“在数学里，发现真理的主要工具和手段 是归纳和类比。”
归纳是在通过多种手段 （观察、实验、分 析 …… ）对许多个别事物的经验认识的基础上，
发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察
到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出 该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归 纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和 本质的东西的抽象化思维。
类比为人们思维过程提供了更广阔的 “自由创造”的天地，使它成为科学研究 中非常有创造性的思维形式，从而受到了 很多著名科学家的重视与青睐。例如：
著名天文学、数学家开普勒说： “我 珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信 赖的老师它能揭示自然的奥秘……。”
在平面解析几何中,两点的距离是：
( x 2 x1)2 ( y 2 y1)2
美国 A. 菲尔德总统： SBCE +SABC +SDCE
1 2 xy z 2 2 2
SABED=
他证明时,只是一位议员,是他和其他议员讨论数学 问题时想出来的,发表在《新英格兰教育杂志》上 。
5. 2000年12月1日山东青岛市即墨一 中高二六班李亮同学的证明: C
BC 2 a 2 BD AB c
前 n 个奇数的和等于 n 2 .
他的这个发现，后来被刊登在《春燕》杂志上。
三边形内角和 (3 2) ， 四边形内角和 (4 2)
问题：下述结论是否成立？ n边形内角和等于 (n 2) ? 问题：考察表
1 23 4 56789 10 11 12 13 14 15 16 0 1 03 13 1 8 13 23 8 27 23 33 27 64 33 43
教学中应注意：
（1）不能把数学知识作为预先确定了的东西教 给学生，不应把教育者对数学知识正确性的强调 作为学生接受它的理由，学生对数学知识的获取 应靠自己的探索和建构来完成，以他自己的经验、 信念为背景来分析知识的合理性。 （2）通过类比探究的数学活动使学生积累数学 思考的学习经验，进而学会数学化，丰富对数学 知识的情感体验。 （3）经历数学发现的过程，学习数学基本的思 维方法。 （4）对探究过程进行小结,体会数学的思考方法 在解题中作用
4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 宋朝数学家杨辉 1261年写的《详解九章算法》 * 就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾 宪用此术。
科尔莫哥洛夫在 《我是如何成为数学家》 中说：我在6、7岁时我已 经感受到数学归纳发现的 乐趣，例如，我注意到下 边的等式：
1 12 , 1 3 22 , 1 3 5 32 , 1 3 5 7 42 , 1 3 5 7 9 ? 1 3 5 7 9 11 ? ......
在空间解析几何中,两点的距离是：
( x 2 x1) ( y 2 y1) ( z 2 z1)
2 2 2
在平面解析几何中直线的截距式是： 在空间解析几何中平面的截距式是：
x y 1 a b
y x z 1; a b c
在平面解析几何中圆的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2 在空间解析几何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。
1.在欧几里得的<几何原本>中,给出了一种欧 几里得的证明:
G
ABD FBC
因此 同理
矩形 BDLI 2 ABD , 正方形 GFBA 2FBC, 矩形 BDLI 正方形 GFBA, 矩形CILE 正方形 ACKH,
F
A
B C
H K
I
两式相加即得定理。 D L E
2. 我国赵爽(约222年)在<周髀算经> 的注释中给出的证明：
问题是基于学生知识基础而设计的新问题 情境； 有利于学生在新情境中进行探索； 真正考核学生的学习潜能。
案例8: 陆地的面积试运用地图的比例尺，估计出南极洲的面 积，并列出和说明估计方法。 (若有需要,可以在地图上表示出你的估计 方法)
波利亚：类比是一个伟大的引路人。
类比推理大致模式
寻找类比对象 比较分析 猜想
验证成解释
案例6：类比推理
分式教学的类比探究
（1）分式与我们曾经学习过的什么内容相似？ （2）你从哪些方面发现它们相似？ （3）根据你的经验，我们下面应该进行什么研 究？如何研究？ （4）总结：这节课学习了分式的什么性质？同 学们是通过什么方法进行研究的？你过去有类似 的学习经历吗？
按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当 数学式子表示出来，而且试证明它。
数学教学要适时培养归纳推理能力 初中在“用字母代表数”中已学生已经历 过用归纳推理的方法探求规律的活动，这 时要向学生介绍这种推理方法
教学中如何培养归纳思维
（1）设计有趣的活动，引导学生在游戏中探 索规律 归纳探究的大致模式：
请完成下表：
问题2：苹果
你可以用以下两条公式，计算出上述方式 所种植的苹果树和针叶数的棵树：苹果树 的棵树＝ n2 针叶树的棵树＝ 8n n是苹果树的行数。 若n等于某个数值时，苹果树的棵数与针叶 树的棵数便会相等。现试求出这个n的数值， 并说明计算方法。
问题3：苹果
假设这个农夫要建一个更大、可以种植更 多果树的果园。当他扩建果园时，哪一种 树的棵数会增加的较快？请解释你是如何 找到答案的。
教学中如何培养归纳思维
（1）设计有趣的活动，引导学生在游戏中探 索规律 （2）提出延伸性问题，引导学生进一步探究。
（3）引导学生对数学探究中的关键点和方法 进行总结，掌握数学探究 的办法。
归纳思维能力培养
归纳思维能力培养应注意什么？ 1. 规律的观察和归纳是一个难点，要善 于多设几个途径思考。（如上楼梯）
Z Z
X ===== X +
Y Y
52=32+42
公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)
===== z x
+ y
Z3 = x3 + Y3
(X,Y,Z 为正整数)
Zn = Ｘn+ Yn (n>2)(Wiles 1994)
实践证明：在学习过程中，将新内容 与自己已经熟悉的知识。进行类比，不但 易于接受、理解、掌握新知识，更重要的 是：培养、锻炼了自己的类比思维，有利 于开发自己的创造力。（费马猜想）
教学中如何培养类比思维
案例5 不等式的性质——等式的性质 一次方程的解法——一次不等式的解法 分式——分数； 线段 ——数； 二次函数——一次函数；
定义的类比，平行直线——平行平面
根据教学内容设计类比探究活动
类比推理：
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征， 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。
a b
AC 2 b 2 AD AB c
BD+AD=AB= c
B
c
D
A
思考：
他的证明对否？好不好？
案例7: 等腰三角形“正度”
(1) 甲： |a-b|; 乙： |α-β| （２）哪个方案较为合理，为什么？ （３）对你认为不够合理的方案加以改进． （４）请再给出一种衡量“正度”的表达 式． 案例7： 等腰三角形的“正度”
ab等于两直角三角形 的面积 (b-a)2为中心正方形 的面积，显然，有 2ab+(b-a)2=c2， 化简，即可得证。
B
c
a b
A
a-b
C
弦图
3.
大正方形的面积: (a+b)2=a2+2a b+b2 又等于: 4ab/2+c2=2a b+c2 从而 得证.
b
a
c
c
a
b a b a
4.最令人感兴趣的证法之一
2. 一种合情推理的方法,归纳推理的 结论未必正确. 案例4： 归纳推理 08年
3. 归纳法分两种： 不完全归纳（根据对特殊情况的考查而得出一般的结论） 完全归纳（根据对所有情况的考查而得出的判断） 案例3: 圆周角.doc 案例3的价值：（1）一个完全归纳的例子；（2）多种数 学思维方法应用； （3）教学设计中的问题： 被新颖性遮蔽的情境设计的合理性； 归纳思维探索过程的展示； 重要思维方法的使用和总结
培养类比思维应注意什么？
合情推理的一种。关键是找到两个对 象内部属性、关系的具有某些方面相似 维数的类比（距离、重心） 教学中注意分析事物研究对象的本质 属性，进行有效的比较，教师应具有发散 思想，鼓励学生敢于在类比中猜想，培养 直觉思维。
三、发散思维
所谓具有发散特性的思维是指信息处理 的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是 一种开放性的立体思维，即围绕某一问题， 沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息 和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决 问题的多种方案。因此，也把发散思维称为 求异思维。它是一种重要的创造性思维。 用“一题多解”，“一题多变”等方式， 发散式地思考问题。
二、类比思维
著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀 澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。”著 名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠论证的 思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。” 类比是根据两个（或多个）对象内部属性、 关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也 可能相似的推理。 简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼 去发现此）。
华罗庚：“先足够地退到我们所容易看清楚问题的 地方，认定了、钻深了、然后再上去” 案例1： 归纳的方法.doc
教学中如何培养归纳思维
（2）提出延伸性问题，引导学生进一步探究。
案例2
问题1-3苹果
一个农夫按照正方形的规律种植苹果树。为了保护 果树免受强风侵袭，他在果园的周围栽种了针叶树。 下面是栽种情况的示意图，根据苹果树的行数 （n），你可以看到苹果树和针叶数的种植规律。
创造性人才的创造活动是在相应的创造 性思维的支配下，所进行的一种积极的能 动的活动。创造性思维是一切创造活动的 核心和灵魂。
著名的数学家A· 赛尔伯格指出： “……数学的内容一定要重新斟酌。 应该增加一些涉及如何发现并令人 振奋的内容。”
著名数学家J· P塞尔指出： “ 关于学生，关键是要让他们明白 数学是活生生的，而不是僵死的， 讲数学的传统方法有个缺陷，即 教师从不提及这类问题，这很可 惜。在数论中有许多这类问题， 十几岁的孩子就能很好地理解它 们：当然包括费马大定理，还有 哥德巴赫猜想。你可以随意讲一 些定理而不加证明
因此我认为： 数学教学不但应该传授 数学知识，还应该培养 学生的创新思维。
讲五个问题
一、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 五、统计推断 下面将结合初等数学和数学史上一些著名 问题来讲，并结合初中数学教材谈谈如何 采取措施，切实培养思维能力
一、归纳思维
归纳是人类赖以发现真理的基本的、重 要的思维方法。 著名数学家高斯曾说： “我的许多发现都是靠归纳取得的。”
数学中“一题多解”最著名的例 子,是几何学中关于“勾股定理”的证法。
勾股定理(被誉为“千古第一定 理”): 一个直角三角形的斜边c的平方 等于另外两边(a,b)的平方和。即 a2 + b2 = c2 这个定理人们用不同的方法,给 出了370多个证明。
这个定理的重要性在于：
1. 它是联系“数”与“形”的第一个重要定 理； 2. 它导致了不可公约量的发现（第一次数学 危机）； 3. 它开始把数学由计算与测量的技术扩大到 证明与推理的科学； 4. 它是最早得出完整解的不定方程，并引导 到各式各样的不定方程，包括费马大定理。
初中数学教学中 创新性思维培养的案例分析
引言
全国科技大会上指出：
“创新是一个民族进步的灵魂，是国家 兴旺发达的不竭动力。 … 一个没有创新 能力的 民族难于屹立于世界民族之林。” “建立创新型国家。”
教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变 教育观念， …… 尤其是要以培养 学生的创新意识和创造精神为 主。”
也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个
别中发现一般。
从数学的发展可以看出，许多新的数学 概念、定理、法则、……的形式，都经历过 积累经验的过程，从大量观察、计算 ……, 然后归纳出其共性和本质的东西，例如：哥 德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。
杨辉三角形
1
1
1 1 1 4 3 6 2
1
1 3 1
“在数学里，发现真理的主要工具和手段 是归纳和类比。”
归纳是在通过多种手段 （观察、实验、分 析 …… ）对许多个别事物的经验认识的基础上，
发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察
到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出 该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归 纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和 本质的东西的抽象化思维。
类比为人们思维过程提供了更广阔的 “自由创造”的天地，使它成为科学研究 中非常有创造性的思维形式，从而受到了 很多著名科学家的重视与青睐。例如：
著名天文学、数学家开普勒说： “我 珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信 赖的老师它能揭示自然的奥秘……。”
在平面解析几何中,两点的距离是：
( x 2 x1)2 ( y 2 y1)2
美国 A. 菲尔德总统： SBCE +SABC +SDCE
1 2 xy z 2 2 2
SABED=
他证明时,只是一位议员,是他和其他议员讨论数学 问题时想出来的,发表在《新英格兰教育杂志》上 。
5. 2000年12月1日山东青岛市即墨一 中高二六班李亮同学的证明: C
BC 2 a 2 BD AB c
前 n 个奇数的和等于 n 2 .
他的这个发现，后来被刊登在《春燕》杂志上。
三边形内角和 (3 2) ， 四边形内角和 (4 2)
问题：下述结论是否成立？ n边形内角和等于 (n 2) ? 问题：考察表
1 23 4 56789 10 11 12 13 14 15 16 0 1 03 13 1 8 13 23 8 27 23 33 27 64 33 43
教学中应注意：
（1）不能把数学知识作为预先确定了的东西教 给学生，不应把教育者对数学知识正确性的强调 作为学生接受它的理由，学生对数学知识的获取 应靠自己的探索和建构来完成，以他自己的经验、 信念为背景来分析知识的合理性。 （2）通过类比探究的数学活动使学生积累数学 思考的学习经验，进而学会数学化，丰富对数学 知识的情感体验。 （3）经历数学发现的过程，学习数学基本的思 维方法。 （4）对探究过程进行小结,体会数学的思考方法 在解题中作用
4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 宋朝数学家杨辉 1261年写的《详解九章算法》 * 就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾 宪用此术。
科尔莫哥洛夫在 《我是如何成为数学家》 中说：我在6、7岁时我已 经感受到数学归纳发现的 乐趣，例如，我注意到下 边的等式：
1 12 , 1 3 22 , 1 3 5 32 , 1 3 5 7 42 , 1 3 5 7 9 ? 1 3 5 7 9 11 ? ......
在空间解析几何中,两点的距离是：
( x 2 x1) ( y 2 y1) ( z 2 z1)
2 2 2
在平面解析几何中直线的截距式是： 在空间解析几何中平面的截距式是：
x y 1 a b
y x z 1; a b c
在平面解析几何中圆的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2 在空间解析几何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。
1.在欧几里得的<几何原本>中,给出了一种欧 几里得的证明:
G
ABD FBC
因此 同理
矩形 BDLI 2 ABD , 正方形 GFBA 2FBC, 矩形 BDLI 正方形 GFBA, 矩形CILE 正方形 ACKH,
F
A
B C
H K
I
两式相加即得定理。 D L E
2. 我国赵爽(约222年)在<周髀算经> 的注释中给出的证明：
问题是基于学生知识基础而设计的新问题 情境； 有利于学生在新情境中进行探索； 真正考核学生的学习潜能。
案例8: 陆地的面积试运用地图的比例尺，估计出南极洲的面 积，并列出和说明估计方法。 (若有需要,可以在地图上表示出你的估计 方法)
波利亚：类比是一个伟大的引路人。
类比推理大致模式
寻找类比对象 比较分析 猜想
验证成解释
案例6：类比推理
分式教学的类比探究
（1）分式与我们曾经学习过的什么内容相似？ （2）你从哪些方面发现它们相似？ （3）根据你的经验，我们下面应该进行什么研 究？如何研究？ （4）总结：这节课学习了分式的什么性质？同 学们是通过什么方法进行研究的？你过去有类似 的学习经历吗？
按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当 数学式子表示出来，而且试证明它。
数学教学要适时培养归纳推理能力 初中在“用字母代表数”中已学生已经历 过用归纳推理的方法探求规律的活动，这 时要向学生介绍这种推理方法
教学中如何培养归纳思维
（1）设计有趣的活动，引导学生在游戏中探 索规律 归纳探究的大致模式：
请完成下表：
问题2：苹果
你可以用以下两条公式，计算出上述方式 所种植的苹果树和针叶数的棵树：苹果树 的棵树＝ n2 针叶树的棵树＝ 8n n是苹果树的行数。 若n等于某个数值时，苹果树的棵数与针叶 树的棵数便会相等。现试求出这个n的数值， 并说明计算方法。
问题3：苹果
假设这个农夫要建一个更大、可以种植更 多果树的果园。当他扩建果园时，哪一种 树的棵数会增加的较快？请解释你是如何 找到答案的。
教学中如何培养归纳思维
（1）设计有趣的活动，引导学生在游戏中探 索规律 （2）提出延伸性问题，引导学生进一步探究。
（3）引导学生对数学探究中的关键点和方法 进行总结，掌握数学探究 的办法。
归纳思维能力培养
归纳思维能力培养应注意什么？ 1. 规律的观察和归纳是一个难点，要善 于多设几个途径思考。（如上楼梯）
Z Z
X ===== X +
Y Y
52=32+42
公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)
===== z x
+ y
Z3 = x3 + Y3
(X,Y,Z 为正整数)
Zn = Ｘn+ Yn (n>2)(Wiles 1994)
实践证明：在学习过程中，将新内容 与自己已经熟悉的知识。进行类比，不但 易于接受、理解、掌握新知识，更重要的 是：培养、锻炼了自己的类比思维，有利 于开发自己的创造力。（费马猜想）
教学中如何培养类比思维
案例5 不等式的性质——等式的性质 一次方程的解法——一次不等式的解法 分式——分数； 线段 ——数； 二次函数——一次函数；
定义的类比，平行直线——平行平面
根据教学内容设计类比探究活动
类比推理：
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征， 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。
a b
AC 2 b 2 AD AB c
BD+AD=AB= c
B
c
D
A
思考：
他的证明对否？好不好？
案例7: 等腰三角形“正度”
(1) 甲： |a-b|; 乙： |α-β| （２）哪个方案较为合理，为什么？ （３）对你认为不够合理的方案加以改进． （４）请再给出一种衡量“正度”的表达 式． 案例7： 等腰三角形的“正度”
ab等于两直角三角形 的面积 (b-a)2为中心正方形 的面积，显然，有 2ab+(b-a)2=c2， 化简，即可得证。
B
c
a b
A
a-b
C
弦图
3.
大正方形的面积: (a+b)2=a2+2a b+b2 又等于: 4ab/2+c2=2a b+c2 从而 得证.
b
a
c
c
a
b a b a
4.最令人感兴趣的证法之一
2. 一种合情推理的方法,归纳推理的 结论未必正确. 案例4： 归纳推理 08年
3. 归纳法分两种： 不完全归纳（根据对特殊情况的考查而得出一般的结论） 完全归纳（根据对所有情况的考查而得出的判断） 案例3: 圆周角.doc 案例3的价值：（1）一个完全归纳的例子；（2）多种数 学思维方法应用； （3）教学设计中的问题： 被新颖性遮蔽的情境设计的合理性； 归纳思维探索过程的展示； 重要思维方法的使用和总结
培养类比思维应注意什么？
合情推理的一种。关键是找到两个对 象内部属性、关系的具有某些方面相似 维数的类比（距离、重心） 教学中注意分析事物研究对象的本质 属性，进行有效的比较，教师应具有发散 思想，鼓励学生敢于在类比中猜想，培养 直觉思维。
三、发散思维
所谓具有发散特性的思维是指信息处理 的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是 一种开放性的立体思维，即围绕某一问题， 沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息 和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决 问题的多种方案。因此，也把发散思维称为 求异思维。它是一种重要的创造性思维。 用“一题多解”，“一题多变”等方式， 发散式地思考问题。
二、类比思维
著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀 澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。”著 名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠论证的 思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。” 类比是根据两个（或多个）对象内部属性、 关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也 可能相似的推理。 简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼 去发现此）。