(2021年整理)反函数基础练习含答案

反函数基础练习含答案
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反函数基础练习
（一）选择题
1．函数y ＝－x 2(x ≤0）的反函数是
[ ］
A y (x 0)
B y (x 0)
C y (x 0)
D y |x|
．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --
2．函数y ＝－x （2＋x)(x ≥0）的反函数的定义域是
[ ]
A ．[0,＋∞）
B ．[－∞，1]
C ．(0，1]
D ．（－∞，0]
3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2
［ ]
A ．y ＝2－（x －1)2(x ≥2）
B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)
C ．y ＝2－（x －1）2(x ≥1)
D ．y ＝2＋（x －1)2（x ≥1） 4．下列各组函数中互为反函数的是
［ ]
A y y x
B y y 2．＝和＝．＝和＝
x x x
11
C y y (x 1)
D y x (x 1)y (x 0)
2．＝
和＝≠．＝≥和＝≥313131
1x x x x x +-+-
5．如果y ＝f （x)的反函数是y ＝f —1(x)，则下列命题中一定正确的是
［ ］
A ．若y ＝f(x ）在[1，2］上是增函数，则y ＝f -1(x ）在[1,2］上也是增函数
B ．若y ＝f(x ）是奇函数，则y ＝f -1（x ）也是奇函数
C．若y＝f（x）是偶函数，则y＝f—1(x)也是偶函数
D．若f（x）的图像与y轴有交点,则f-1(x）的图像与y轴也有交点
6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是
x 1
y＝－，那么另一个函数是
[ ] A．y＝x2＋1（x≤0）
B．y＝x2＋1（x≥1）
C．y＝x2－1（x≤0)
D．y＝x2－1(x≥1)
7．设点(a，b）在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f—1(x)的图像上一定有点
[ ] A．(a，f-1（a））B．（f—1(b）,b）C．（f-1（a)，a) D．(b,f-1（b))
8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x）,则函数y＝f(－x）的反函数是
[ ］A．y＝g(－x) B．y＝－g（x)
C．y＝－g(－x）D．y＝－g—1(x）
9．若f(x－1）＝x2－2x＋3（x≤1），则函数f-1(x)的草图是
［ ]
10y g(x)．函数＝的反函数是，则1
3
x
［ ］
A ．g(2)＞g （－1）＞g(－3）
B ．g(2)＞g （－3)＞g(－1)
C ．g(－1)＞g(－3）＞g （2)
D ．g(－3)＞g(－1)＞g （2) (二）填空题
1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是
．
．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，
x x ++21
21
解f(x ）＝________．
3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称,那a ＝________,b ＝________．
4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是
，反函数的定92-x
义域是________．
5．已知函数y ＝f(x ）存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f —1(f(a ））＝________．
6y 7y (x 1)
(x 1)
8f(x)(x 1)f ()1
．函数＝的反函数的值域是
．
．函数＝≥－＜的反函数是：
．．函数＝＜－，则－＝．
1
21121232
x x x x
---⎧⎨⎪⎩⎪-- (三)解答题
1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．
．已知函数＝．
x ax x +++25
2
(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f —1(x)的值域；(2)若点P(1，2）是y ＝f —1(x ）的图像上一点,求函数y ＝f （x)的值域．
3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数,求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．
4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝
，函数＝的图像是＝＋的图像23
1
1x x +-- 关于y ＝x 对称，求g （2)的值．
参考答案
（一)选择题
1．(C ）．解：函数y=－x 2（x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x= －－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-
2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1）2,x ≥0,∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．
3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－
＋1,得反函数f －1(x)=（x －1）2＋1，（x ≥1）．
4．（B)．解：（A ）错．∵y=x 2没有反函数．（B)中如两个函数互为反 函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．
(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3
(x 3)y =
3x 1
3x 1
(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A ）中．∵y=f(x)在[1，2］上是增函数．∴其反函数y=f -1(x ）在［f （1)，f(2）］上是增函数，∴（A ）错．（B)对．（C ）中如y=f(x ）=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C）错．（D ）中如函数f （x ）=x 2＋1（x ≥0)的图像与y 轴有
交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-
＋1（x ≤0)．选（A)．
7．（D ）．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x ）的图像上，∴点（b ，a ）必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1（b ），故点(b ，f －1(b))在y=f —1（x ）的图像上．选（D ）．
8．(B)．解:∵y=f(x ）的反函数是y=f —1(x)即g(x)=f —1(x)，而y=f （－x)的反函数是y=－f —1（x ）=－g(x ），∴选（B)．
9．(C)．解：令t=x －1．∵x ≤1，∴t ≤0，f(t)=t 2＋2(t ≤0），即f(x ）=x 2＋2（x ≤0)，值域为f （x)≥2,∴反函数f —1(x ）的定义域是x ≥2,值域y ≤0，故选(C ）．
10(B)g(x)=
1
x (0)33
．．解：∵在－∞，上是减函数，又－＜－＜1
00g(3)g(1)g(2)=
1
20g(2)g(3)g(1)3
，∴＞－＞－而＞，∴＞－＞－．故选 (B ）． （二)填空题
1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(
x ≥3)
2y =
12x 1(x 0)y 1f(x)=1x
2x
(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜． 3y =4x b y =
14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b
4144
3 比较两边对应项系数得，．a =
1
4
b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x
5．a
6．［0，2）∪(2,＋∞)
7f (x)=x 1
(x 1)1x
(x 0)
1
2
2
．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪
8．－2 （三）解答题
1x 2y 1y =x 21=．解：∵≥－，得值域为≥．由＋＋得反函数f x -1()
（x －1)2－2，(x ≥1），其图像如右图．
2．解（1):∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1，x ∈R ，∴y=f -1（x ）的值域是{y|y ≠1，y ∈R}．
解(2)：∵点P （1,2）在，y=f -1（x ）的图像上,点P （1，2)关于直线y=x 的对称点为′，一定在的图像上，即由＋＋得－，∴－＋，其反函数－＋．∵的定义域为≠－，∈，∴的值域为≠－，∈．P (21)y =f(x)=1a =f(x)=
10x 2x 4f -(x)=104x
2x 1
f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}1125221
2
121
2
a
3．证明略．
4f(x)=
2x 3x 1f -(x)=x 3
f (x 1)=11．略解；＋－的反函数是＋－，∴＋x 2
x 4x 1x 4
x 1
=2x =6g(2)=6＋－，由＋－得即．。