2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第3章+3.4 函数的应用(一)和答案

3.4函数的应用(一)

常见的几类函数模型

1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为()

A．y＝20－x,0<x<10 B．y＝20－2x,0<x<20

C．y＝40－x,0<x<10 D．y＝40－2x,0<x<20

[答案]A

2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()

A．一次函数模型B．二次函数模型

C．分段函数模型D．无法确定

C[由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型．]

3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．

60[设涨价x元，销售的利润为y元，

则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250

＝－2(x－10)2＋450，

所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]

一次函数模型的应用

【例1】某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒() A．2 000套B．3 000套

C．4 000套D．5 000套

D[因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．]

1．一次函数模型的实际应用

一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．

2．一次函数的最值求解

一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．

1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费

y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：

①通话2分钟，需要付电话费________元；

②通话5分钟，需要付电话费________元；

③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．

①3.6②6③y＝1.2t(t≥3)[①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．

②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．

③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]

二次函数模型的应用

【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；

(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

[思路点拨]本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平

均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．

[解](1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，

化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．

(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．

所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．

(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，

所以当x<60时，w随x的增大而增大．

又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.

所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．

二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.

2．A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．

(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；

(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．

[解](1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.

设乙城的月供电费用为y 2，则y 2＝λ×10×(100－x )2，

∴甲、乙两城月供电总费用y ＝λ×20x 2＋λ×10×(100－x )2.

∵λ＝0.25，

∴y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．

(2)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000

＝152⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －10032＋50 0003， 则当x ＝1003时，y 最小．

故当核电站建在距A 城1003 km 时，才能使供电总费用最小．

分段函数模型的应用

【例3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t (单位：百件)时，销售所得的收入约为5t －12t 2(万元)．

(1)若该公司的年产量为x (单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数；

(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？

[解] (1)当0<x ≤5时，产品全部售出，当x >5时，产品只能售出500件．

所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )，(0<x ≤5)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫5×5－12×52－(0.5＋0.25x )，(x >5)， 即f (x )＝⎩⎨⎧ －12x 2＋4.75x －0.5，(0<x ≤5)，12－0.25x ，(x >5).