结构动力学8

{u}——有限元节点系位移向量。当采用时域逐步积分法进 行分析，阻尼矩阵[C]可以采用Rayleigh阻尼阵。
8.4.2 基本分析过程
结构有限元模型的运动方程：
& & [M ]{u&}+ [C ]{u}+ [K ]{u} = {p(t )}
有限元模型的节点系运动方程与前面介绍的框架结构的 运动方程在形式上完全相同，不同之处仅在于单元刚 度矩阵和质量阵的形成上。本节介绍的形成单元刚度 阵和质量阵的方法更具通用性。 前面所介绍的结构动力方程的解法，例如振型叠加法、 Fourier变换方法、时域逐步积分法等均可以用于结构 有限元模型的动力反应问题分析。
i=1
4
ψi的定义是ui发生单位位移, 而其余自由度不动, 即完全约束时, 梁单元的位移(线位移)，因此，ψi(x)满足如下边界条件：
i = 1 : ψ 1 (0) = 1, ψ 1' (0) = ψ 1 ( L) = ψ 1' ( L) = 0
' ' i = 2 : ψ 2 (0) = 1, ψ 2 (0) = ψ 2 ( L) = ψ 2 ( L) = 0 ' ' i = 3 : ψ 3 ( L) = 1, ψ 3 (0) = ψ 3 (0) = ψ 3 ( L) = 0 ' ' i = 4 : ψ 4 ( L) = 1, ψ 4 (0) = ψ 4 (0) = ψ 4 ( L) = 0
8.4.1 有限元离散化
采用有限元法离散时，首先将一根梁分成有限段，称为 有限单元。每一个单元的尺寸可以是任意的，可以完 全相同，也可以完全不相同。这些单元仅仅在单元间 的节点上连续（连接）。 在这个简单的例子中，节点就是单元的端点，在每一个 节点上有两个自由度，横向位移和转角。 在有限元法中节点的位移（包括横向位移和转角）被选 为广义坐标。而运动方程就是用这些有直接物理意义 的量（位移和转角）来形成的。
u( x, t ) = ∑ ui (t )ψ i ( x )
i =1
4
ui(t)为自由度i（i＝1, …, 4）的位移（转角）； ψi(x)为相应于 自由度i的插值函数。 如果还要考虑梁的轴向变形，则在单元的两个端点还需各增 加一个沿梁轴向位移的自由度。
8.5 位移模式及插值函数
u(x,t) = ∑ui (t)ψi (x)
8.4.1 有限元离散化
与一般广义坐标法相比，有限元法有如下优点： ① 对于一个单元，可以选用简单的分片多项式插值函数 代替复杂的插值函数。 ② 解的精度可以通过在结构离散化时增加有限单元的数 目来提高。 ③ 对插值函数的计算（微分或积分）很容易、很简单， 而且可以在不同的单元中都选用同样的插值函数。 ④ 结构的刚度阵和质量阵是有限带宽的，可简化计算， 节省时间。 ⑤ 广义坐标有物理意义，直接给出了节点的位移或力。
8.1 集中质量法及建筑物的模型化
8.1.1 质量的集中化
楼层集中质量模型
8.1 集中质量法及建筑物的模型化 8.1.2 力学分析模型 1、剪切型模型
m3 u3
m2
u2
z
m1
u1
y o x
&& u xg (t )
剪切型模型
8.1 集中质量法及建筑物的模型化 8.1.2 力学分析模型 2、弯剪型模型
[K ]e = [T ]eT [K ]e [T ]e , [M ]e = [T ]eT [M ]e [T ]e , [ p(t )]e = [T ]eT {p(t )}e
8.4.2 基本分析过程
4 将总体坐标下的单元刚度阵、质量阵和外荷载向量进行总 装，集成结构体系的总体刚度阵[K]，质量阵[M]和外力荷 载向量{p(t)}。
对于每一个插值函数，有4个边界条件，可用来确定4个未知 系数。把插值函数设为多项式，如果选用3次多项式，则未 知系数的个数正好为4个，因此可以选： x x 2 x 3 ψ i ( x ) = ai + bi ( ) + ci ( ) + d i ( ) , i = 1, 2, 3, 4 L L L 其中，ai、bi、ci、di分别为待定的未知系数。
8.4.1 有限元离散化 离散化：将无限自由度问题化为有限自由度的过 程。 有限元方法可以归属于广义坐标法，有限元法也 是通过将体系的变形(位移)通过已知的满足边 界条件的形函数与待求的广义坐标(待定参数) 的乘积来表示。 有限元方法中，形函数是分片定义的；待求量(广 义坐标)一般是有明确物理意义的量。 形函数（形状函数）＝试函数（试探函数） ＝插值函数
y ( x ) = ∑ ai x
i
i
其中y(x)为待求函数，而系数ai为待求的未知量，则xi被称为 试函数。有限元法中习惯把ψi(x)称为插值函数或形函数。 与一般的广义坐标法相比，有限元方法的特点和优点是采用 的形函数是定义在局部区域上的，而不是定义在整个区域 上，即用局部插值函数代替全局插值函数，而局部插值函 数比全局插值函数要简单。 这就像采用分段三次样条函数代替一个复杂函数来描述一个 复杂的曲线一样(例如船模型的放样)。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第8章 连续体动力模型的离散化 ——动力有限元法
第8章 连续体动力模型的离散化
所有实际工程结构都有无限多个自由度，也就是说要完 全确定结构在任一瞬时的位置，就必须有无数个坐标。 质点、刚体是抽象的力学模型，只有在对实际工程结构 进行了一定简化的基础上，才能够获得包含质点、刚体 概念的简化力学模型，从而将具有无限多个自由度的实 际工程结构简化为有限自由度的离散模型。通常称这一 过程为连续体动力模型的离散化。
8.6.1 单元刚度矩阵
对于弯曲梁单元刚度矩阵和质量矩阵的计算公式，在2.7 节中已通过Lagrange方程给出，采用其它方法，例如虚 功原理、Galerkin方法也都可以给出相同的公式。 单元刚度阵中各元素的计算公式为：
kij = ∫ EI ( x)ψ i′′( x)ψ ′j′( x)dx
o度发生单位位移(转角)，其 它自由度不动时，第i个自由度产生的弹性恢复力(约束 反力)。 刚度矩阵元素的性质：kij=kji，即刚度阵为对称矩阵。
8.4.2 基本分析过程
采用有限元法建立结构体系运动方程的基本步骤： 1 采用有限元法将结构离散化，即将结构理想化为有限单元 的集合。有限元模型中，不同单元之间的连接点称为有限 元的节点，不同单元通过节点相连接。而节点的位移(可以 包括转角)定义为体系的自由度。 2 对于每个单元，可以建立单元的刚度阵，质量阵和单元的 外力向量(相应于单元自由度的外力向量)。 3 将局部坐标系中的单元刚度阵，质量阵和外荷载向量通过 单元局部坐标和体系整体坐标之间的坐标转换矩阵[T]e，转 换成整体坐标系下的单元刚度阵[K]e、质量阵[M]e和外力向 量{p(t)}e 。
8.3 加权残值法
加权残值（数）法是一种数学上的离散化近似，它直接 从偏微分方程出发，导出描述原动力模型的常微分方程 组，也即将原来的无限自由度问题缩减为近似的有限自 由度问题。 与前面介绍的变分法一样，这一方法首先也要假设一个 试函数作为偏微分方程的近似解，将其代入原方程后， 由于假设的试函数一般不能满足原偏微分方程，因此， 便出现了残值，对其在域内和边界上积分，然后组成消 除残值的方程组，即按某种平均意义消除残值。 通过选择不同的试函数和权函数，由加权残值法可导出 有限元，有限差以及各类半解析法来。
[K ] = ∑ [A]e [K ]e , [M ] = ∑ [A]e [M ]e , {p(t )} = ∑ [A]e {p(t )}e
e =1 e =1 e =1
Ne
Ne
Ne
Ne —— 单元总数； [A]e—— 单元阵向总体矩阵总装集成的关系矩阵。 5 形成整体结构有限元模型的运动方程
& & [M ]{u&}+ [C ]{u}+ [K ]{u} = {p(t )}
8.6.1 单元刚度矩阵
ψ 1 ( x ) = 1 − 3( ) 2 + 2 ( ) 3
x L x L
kij = ∫ EI ( x)ψ i′′( x)ψ ′j′( x)dx
8.4 动力有限元法
有限元法是应用力学和数学领域中最重要的发展之一， 具有理论完整可靠，物理意义直观明确，解题效能强等 优点，其适应性强，形式单纯、规范。 有限元法可以用于广泛的研究领域，分析处理复杂的理 论问题和工程问题，在结构动力分析中也占主导地位。 在这里仅以简单的一维问题为对象，简要介绍在结构动 力分析中有限元法的基本原理和基本实现步骤。 本节仅简单介绍与有限元离散化有关的一些基本理论问 题，并不准备详细讨论对于具体建筑结构如何采用有限 元法离散和建立有限元离散模型。 假设读者已掌握了结构静力分析中的有限元法基本知识。
8.4.1 有限元离散化
梁的横向位移通过试函数用节点的位移 来表示,试函数ψi(x)表定义为： 第i自由度发生单位位移, 而其它自 由度不动时, 梁单元中产生的横向位移。
⎧1 ψ i ( x) = ⎨ ⎩0 x取在i自由度相应的节点 i 在所用其它自由度的节点
梁的位移可以表示为：
u( x, t ) =
结构平面立面示意图10800010800032000立面示意图平面示意图5高层大跨连体结构结构有限元模型立面图弹塑性分析时结构整体有限元模型5高层大跨连体结构2阶振型扭转3阶振型对称扭转4阶振型反对称扭转5高层大跨连体结构5阶振型主体和连接体x向平动6阶振型连接体y向平动7阶振型单侧主体x向平动8阶振型连接体x向平动5高层大跨连体结构9阶振型主体和连接体z向振动10阶振型连接体扭动结构主体和连接体之间设置夹层钢板橡胶垫后结构的新增振型6超高层多筒巨型柱框架体系动力特性与地震反应超高层多筒巨型柱框架结构标准层平面图和剖面图6超高层多筒巨型柱框架体系动力特性与地震反应超高层多筒巨型柱框架结构前四阶振型图6超高层多筒巨型柱框架体系动力特性与地震反应地震波作用下结构顶层位移时程1012141618202224262830005004003002001000001002003004005危险性分析时程elcentro时程lomapreta时程时间s6超高层多筒巨型柱框架体系地震反应地震作用下结构的最大层间侧移角204060801001201401601802000050x10510x10415x10420x10425x10430x104危险性分析时程elcentro时程lomaprieta时程6超高层多筒巨型柱框架体系地震反应分析结果表明
ψ 3 ( x ) = 3( ) 2 − 2 ( ) 3
x 3 x 2 ψ 4 ( x ) = − L( ) + L( ) L L
x L
x L
对于均匀梁单元，不考虑剪切变形影响时，以上给出的插值函数 是一个精确解(静力问题)；而对于非均匀梁，上式给出的插值函 数是近似的。
8.6 有限元分析中的基本要素 为进行结构体系的有限元分析，需要建立体 系有限元模型的运动方程。这涉及体系的 刚度矩阵、质量矩阵和外荷载引起的节点 力向量，一旦这些构成运动方程的基本要 素确定，则建立了体系的运动方程。 下面以梁单元为例，介绍单元的刚度矩阵、 质量矩阵和等效外荷载向量的基本概念和 计算方法。
∑ u ( t )ψ
i i
i
( x)
ui(t)为第i自由度的节点位移(线位移或转角)；ψi(x)为相应的试函数。 观察上式，它实际上就是一种广义坐标法，ψi(x)为形函数，而ui为 广义坐标，不同的是这里的广义坐标具有明确的物理意义。
8.4.1 有限元离散化
把ψi(x)称为试函数是数学上的叫法。数学上常把一个待求的 函数表示为已知函数与未知量的叠加形式，例如采用幂函 数展开，
从实际工程出发，人们已提出了连续体动力模型离散化 的多种途径，但基本上可以归为两类：一类是从模型上 对结构进行简化；另一类是从数学处理上对动力学偏微 分方程进行简化。其目的都是将无限自由度体系缩减为 有限自由度体系，将偏微分方程组的求解化为近似的常 微分方程的求解，以最终适应在计算机上进行数值求解。
8.5 有限元法单元位移模式及插值函数的构造
考虑长为L、截面抗弯刚度为EI(x)、抗拉刚度为EA(x)、质量 线密度为m(x)的一有限元梁单元，单元的两个节点为其两 个端点，如果仅考虑平面内变形，则每一个节点有两个自 由度，即横向位移和转角，如下图所示。 梁单元的横向位移可以 用4个自由度表示为：
8.5 位移模式及插值函数
u(x,t) = ∑ui (t)ψi (x)
i=1
4
将各插值函数的表达式分别代入其应满足的相应边界条件， 可求得插值函数的待定系数，最后得到的插值函数为：
x 2 x 3 ψ 1 ( x ) = 1 − 3( ) + 2 ( ) L L x 3 x 2 x ψ 2 ( x ) = L( ) − 2 L( ) + L( ) L L L
m3 I p3
θ3
u3
m2
Ip2
θ2
u2
m1
Ip1
θ1
u1
u xg (t)
弯剪型模型
8.1 集中质量法及建筑物的模型化 8.1.2 力学分析模型 3、杆系模型
杆系模型
8.2 变分直接法
变分原理提供了一种将真实的运动与同样条件下可能的 其它运动区分开来的准则。 真实的运动是指在同样的条件下（边界和约束条件）使 得泛函取极值的自变函数。 从变分原理出发可导出体系的控制微分方程，对连续体， 它是一组偏微分方程。 变分原理的直接法是一种数学上的离散化处理方法，其 途径是在利用变分原理时不将泛函的极值问题转化为求 解偏微分方程问题，而是给出所求函数的近似表达式， 直接利用泛函极值的必要条件确定近似表达式中的待定 参数。因此，通常称这种方法为“直接法”。