北师大版 九年级数学上册 第一章 1.2.1《矩形的性质》电子教案

第一章特殊平行四边形

1.2 矩形的性质与判定

1.2.1 矩形的性质

1.了解矩形的有关概念,理解并掌握矩形的有关性质.

2.经历探索矩形的概念和性质的过程,发展学生合情推理的意识;掌握几何思维方法.

3.培养严谨的推理能力,以及自主合作的精神;体会逻辑推理的思维价值.

掌握矩形的性质,并会运用.

理解矩形的特殊性.

利用一个活动的平行四边形教具做演示,使平行四边形的一个内角变化,让学生注意观察.在演示过程中让学生思考:

(1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗?

学生:是平行四边形.

(2)在运动过程中四边形不变的是什么?

学生:对边仍保持相等,对边仍分别平行.

(3)在运动过程中四边形改变的是什么?

学生:角的大小.

(4)角的大小在改变过程中有特殊值吗?

学生:有特殊值——90°.

这时的平行四边形是什么图形呢?这就是我们今天要研究的另一类特殊的平行四边形——矩形.

矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.

·想一想

教师:矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?

学生:对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分,邻角互补.

教师:矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?

学生:矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.

教师:你认为矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流.

学生:由平行四边形对边平行以及一个角变为90°,可以得到该角的补角也是90°,从而得到:矩形的四个角都是直角.

评析:实际上,在小学学生已经学过长方形四个角都是90°,这里学生不难理解. 教师活动:用橡皮筋做出两条对角线,让学生观察这两条对角线的关系,并要求学生证明(口述).

学生活动:观察发现矩形的两条对角线相等.口述证明过程中充分利用三角形全等(SAS)来证明结论.

口述:如图1-2-1,∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=∠DCB=90°,AB=DC.

又∵BC为公共边,

∴△ABC≌△DCB(SAS),

∴AC=BD.

由此得到以下定理:

定理:矩形的四个角都是直角.

定理:矩形的对角线相等.

·议一议

如图1-2-2,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E,那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?由此你能得到怎样的结论?

学生活动:观察、思考后发现BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线,且BE=12AC.由此归纳直角三角形的一个性质定理:

定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

教师:下面我们一起来证明这个定理.

已知:如图1-2-3,在Rt△ABC中,BE是斜边AC上的中线.求证:BE=12AC.

证明:如图1-2-3,分别过点A,C作BC,AB的平行线,两平行线交于点D.

∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵∠ABC=90°,

∴平行四边形ABCD是矩形,连接ED.

∴AC=BD.

又∵BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线,

∴点E是AC的中点,即两条对角线的交点.

∴线段BE在线段BD上.

∴BE=DE=12BD=12AC.

师生回忆:在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半(避免混淆).

例题讲解

例1如图1-2-4,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长.(投影显示)

师生共析:利用矩形对角线相等且平分得到OA=OD,由于∠AOD=120°,故而,可以发现∠ODA=30°.又因为∠DAB=90°,且在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半,所以BD=2AB=5.

解:∵四边形ABCD是矩形,

∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),

AC=BD(矩形的对角线相等),

OA=OC=12AC,OB=OD=12BD(矩形的对角线互相平分).

∴OA=OD.

∵∠AOD=120°,

∴∠ODA=∠OAD=12×(180°-120°)=30°,

∴BD=2AB=2×2.5=5.

【巩固练习】

补充练习:

1.已知:如图1-2-5,从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线,其延长线与∠BAD的平分线相交于点E.求证:AC=CE.

思路点拨:要证明AC=CE,可以考虑证明∠E=∠CAE.因为AE平分∠BAD,所以∠DAE=∠BAE,从图中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC.另外一个条件是CE⊥BD,这样过

点A作AF⊥BD于点F,则AF∥CE,可以将∠E转化为∠FAE,而∠FAE=∠BAE-∠BAF.现在只要证明∠BAF=∠DAC即可,而实际上,∠BAF=∠BDA=∠DAC,问题迎刃而解.

如图1-2-6,在△ABC中,∠A=2∠B,CD是△ABC的高,E是AB的中点,求证:DE=12AC.

思路点拨:本题可从E是AB的中点切入,考虑应用三角形中位线定理.应用三角形中位线定理必须找到另一个中点.分析可知,既可以取BC的中点F,也可以取AC的中点G进行尝试.证法一:取BC的中点F,连接EF,DF,如图1-2-7(1).

∵E为AB的中点,∴EF12AC,∴∠FEB=∠A.

∵∠A=2∠B,∴∠FEB=2∠B.

∵CD是△ABC的高,

∴在Rt△CDB中,DF=12BC=BF,∴∠1=∠B,

∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2,

∴∠1=∠2,∴DE=EF=12AC.

证法二:取AC的中点G,连接DG,EG,如图1-2-7(2).

∵CD是△ABC的高,

∴在Rt△ADC中,DG=12AC=AG.

∵E是AB的中点,∴GE∥BC,∴∠1=∠B,

∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1.

又∵∠GDA=∠1+∠2,∴∠1+∠2=2∠1,

∴∠2=∠1,∴DE=DG=12AC