牛顿运动三定律及功与能关系

受的合力，其方向与所受合力的方向相同。
Fi
d(mv) dt
Fi
k
d(mv) dt
取SI单位，k=1，则有
Fi
d(mv) dt
dmv dt
当物体的质量不随时间变化时
m dv
Fi
dt m dv
dt
ma
讨论 (1) 第二定律只适用于质点的运动的情况；
F
一定时，m
,
a
(2) 第二定律的三个性质
牛顿运动三定律及 功与能关系
一. 牛顿第一定律 (Newton’s First Law of Motion) 内容 任何物体,只要没有外力改变它的状态，便会永远
保持静止或匀速直线运动的状态。 它是从大量实验事实概括总结加上抽象思维得来的， 但不能直接用实验来验证。
讨论
（1）惯性(inertia) —— 物体的固有属性（惯性定律）
mv
dv ds
ds ld
θ l
T θ
v
mg
0
g cos
ld
vdv
0
v = 2glsin
代入②
T 3mg sin
牛顿运动定律的适用范围
一. 惯性系(Inertial System )
乙 mF
a
甲
观察者甲：
有力
F
和加速度
a
即
F
ma
观察者乙：牛有顿力定F 律但在没该有参加照速系度中a 适即用m—a—惯0,性F系 0
1. 明确研究对象（隔离体法） 2. 受力分析 （重力，弹力，摩擦力）
3. 建立坐标系，列方程 （牛顿第二定律及辅助条件）
4. 求解，讨论
例 试证明在圆柱体容器内以角速度绕轴匀速旋转的流体
表面为旋转抛物面。
证明 x向: N sin m 2x
y
N
y向: N cos mg 0
O
x
tg 2x dy
设物体的加速度为 a
a ar a0
mg N ma m(ar a0)
a0
m ar
x 方向 mg sin m(ar a0 sin )
y 方向 N mg cos ma0 cos
N m(g a0)cos ar (g a0)sin
y a0
N
mg
ar
x
方法（二） 取升降机为参考系
F
一.恒力的功 (Work Done by a Constant Force)
A
Fs
cos
F
r
A
F
r
r1
M
a
O
r
r2 s
M
b
二.变力的功 (Work Done by a Variable Force)
求质点M 在变力作用下，沿曲线 轨迹由a 运动到b，变力作的功
z a M dr
A F r cos
y
2
Fz
Fiz
m dv z dt
m
d2 dt
z
2
Fτ
ma τ
m dv dt
m
d2s dt 2
Fn
man
mv 2
m
1
(ds)2 dt
(4) 在一般问题中，m 可认为常量，但在以下两种情况中质
量不能被看作常量。
a. 物体在运动中质量有所增减,如飞行中的火箭、下落过程
中的雨滴；
b. 高速运动中,质量与运动速度
例 已知一物体的质量为m , 运动方程为
r
Acost
i
Bsin t
j
求 解
F=?
a
dv dt
d2r
dt
2
A
A 2 costi B 2
2 costi B 2
sin
tj
2r
sin tj
F
ma
ω2mr
二 . 积分问题
已知F 求运动状态
例 设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以v0 向上运动，从时 刻t = 0 开始粒子受到水平F =F0t 力的作用，F0 为常量， 粒子质量为 m 。(不计重力）
相对于一惯性系作加速运动的参照系一定不是惯性系。
二. 低速运动 v c
三. 宏观物体（轨迹描述）
惯性力(Inertia Force)
设
S
'
系(
非惯性系
)
相对S
系(
惯性系
) 平动，加速度为
ae。
质点 m 在S 系和S ' 系的加速度分别为aa , ar
由在在加SS'系速系:度：引则FF变 入换Fm虚m定aa拟理Fea0力有m或mmaa惯rar性r 力m牛aaa顿Fe0第ar二定maae律e 在形式上成立
平均功率 : P A
t
当t 0时，瞬时功率:
P lim A dA t0 t dt
P
F
dr
F
v
Fv
cos
dt
例
质量为10kg 点的速度为
v的 质 点4t，2i在外1力6作j 用,开下始做时平质面点曲位线于运坐动标，原该点质
求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
• 万有引力公式只适用于两质点
F21mr2 m1 r0
例 如图所示，一质点m 旁边放一长度为L 、质量为M 的杆，
杆离质点近端距离为l .
求 该系统的万有引力。
m
l
解
F
G
mM l2
?
F G mM (l L)2 ? 2
M L
df
G
mdM x2
G
mMdx Lx2
f
lL
df
l
lL
G
l
mM Lx2
b
A
aL
Fi
dr
b
aL
Fi
dr
Ai
合力的功等于各个力所作的功之和
说明
（1）力和位移是功的两要素，缺一不可； A
b
F
dr
aL
（2）功是描述力对空间的积累作用的过程量；
（3）功是标量，有正负； （4）功是相对量；
（5）功是能量变化的量度。
三. 功率 (power)
力在单位时间内所作的功，称为功率。
牛顿定律在该参照系中不适用——非惯性系
讨论 (1) 凡是牛顿运动定律严格成立的参照系称为惯性系。
(2)实验表明：在地面上，牛顿运动定律是相当精确的定 律，因此通常取地面参照系为惯性参照系。
(3) 相对于一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。
a绝对 a相对 a牵连
a绝对 a相对
a牵连
0
F ma都成立
0 2m
6m
v y
v0
dy dt
y
v0t
x
F0
6mv
3 0
y3
例 以初速度v0 竖直向上抛出一质量为m 的小球，小球除受
重力外，还受一个大小为αmv2的粘滞阻力。
求 小球上升的最大高度。
解 f m(g v 2) m dv dv g v 2
dt dt
dv dv dy dv v dt dy dt dy
解 F 6t dv
m
dt
v 3t 2 dx dt
dx 3t 2dt
A
x
Fdx
t
F
3t 2dt
236t 3dt 144J
0
0
0
P
F
v
12t 3t 2
288W
§3.2 几种常见力的功
一.重力的功(Work Done by Gravitational Force) z
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
惯性力
F0 ma0
mg N F0 mar
x 方向 N sin mar cos
y
N
ar x
mg
ma0
y 方向 N cos mg ma0 mar cos
N m(g a0)cos
ar (g a0)sin
第3章 功和能
(Work and Energy)
M
§3.1 功 (Work)
可看作所有质量放在球心处的质点与另一个质点之间相互
作用的万有引力。
二. 弹性力 (Elastic force ） N
N
P F1
dx
T1
T2
P F2 绳静止
T1 T2
绳加速运动 T1 T2
弹簧弹性力： F kx
三. 摩擦力(Friction)
静摩擦 (1) 分类 动摩擦
滑动摩擦力
（2） 力 (force)—— 使物体改变运动状态的原因 （3） 惯性参照系 —— 物体运动遵从第一定律的参照系
质点处于静止或匀速直线运动状态时：
Fi 0 —— 静力学基本方程
二. 牛顿第二定律 (Newton’s Second Law of Motion)
内容 一个物体的动量随时间的变化率正比于这个物体所
dx
G
mM L
lL dx l x2
G
mM l(l L)
G
mM L
1l
l
1
L
讨论 (1)当 l >>L 时
m
dM dx M
Ol
dx L x
(1)
G
l
mM (l L)
G
mM l2
(2)G很小，一般两物体之间的万有引力很小，故可忽略不计；
（3） 对一般具有球对称分布的物体与一个质点间的万有引力
第一定律 ——“力”的定义 第二定律 ——力产生的效果 第三定律 ——力的性质
牛顿定律的正确性被事 实所证明，它是质点动 力学的基本定律，也是 整个力学理论的基础。
§2.2 力学中常见的几种力
一. 万F2有1 引G力mr1(Um2 n2irve0rsalGgrmar1vm3ita2 trion) G 6.67 1011m3kg1s2
1 d(v 2 ) g α v 2 2 dy y
d(v 2 )
(g v
2
)
1
d(g v 2 ) (g v 2 )
2dy
H
1
0 d(ln(g v 2 )) 2
H
dy
v0
0
v0 O
H
1
ln
(
g
v
2 0
)
2
g
mg fr
解题步骤(Problem-Solving Procedures)：
滚动摩擦力
f F
(2) 摩擦力的方向总是与 “相对运动”的方向 相反或相对运动趋势
f2
12 3
F
的方向相反；
P f1
(3) 静摩擦力随外力变化而变化：最大静摩擦力。
F N
Fmax 0N
§2.3 牛顿运动定律的应用
(Applications of Newton’s Laws)
一. 微分问题
已知运动状态，求F
y 2 x2
P
g dx
2g
例 一个质量为m 的珠子系在线的一端，线的另一端绑在墙上 的钉子上，线长为l 。先拉动珠子使线保持水平静止，然后 松手使珠子下落。
求 线摆下 角时这个珠子的速率和线的张力。
解 切向 mg cos m dv
①
法向
T
mg sin
dt m
v
2
②
l
mg cos
m dv ds
ds dt
解 F T sin 0
T cos mg 0
Y
L
F mgtg
X
A
F
dr
F
cosds
mgtg cosds 0 mgtg cosLd 0
mgL1 cos0
T
F
G
例 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动
求 t = 02s 内F 作 的功及t = 2s 时的功率。
m m0
相关,如相对论效应问题。
1
v c
2 2
三. 牛顿第三定律 (Newton’s Third Law of Motion)
内容 两物体1、2相互作用时，作用力和反作用力大小
相等，方向相反，且在同一条直线上。
F12 F21 讨论（1） 成对性 —— 物体之间的作用是相互的；
（2） 一致性 —— 作用力与反作用力性质一致； （3） 同时性 —— 相互作用之间是相互依存，同生同灭。
求 粒子的运动轨迹。 解 由牛顿定律知：
y
F0
Fx F0t max Fy may 0
ax
dv x dt
dv x
F0t m
dt
v0
m F (t) x
v 0
x
dv
x
t 0
F0 t m
dt
vx
F0t 2 2m
O
vx
dx dt
dx
F0t 2 2m
dt
x
dx 0
t F0t 2 dt x F0 t3
F
r
n
dA
F
dr
cos
F
dr
O
r
r dr
F
y
F 在ab一段上的功：A
b
F
dr
x
aL
b
dr ds
在直角坐标系中
路程
A
b
F cos ds
元
aL
F dr
Fxi
Fy
j
dxi dyj
Fz
k
dzk
A abL（ Fxdx Fydy Fzdz）
· 合力的功 (Work done by several forces) F Fi
解
vx
dx dt
4t 2
dx 4t 2dt y=16~32m
vy
dy dt
16
y 16t
t= 1~ 2s
Fx
m dvx dt
80t
Fy
m dvy dt
0
A
Fxdx Fydy
2 320t 3dt 1200 1
例 已知用力 F 缓慢拉小球，F 保持方向不变
求 = 0 时， F 作的功。
• 瞬时性 —— 第二定律是一个瞬时关系式
• 矢量性 ——力的叠加原理（分力的总效果等于合力的效果）
• 对应性 —— Fi ai
(3直) 不角同坐坐标标系系：中的F表i 示m形式ai ma
自然坐标系：
Fx
Fix
m dv x dt
m
d2 dt
x
2
Fy
Fiy
m dv y dt
m
d2 dt
说明
(1) 惯性力是虚拟力，没有施力者，也没有反作用力。不满
足牛顿第三定律。
(2) 惯性力的概念可推广到非平动的非惯性系。
例 一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以 匀加速度a0 上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求 物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。
解 方法（一）取地面为参考系
M1 m
A
M2 F dr
M1 L
Z2 （ mg）dz
Z1L
M2
G
重力 所mg作（的z功1 等 z于2）重力的大小乘以质点起始x位置与末了 y
位置的高度差。
结论: (1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路