湖北省黄冈市高三数学5月适应性考试试题 理 新人教A版

黄冈市2014年高三年级5月份适应性考试
数学试题（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数1322
z i =-
+，则复数z 3=( ) A . 1 B . -1 C . 2 D . -2 2. 设全集U =R ，A ={x |x (x -2)<0}，B ={x |y =ln (1-x )<0}，则图
中阴影部分表示的集合为( )
A ．{x |0<x ≤1}
B ．{x |1≤x <2}
C ．{x |x ≥1}
D ．{x |x ≤1}
3. 已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，命题q :“∃x ∈R 使x 2
+2ax +2-a =0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A . {}1a a ≥
B . {}212a a a -或≤≤≤
C . {}21a a -≤≤
D . {}21a a a -=或≤
4. 函数y =sin 2x +acos 2x 的图象左移π个单位后所得函数的图象关于直线8
x π
=-
对称，
则a =( )
A . 1
B . 3
C . -1
D . - 3
5. 在区域20200x y x y y ⎧+-⎪⎪-+⎨⎪⎪⎩
≥内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2
=1内的概率为( )
A ．
8π B ．6π C ．4π D ．2
π 6. 非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足0AB AC
BC AB
AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪
⎝
⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且12
AB AC AB
AC
⋅=u u u r u u u r u u u
r u u u r ，则⊿ABC 为( )
A . 三边均不等的三角形
B . 直角三角形
C . 等边三角形
D . 等腰非等边三角形 7. 甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
( )种
A . 30
B . 36
C . 60
D .72 8. 一个几何体的三视图如图所示，
这个几何体的体积是( )
A .
253π
B .343π
C .1633π+
D .16123
π+
9. 过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左焦点F (-c ，0)作圆x 2+y 2=a 2
的切线，切点为E ，延长FE
交抛物线y 2
=4cx 于点P ，O 为原点，若|FE |=|EP |，则双曲线离心率为( )
A 15+
B 13+
C 422-
D 422
+ 10. 函数f (x )=ax 2
+bx +c (a ≠0)的图象关于直线2b
x a =-
对称。

据此可推测对任意的非0实数a 、b 、c 、m 、n 、g 关于x 的方程m [f (x )]2
+n f (x )+g =0的解集不可能是( ) A . {1,3} B . {2,4} C . {1,2,3,4} D . {1,2,4,8}
第II 卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在答题卡的相应位置。

11. 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进
行统计，其频率分布直方图如图所示。

若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 .
12. 已知集合A ={x |x =2k ，k ∈N*}，如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x = .
13. 设a 、b 、c 为正数，a +b +9c 2
=13a b c 的最大值是 ，
此时a +b +c = .
14. 1955年，印度数学家卡普耶卡（D .R . Kaprekar ）研究了对四位自然数的一种交换：任
给出四位数0a ，用0a 的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m ，再减去它的反序
数n (即将0a 的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数1a m n =-，然后继续对1a 重复上述变换，得数2a ，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论0a 是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k 次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t (这个数称为Kaprekar 变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar 变换的核为 .
15. （几何选讲选做题）以Rt ⊿ABC 的直角边AB 为直径作
圆O ，圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与 BC 交于E ，若BC =6，AB =8，则OE = .
16. （坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为
24sin πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，则点A (2，74π)到这条直线的距
离为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本大题满分12分）
设函数()223f x cos x sin x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
（1）求函数f (x )的最大值和最小正周期。

（2）设A 、B 、C 为⊿ABC 的三个内角，若13cos B =，124C f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且C 为锐角，求
sinA .
18.（本大题满分12分）
函数f (x )对任意x ∈R 都有()()112
f x f x +-=
. （1）求12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
和11n f f n n -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(n ∈N*)的值；
（2）数列{a n }满足：()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求a n ；
（3）令441n n b a =-，2222
123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+，1632n S n
=-，试比较T n 和S n 的大
小。

19.（本大题满分12分）
在斜三棱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥面ABC ，AA 1=2a ，A 1C =CA =AB =a ，AB ⊥AC ，D 为AA 1
中点。

（1）求证：CD ⊥面ABB 1A 1；
（2）在侧棱BB 1上确定一点E ，使得二面角E -A 1C 1-A 的大小为π
3.
20.（本大题满分12分）
在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次。

某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B
（12（2）求随机变量ξ的数学期望E (ξ)； （3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

21.（本大题满分13分）
已知P 是圆M ：x 2+y 2+4x +4-4m 2
=0(m >0且m ≠2)上任意一点，点N 的坐标为(2，0)，线段NP 的垂直平分线交直线MP 于点Q ，当点P 在圆M 上运动时，点Q 的轨迹为C 。

（1）求出轨迹C 的方程，并讨论曲线C 的形状；
（2）当m =5时，在x 轴上是否存在一定点E ，使得对曲线C 的任意一条过E 的弦AB ，
2
2
11EA
EB
为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由。

22.（本大题满分14分）
已知f (x )=e x
-t (x +1).
（1）若f (x )≥0对一切正实数x 恒成立，求t 的取值范围；
（2）设()()x t
g x f x e
=+
，且A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是曲线y =g (x )上任意两点，若对任意的t ≤-1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；
（3）求证：()121n
n
n
n
n n ++⋅⋅⋅+-≤(n ∈N*).
参考答案
二、填空题
11、20 12、11 13、 14、6174 15、5 16 三、解答题
17、【解】（1）()12223
3
2
cos x
f x cos xcos
sin x sin
π
π
-=-+
111222222cos x x cos x =
-+-
122x =-.………3′
∴当222
x k π
π=-
+，即4
x k π
π=-
+(k ∈Z )时，()f x =
最大值，………4′ f (x )的最小正周期22
T π
π=
=，………5′
故函数f (x )π. ………6′
（2）由124C f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，即1124-=-，解得sinC =。

又C 为锐角，∴3
C π
=. ………8′
∵1
3
cosB =
，∴sin B ==.
∴()()sin A sin B C sin B C sinBcosC cos BsinC π⎡⎤=-+=+=+⎣⎦
1123=
+=. ………12′
18、（1）【解】令n =2，则1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；令x n 1=得111
2n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
………4′ （2）由()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫
=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
两式相加得：122n n a +=
，∴1
4
n n a +=………8′ （3）4441n n b a n ==-，()2216161
11611n b n n n n n ⎛⎫=<
=- ⎪--⎝⎭
(n ≥2) ()23211111116161161321223122n n T S n n n n ⎛⎫⎛
⎫=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⎝⎭⎝⎭
∴n n T S ≤.………12′
19、（1）【证】∴面ACC 1A 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ∴AB ⊥面ACC 1A 1，即有AB ⊥CD ；
又AC =A 1C ，D 为AA 1中点，则CD ⊥AA 1 ∴CD ⊥面ABB 1A 1………6′ （2）【解】如图所示以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴，CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系C -xyz ，则有A (a ,0,0),B (a ,a ,0),A 1(0,0,a ), B 1(0,a ,a )
C 1(-a ,0,a )，设()E x,y,z ，且1BE BB λ=u u u r u u u u r
， 即有()()0x a,y a,z a,,a λ--=- 所以E 点坐标为()()
1a,a,a λλ-
由条件易得面A 1C 1A 的一个法向量为()1010n ,,=u u r
设平面EA 1C 1的一个法向量为()2n x,y,z =u u r
，
由21121n A C n A E
⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r 可得()()0110ax ax ay az λλ-=⎧⎪⎨
-++-=⎪⎩ 令y =1，则有21011n ,λ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
u u r ………9′
则()
12
12
2
132111n n cos n n πλ⋅===+-u u r u u r u u r u u r
，得31λ=-11′ ∴当1
313BE BB =-
u u u r u u u u r 时，二面角E -A 1C 1-A 的大小为3π………12′
20、【解】（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知
()()()2
12011003P q q .ξ==--=，解得208q .=………2′
（2）根据题意
()()()1
1122221107520208024P P q C q q ....ξ===--=⨯⨯⨯=.………3′
()()()22
21231025108001P P q q ....ξ===-=⨯-=………4′
()()223124107508048P P q q ...ξ===-=⨯=………5′
()()41212251025080250208024P P q q q q q ......ξ===+-=⨯+⨯⨯=.………6′
因此()00032024300140485024363E ......ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………8′ （3）用C 表示事件“该同学选择第一次在A 处投，以后都在B 处投，得分超过3分”， 用D 表示事件“该同学选择都在B 处投，得分超过3分”， 则()()()3445048024072P C P P P P ...ξξ==+==+=+=. ………9′
()()2122222210820802080896P D q C q q q .....=+-=+⨯⨯⨯=.………11′
故P (D )>P (C ).………12′
即该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A 处投以后都在B 处投得分超过3分的概率。

21、【解】（1）m >2，22
22
14
x y C :m m +=-，以N ，P 为焦点的椭圆………2′ M <2，22
22
14x y C :m m -
=-，以N ，P 为焦点的双曲线………4′ （2）由（1）曲线C 为2
215
x y +=， 设()00E x ,，分别过E 取两垂直于坐标轴的两条弦CD ，C D ''，
则
EC
ED
EC ED 2
2
2
2
1111+
=
+
'
'
，即
x x x 22
2
00
2
11115
=+
-
解得x 0=E
若存在必为0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
定值为6. ………6′
下证0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足题意。

设过点
E 0⎫⎪⎪⎝⎭
的直线方程为x ty =，代入C 中得: (
)
2
25
50
t
y +-=，设()11A x ,y 、()22B x ,y ， 则1235y y t +=+，()
12
25
35y y t ⋅=-+………8′ ()()()
2
2
222
2
2
22
121
2
111
1
1
11111y y t y
t y
t EA
EB
⎛⎫
+
=
+
=
+ ⎪+++⎝⎭
()
()()()
2
221212
122222
2
121221
111y y y y y y y y t t y y +-+=
=++ ()
(
)
2
222
2
5
235351615
3
5t t
t t +++⎝⎭=⋅
=+⎡
⎤⎢⎥+⎢
⎥⎣⎦
.………13′ 同理可得E 0,⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭也满足题意。

综上得定点为E 0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，定值为.EA EB 22116+=
22、【解】（1）()01
x
e f x t x ⇔+≥≤(x >0)恒成立。

设()1x
e p x x =+(x ≥0)，则()()
2
01x xe p x x '=+≥ ∴()p x 在[]0x ,∈+∞单调递增，()()01p x p =≥（x =1时取等号）， ∴t ≤1………4′
（2）设x 1、x 2是任意的两实数，且x 1<x 2
()()2121
g x g x m x x ->-，故()()2211g x mx g x mx ->-
设()()F x g x mx =-，则F (x )在R 上单增，………7′ 即()()0F x g x m ''=->恒成立。

即对任意的t ≤-1，x ∈R ，()m g x '<恒成立。

而(
))
2
13x
x t g x e t t t e '=--=-+≥≥
故m <3………9′
（3）由（1）知，(
)11
11x x x x e e ,x e +--+=∴≤≤
取121k x (k ,,,n )n ==⋅⋅⋅-，则1n
n
k k n
n k e e .n e -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≤
()
11
111111111111n n k
n n n n n k k e e k e e n e e e e e e e ---==-⎛⎫⎛⎫=⋅=-<< ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑≤ 11
111n n n n n k k k ,k n n --==⎛⎫<∴< ⎪⎝⎭∑∑
∴()121n
n n n n n ++⋅⋅⋅+-≤(n ∈N*)………14′
命 题：红安一中 涂建兵
审 题：红安一中 周静堂。