达州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

达州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若321
1364n n n n A A C -+-=，则n =（） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
由321
1364n n n n A A C -+-=得322
1364n n n A A C +-=，即()()()()13126142
n n n n n n n +----=⨯
，然后即可求
出答案 【详解】
因为321
1364n n n n A A C -+-=，所以322
1364n n n A A C +-=
所以()()()
()13126142
n n n n n n n +----=⨯
即()()()()3126121n n n n ----=+，即2317100n n -+= 解得5n = 故选：D 【点睛】
本题考查的是排列数和组合数的计算，较简单.
2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）
A ．{2,3,4,5}
B ．{1,2,3,4,5,6}
C ．{1,2,3,4,5}
D ．{2,3,4,5,6}
【答案】A 【解析】
由题意，循环依次为23135a a +≤⇒≤，2(23)3131a a ++>⇒>，
所以可能取值的集合为{2,3,4,5}，故选A .
3．正数a b c 、、满足235log log log 0a b c ==->，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a <<
【答案】C 【解析】
给定特殊值，不妨设235log log log 1a b c ==-=， 则：1
2,3,,5
a b c c a b ===∴<<. 本题选择C 选项.
4．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B I 的子集
个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有22=4个. 【详解】
由题意得，直线1y x =+与抛物线2
y x =有2个交点，故A B I 的子集有4个.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题. 5．已知变量x ，y 之间的一组数据如表：
由散点图可知变量x ，y 具有线性相关，则y 与x 的回归直线必经过点（ ） A ．（2，2.5） B ．（3，3）
C ．（4，3.5）
D ．（6，4.8）
【答案】C 【解析】 【分析】
计算出,x y ，结合回归直线方程经过样本中心点，得出正确选项. 【详解】
本题主要考查线性回归方程的特征，回归直线经过样本中心点.
4, 3.5
x y ==，故选C
【点睛】
本小题主要考查回归直线方程过样本中心点()
,x y ，考查平均数的计算，属于基础题. 6．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A ．34
B ．55
C ．78
D ．89
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意，①1,1,2x y z ===⇒②1,2,3x y y z z =====⇒③2,3,5x y z ===
⇒④3,5,8x y z ===⇒⑤5,8,13x y z ===⇒⑥8,13,21x y z ===⇒⑦13,21,34x y z ===⇒⑧21,34,5550x y z ===>，从而输出55z =，故选B.
考点：1.程序框图的应用.
7．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲
线的渐近线在第一象限的交点为P ，且P 满足122PF PF b -=，则C 的离心率e 满足（ ）
A ．2310e e -+=
B ．42310e e -+=
C ．210e e --=
D ．4210e e --=
【答案】D 【解析】
分析：联立圆与渐近线方程，求得M 的坐标，由122PF PF b -=，得点P 在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求． 详解：
由222b y x a x y c
⎧
=⎪
⎨⎪+=⎩，得2222
x a y b ⎧=⎨=⎩，即(),P a b ， 由122PF PF b -=，，即
2b =，
由222
c
b a
c e a
=-=， ， 化简得42240c a c a --=，即4210e e --=， 故选D.
点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 8．已知函数()6,2,
3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩
，()0,1a a >≠且的值域是[)4,+∞，
则实数a 的取值范围是( ) A ．[]1,1- B ．(]1,2
C ．[]0,4
D ．[]1,3
【答案】B 【解析】
分析：当x≤2时，检验满足f （x ）≥1．当x ＞2时，分类讨论a 的范围，依据函数的单调性，求得a 的范围，综合可得结论．
详解：由于函数f （x ）=6,2,
3log ,2a x x x x -+≤⎧⎨+>⎩
（a ＞0且a≠1）的值域是[1，+∞），
故当x≤2时，满足f （x ）=6﹣x≥1．
①若a ＞1，f （x ）=3+log a x 在它的定义域上单调递增，
当x ＞2时，由f （x ）=3+log a x≥1，∴log a x≥1，∴log a 2≥1，∴1＜a≤2． ②若0＜a ＜1，f （x ）=3+log a x 在它的定义域上单调递减， f （x ）=3+log a x ＜3+log a 2＜3，不满足f （x ）的值域是[1，+∞）． 综上可得，1＜a≤2， 故答案为：B
点睛：本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.
9．设集合{}
{}2
|20,|14A x x x B x x =-<=≤≤,则A B =I （ ）
A ．(]0,2
B ．()1,2
C ．[)1,2
D ．()1,4
【答案】C 【解析】 【分析】
解不等式得集合A ，B,再由交集定义求解即可. 【详解】
由已知{|02},{|14},A x x B y y =<<=≤≤所以，[
)1,2,A B ⋂=
故选C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
10．已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型
函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】
根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
【点睛】
该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
11．已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把函数为增函数，转化为在上恒成立，得到，构造新函数
，利用导数求得的单调性与最值，即可求解.
【详解】 由题意，函数为增函数，
则
在
上恒成立，则
，
设
则
令，得到 ，则函数 在上单调递增，在上单调递减，则
，
即的取值范围是，
故选A. 【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性与极值（最值）求解参数问题，其中解答中根据函数的单调性，得到
，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，
以及推理与运算能力，属于中档试题.
12．已知二项式21n
ax x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中的常数项为3
27n C ，则a =
（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
二项展开式的二项式系数和为512，可得2512n =，使其通项公式为常数项时，求得6r =，从而得到关于a 的方程.
【详解】
Q 展开式中各项的二项式系数和为512，∴2512n =，得9n =，
29191
()()r r r r T C ax x
-+=-Q 91839(1)(0,1,,9)r r r r C a x r --=-=L ，
当6r =时，633
79927T C a C ==，解得：3a =.
【点睛】
求二项式定理展开式中各项系数和是用赋值法，令字母都为1；而展开式各项的二项式系数和固定为2n . 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

【答案】20π 【解析】 【详解】
24π20S R π∴==
14．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 【答案】
81125
【解析】
该同学通过测试的概率为2233
3381·
0.6?0.4?0.6125C C +=，故答案为
81
125
. 15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则484128,,S S S S S --成等差数列.类比以上结论有：设等比数列
{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，__________，
12
8
T T 成等比数列. 【答案】
8
4
T T 【解析】由于等差数列的特征是差，等比数列的特征是比，因此运用类比推理的思维方法可得： 4T ，
8
4
T T ， 12
8T T 成等比数列，应填答案84
T T 。

16．周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______3cm . 【答案】400027
π
【解析】 【分析】
设矩形的一边长为x ,则另一边长为10x - ,(010)x <<,再利用圆柱的体积公式求得体积的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值. 【详解】
设矩形的一边长为x ,则另一边长为10x - ,(010)x <<,
则圆柱的体积2
(10)V x x π=-=4(10)22x x x π⋅⋅⋅-310224()3
x x
x π++-≤=400027
π, 当且仅当102x x =-,即20
3x =时等号成立.
故答案为:
400027
π
. 【点睛】
本题考查了圆柱的体积公式和基本不等式,属中档题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．保险公司统计的资料表明:居民住宅距最近消防站的距离x (单位:千米)和火灾所造成的损失数额y (单位:千元)有如下的统计资料:
（1）请用相关系数r (精确到0.01)说明y 与x 之间具有线性相关关系; （2）求y 关于x 的线性回归方程(精确到0.01);
（3）若发生火灾的某居民区距最近的消防站10.0千米,请评估一下火灾损失(精确到0.01). 参考数据:
6
666
2
21
1
1
1
175.40,()()80.30,()14.30,()471.65,6744.6082.13i
i i i i i i i i y
x x y y x x y y =====--=-=-≈≈∑∑∑∑
参考公式: 1
1122
()()
()()
i i i n
i i i i n
n
x x y y r x x y y ===∑--=
∑-∑-
回归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+,其中1
2
1
()()
,()
ˆˆˆn
i
i
i n
i
i x x y y b a
y bx x x ==--==--∑∑ 【答案】（1）见解析（2） 5.627.31y x =+（3）火灾损失大约为63.51千元． 【解析】
分析：⑴利用相关系数计算公式，即可求得结果
⑵由题中数据计算出x y ，，然后计算出回归方程的系数ˆa ，ˆb
，即可得回归方程 ⑶把10x =代入即可评估一下火灾的损失 详解：（1）()()
()()
6
16
6
22
1
1
80.30
0.9882.13
14.30471.656744.60i i i i i i i x x y y r x x y y ===∑--=
=
==≈⨯∑-∑-
所以y 与x 之间具有很强的线性相关关系； （2）175.40
3.9,29.236
x y ==
≈ ()()()
6
1
62
1
ˆi i i i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑ 80.30 5.6214.30=≈
ˆˆa
y bx =- 29.23 5.62 3.97.31=-⨯=， ∴y 与x 的线性回归方程为 5.627.31y x =+ （3）当10x =时， 5.6210+7.31=63.51y =⨯， 所以火灾损失大约为63.51千元．
点睛：本题是一道考查线性回归方程的题目，掌握求解线性回归方程的方法及其计算公式是解答本题的关键．
18．如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售情况的某项指标统计：
（I ）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；
（Ⅱ）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行比对分析，共选了3次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X ，求X 的分布列及数学期望
【答案】（Ⅰ）甲的方差为52,乙的方差为9
2
，甲连锁店该项指标稳定（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（I ）先求得两者的平均数，再利用方差计算公式计算出方差，由此判断甲比较稳定.（II ）利用二项分布的分布列计算公式和期望计算公式，计算出分布列和数学期望. 【详解】
解：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲连锁店的数据是6,7,9,10， 乙连锁店的数据是5,7,10,10
甲、乙数据的平均值为8.设甲的方差为2
1S ,乙的方差为2
2S 则2
152S =
,229
2
S =, 因为22
12S S <,所以甲连锁店该项指标稳定.
（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各随机选一个， 甲的数据大于乙的数据概率为
63=168
, 由已知，X 服从33,8B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
, X 的分布列为：
数学期望39388
EX =⨯=. 【点睛】
本小题主要考查茎叶图计算平均数和方差，考查二项分布分布列和数学期望的计算，属于中档题. 19．已知函数2
1()ln 1()2
f x x a x a R =
-+∈. （Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若20a -≤<，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式1212
11
()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）1a ≤；（Ⅱ）12m ≥.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）将问题转化为()0f x '≥对[]1,2x ∀∈恒成立，然后利用参变量分离法得出()
2
min
a x ≤，于是可得
出实数a 的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()y f x =在[]1,2上是增函数，设1212x x ≤≤≤，并设()h x =
()m
f x x
+
，得知()y h x =在区间[]1,2上为减函数，转化为()0h x '≤在[]1,2上恒成立，利用参变量分离法得到3m x ax ≥-，然后利用导数求出函数()3
g x x ax =-在[]1,2上的最大值可求出实数m 的取值范
围。

【详解】
（Ⅰ）易知()f x 不是常值函数，∵2
1()ln 12
f x x a x =-+在[]1,2上是增函数， ∴'()0a
f x x x
=-
≥恒成立，所以2a x ≤，只需2min ()1a x ≤=； （Ⅱ）因为20a -≤<，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[1,2]上单调递增， 不妨设1212x x ≤≤≤， 则()()1212
11
f x f x m x x -≤-，可化为21
21())m m f x f x x x +≤+（， 设21()()ln 12m m
h x f x x a x x x
=+
=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[1,2]上的减函数，即2()0a m
h x x x x
=--≤'在[1,2]上恒成立，
等价于3m x ax ≥-在[1,2]上恒成立，
设3
()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，
因20a -≤<，所以2
'()30g x x a =->，所以函数()g x 在[1,2]上是增函数，
所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立）． 所以12m ≥．即m 的最小值为1． 【点睛】
本题考查函数的单调性与导数之间的关系，考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数双变量不等式问题，应转化为新函数的单调性问题，难点在于利用不等式的结构构造新函数，考查分析能力，属于难题。

20．2016年底某购物网站为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从2016年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 95 88 75 82 90 94 98 65 92 100 85 90 95 77 87 70 89 93 90 84 82 83 97 73 91
根据会员满意度评分,将会员的满意度从低到高分为三个等级:
（1）根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； （2）以(1)中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立.
（i ）若从下半年的所有会员中随机选取2个会员,求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率； （ii ）若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X ，求X 的分布列及数学期望．
【答案】 (1) 可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为0.68和0.2. (2) （i ）()0.680.220.272P A =⨯⨯=；（ii ）分布列见解析，0.6. 【解析】
试题分析： （1）由给出的25个数据可得，非常满意的个数为5，不满意的个数为3，比较满意的个数为17，由此可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；
（2）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件A ，则()0.680.220.272P A =⨯⨯=. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，由题意，随机变量30.2X B ～（，）， 由此能求出X 的分布列，数学期望()E X 及方差()D X .
试题解析：（1）由给出的25个数据可得，非常满意的个数为5，不满意的个数为3，比较满意的个数为17，
172
0.68,0.22525
==Q
， ∴可估算该购物网店会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为0.68和0.2，
（2）（i ）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件A ，则()0.680.220.272P A =⨯⨯=. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，
()()3
010.20.512P X ==-=， ()()2
13110.20.20.384P X C ==-⨯=，
()()223210.20.20.096P X C ==-⨯=， ()330.20.008P X ===，
则X 的分布列为
由题可知()()()()~3,0.2,0.230.6,30.210.20.48X B E X D X ∴=⨯==⨯⨯-=. 21．已知函数()()2
17g x x m x m =--+-.
（1）若函数()g x 在[]
2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；
（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）5m ≤或9m ≥；（2）1m ≥-【解析】 【分析】
（1）求出函数图象的对称轴，根据二次函数的单调性求出m 的范围即可； （2）问题转化为2
(1)20x m x m -+++>对任意[1,1]x ∈-恒成立，设
2()(1)2h x x m x m =-+++，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m 的范围即可.
【详解】
(1)()g x 的对称轴的方程为1
2
m x -=，若函数()g x 在[]2,4上具有单调性， 所以
122m -≤或1
42
m -≥，所以实数m 的取值范围是5m ≤或9m ≥. （2）若在区间[]
1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，
则()2
1729x m x m x --+->-在[]1,1-上恒成立，即()2
120x m x m -+++>在[]
1,1-上恒成立，
设()()2
12f x x m x m =-+++，则()min 0f x >，
当
1
12
m -≤-，即3m ≤-时，()()min 1240f x f m =-=+>，此时m 无解， 当1112m --<<，即31m -<<时，()2min 11702424m m f x f m +⎛⎫==-++> ⎪
⎝⎭
，
此时11m -<<， 当
1
12
m -≥，即1m ≥时，()()min 120f x f ==>，此时1m ≥，
综上1m ≥-【点睛】
该题考查的是有关二次函数的问题，在解题的过程中，需要对二次函数的性质比较熟悉，再者要注意单调包括单调增和单调减，另外图像落在直线的下方的等价转化，恒成立问题要向最值靠拢. 22．已知函数()()1,23f x x g x x =-=+. （1）解不等式()()2f x g x -≥；
（2）若()()2f x g x m ≤+对于任意x ∈R 恒成立，求实数m 的最小值，并求当m 取最小值时x 的范围. 【答案】（1）423x x ⎧⎫
-≤≤-⎨⎬⎩⎭
（2）32
x ≤-
【解析】 【分析】
（1）零点分段去绝对值化简()()f x g x -解不等式即可；（2）()()2f x g x m <+恒成立，即
2223x x m --+≤恒成立，即()max 2223m x x ≥--+，由绝对值三角不等式求()max
2223x x --+即可求解 【详解】
（1）()()123f x g x x x -=--+
当32x ≤-
时，不等式化为42x +≥，解得2x ≥-，可得3
22x -≤≤-； 当312x -<<时，不等式化为322x --≥，解得43x ≤-，可得3423
x -<≤-；
当1x ≥时，不等式化为42x --≥，解得6x ≤-，可得x ∈∅. 综上可得，原不等式的解集为423x x ⎧⎫
-≤≤-⎨⎬⎩⎭
.
（2）若()()2f x g x m <+恒成立，则2223x x m --+≤恒成立，
()max 2223m x x ∴≥--+
又()()222322235x x x x --+≤--+=Q
m ∴最小值为5.
此时()()()()22
22230,2223,
x x x x ⎧-+≥⎪⎨-≥+⎪⎩ 3121,4x x x ⎧
≥≤-⎪⎪∴⎨⎪≤-⎪⎩
或解得32x ≤-. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题。