上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习题3

习 题 三 （一）
1.求下列矩阵的特征值与特征向量.
（1）1
33353331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭
答案
特征值为2,1321-===λλλ(二重)
对应的特征向量. 1111c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,23231110,,01c c c c --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
为不同时为零的任意常数.
（2）212533102A -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
答案
特征值为1231λλλ===-(三重)
对应的特征向量. 11,1k k -⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
为任意非零常数. (3) 563101121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
答案
特征值为1232λλλ===(三重)
对应的特征向量. 12122110,,01c c c c -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
为不同时为零的任意常数. (4) 222214241A -⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
答案
特征值为1236,3λλλ=-==(二重).
对应的特征向量分别为:112,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭232210,01k k -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。

(5) 322010423A -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪-⎝⎭
答案
特征值为1231,1λλλ===-(二重) 。

对应的特征向量分别为. 110,1k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭231120,02k k -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。

(6) 0
10010000
0010
010A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪- ⎪
-⎝⎭
答案
特征值为121λλ==-(二重) 341λλ==(二重) 。

对应的特征向量分别为. 120101,1010k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭340101,1010k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12,k k 为不同时为零的任意常数,34,k k 为不同时为零的任意常数。

(7) 13
12011300
2500
02A ⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
答案
特征值为121,1λλ=-=, 342λλ==(二重),
对应的特征向量分别为. 123120,,0000k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭361,30k ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
12,k k ,3k 均为任意非零常
数。

(8) 3101131001311013A -⎛⎫
⎪- ⎪
= ⎪- ⎪-⎝⎭
答案
特征值为123λλ==(二重), 345,1λλ==. 对应的特征向量分别为:
121001,1001k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341111,,1111k k ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
12,k k 为不同时为零的任意常数,3k ,4k 均为任意非零常数。

(9) 2111121111211112A --⎛⎫ ⎪-- ⎪
= ⎪-- ⎪--⎝⎭
答案
特征值为1231,λλλ===,(三重) 45λ=;
对应的特征向量分别为.123111100010001k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭411,,11k ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
123,,k k k 为不同时
为零的任意常数, 4k 为任意非零常数。

(10) 01
01010n n
A ⨯⎛⎫ ⎪
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ 答案
特征值为120n λλλ==
=, (n 重). 对应的特征向量为. 10,0k ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
k 为
任意非零常数。

2.设A 为4阶方阵，且 20,3,0,T E A AA E A +==<，求矩阵1,A A *-的一个特征值
解：
92.由3,||0T
AA E A =<知||9A =-，且2λ=-是A 的一个特征值，故
||92
A λ=为A *的一个特征值。

12
λ=-是1
A -的一个特征值.
若2A A =,则A 的特征值λ应满足：(1)0λλ-=。

因此A 的特征值只能是1或0.
3. 设A 为n 阶方阵，且 24A A =，证明: 256B A A E =-+为可逆矩阵. 证明 由24A A =，则A 的特征值λ满足24λλ=，得A 的特征值为0λ=或4λ=, 故2,3不是A 的特征值， 即 20,30E A E A -≠-≠ 而
25623(1)2(1)30
n
n
B A A E A E A E E A E A =-+=--=--⋅--≠
因此256B A A E =-+为可逆矩阵.
4.（1）设A 是5阶方阵，3λ=-是A 的四重特征值, 2λ=也是A 的特征值,求A 的特征多项式.
（2）设A 为三阶方阵，且已知0,320,320,A E A E E A -=+=-=求3阶方阵A 的全部特征值及A 的行列式。

解：（1）由于A 的特征多项式125()()()E A λλλλλλλ-=---， 因此4(3)(2)E A λλλ-=+-。

（2） 此题没有给出A ,故需要由已知条件
0,320,320,A E A E E A -=+=-=
求出A 的特征方程的根，即A 的特征值i λ要满足
0(1,2,3)i E A i λ-==。

利用行列式性质，由于
()313
23
3(1)0,0,12
223230,03
33322
3220,0233
A E E A E A A A E A E E A A E A E A E A A λλλ-=--=⇒-==⎛⎫
+=---=⇒--==- ⎪⎝⎭
-=-=⇒-==故为的一个特征值；，故为的一个特征值；，故为的一个特征值；
因此，12322133
A λλλ==-=
的全部特征值为，， 行列式12322
4133
9
A λλλ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝
⎭
5. 若20A A -=,则0与1至少有一个是矩阵A 的特征值。

证明：2001000A A E A E A E A -=⇒⋅-⋅⋅-=⇒⋅-=，或10E A ⋅-= 因此0与1至少有一个是矩阵A 的特征值
6. 设α是n 阶对称矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量.求矩阵
()1
T
P
AP -对应于特征值λ的特征向量。

解
()()
()
()
()()()()()
1
1
111
T
T
T
T
T
T
T
T T T T T T T P AP P A
P P A P
P
AP P P A P P P A P P αααλαλα-----==⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦
=== 即T
P α是矩阵()1
T
P AP -对应于特征值λ的特征向量。

7.设12,αα分别是n 阶方阵A 的对应于不同的特征值1λ与2λ的特征向量, 120,0k k ≠≠是常数,证明:1122k k αα+ 不是A 的特征向量。

证明:反证法，若1122k k αα+ 是A 的特征向量，则有矩阵A 的特征值λ，使得 ()()11221122
A k k k k ααλαα+=+ 得 11221122k A k A k k ααλαλα+=+ 即 1112221122k k k k λαλαλαλα+=+
()()1112220k k λλαλλα-+-=
有12120,0λλλλλλ-=-=⇒=矛盾。

8.设A 为4阶方阵，且1，2，3，4为矩阵A 的特征值，试求行列式：
（1）223A A E ++； （2）()1
22A A -*-
解（1）2236152845A A E ++=⨯⨯⨯=113400 （2）()
1
22A A -*
-=11122248A A A A A *
***-=-=4
195242⎛⎫
⎪⎝⎭
9（1）设A 为n 阶方阵，且满足23100A A E --=,试求A 的特征值. （2）设A 为n 阶方阵，且满足,0.T AA E A =<证明1-A 的一个特征值。

（3）设四阶方阵A 满足30,2,0T A E AA E A +==<，求A 的伴随矩阵A *的一个特征值。

解（1）由于方阵A 满足23100A A E --= 从而A 的特征值λ应满足：
23100λλ--=
即 2λ=-或5λ=
2
101, 1.0 1.
T T A A E AA E A A E A A A -+=====<=-(2)分析：为证明是的特征值，只要证明即可证明：由得即根据知 ()()T T T T A E A AA A E A A E A A E A E
+=+=+=+=-+=-+又因为
0,1.A E A +=-所以故是的一个特征值
（3）由题设条件43(1)330,E A E A E A +=---=--= 得A 的一个特征值为3λ=-，由2,T AA E =两边取行列式，得2
42216T AA E A =⇒== ，又0A <，故4A =-。

因0A ≠，故A 可逆，于是A 的伴随矩阵A *的一
个特征值为
44
33
A
λ
-=
=-。

10. 在下列各题中已知矩阵A 与B 相似，试求常数,x y ，且求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=成立
（1）2001
22,2,311A x B y --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
, （2） 111200242,0203300A B x y -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
解(1) 0,2x y ==-;
取可逆阵001210111P -⎛⎫ ⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
，可使1122P AP --⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。

(2)5,6,x y ==
取可逆阵111102013P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，可使1
226P AP -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
11第一题中哪些矩阵能相似于对角矩阵，对于能相似于对角矩阵的矩阵，求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵。

.
解1题的（1）、（4）、（5）、（6）、（8）、（9）能相似于对角矩阵，其中
（1）111110,101P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1122P AP -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；
（4）122210,201P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1633P AP --⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
；
（5）111020,101P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1111P AP -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪-⎝⎭
； （6）0101010
1,10101010P -⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪-
⎪⎝⎭11111P AP --⎛⎫
⎪- ⎪= ⎪
⎪⎝
⎭； （8）10110
111,10110111P ⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭13351P AP -⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪
⎝⎭； （9）11111
001,01010
011P -⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭11115P AP -⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
； 12设A 为n 阶方阵，证明: （1）若A B ,则T
T A B ；
（2）若A 可逆，则AB BA 。

证明（1）若A B ,则存在可逆阵,P 使得1P A P
B -=，ZE
()()1
1T
T
T T T T P
AP B P A P B --=⇒=因此T
T A B
（2）若A 可逆，则有()1A AB A BA -=,因此AB BA 13.若111P A P B -=，122P A P B -=，则 (1)1212A A B B ++, (2)1212A A B B 。

证明 (1)若111P A P B -=，122P A P B -=,
则()111
121212P A A P P AP P A P B B ---+=+=+
故1212A A B B ++
(2)由于()()111121212B B P A P P A P P A A P ---=⋅=，因此1212A A B B
14.设n 阶方阵()ij n n A a ⨯=，且 ()1r A =，证明: A 的n 个特征值为
1112223,0.nn a a a λλλ=++
+==
=
证明 由于
()1
1122(1)n n n
nn E A
a a a A
λλλ
--=-++
+++-
()1r A =，则A 的二阶以上子式全为零，从而有
()11122n n nn E A a a a λλλ--=-++
+
故A 的n 个特征值为
1112223,0.nn n a a a λλλλ=++
+==
==（1n -重）
15.（1） 设A 为2阶方阵，且0A <，证明 A 相似于对角矩阵。

（2）设111221
22a a A a
a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且11221,2,A a a =+>，证明A 相似于对角矩阵。

证明: （1）由于A 为2阶方阵，设A 的特征值为12,λλ,则120A λλ=⋅<,因此12,λλ为A 的两个不同的特征值,故A 可相似于对角矩阵。

（2）由于
()()()11
12
11221221
21
22
21122.
a a E A a a a a a a a a A λλλλλλλ---=
=-----=-++
又 11221,2,A a a =+>
故E A λ-的判别式()()22
11221122440a a A a a ∆=+-=+->,因此A 有两个
不同的特征值，从而可相似于对角矩阵
16.若A 可相似于对角矩阵，则其非零特征值的个数（重根重复计算）等于A 的秩()r A
证明 若A 可相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵P ,使得
12
1
n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
其中n λλλ,,,21 为n 阶方阵A=(a ij )n n ⨯的n 个特征值，
显然 12
1()()n r A r P AP r λλλ-⎛⎫ ⎪
⎪===
⎪ ⎪⎝
⎭
A 的非零特征值的个数（重根重复计算）
17.设A 与B 都是n 阶对角矩阵,证明A 与B 相似的充分必要条件是A 与B 对角线元素除了排列次序外是完全相同的.
证明 设A 与B 是对角线元素除了排列次序外是完全相同的n 阶对角矩阵,则我们可以用一系列行的调换(第二类变换)与同类型的的调换把A 化成B ,即对应的,存在一系列具有性质1i i P P -=的初等方阵
12,,
,s P P P ,使得
2112
s
s P P PAPP P B =,
即 111
2112
s s P P P APP P B ---=
令 12
s P PP P =，则P 为可逆阵,于是有1P AP B -=,故A 与B 相似.
18 已知矩阵
1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2132M ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭。

求()1n
M AM -,其中n 为正整数.
解
()1
121121164320132916n
n M
AM M A M
n n
n n n --=-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
19.求100101,A A ,其中
011011(1) 202,(2) 102,110120A A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪
⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
解
100101
1004910150
112(1)
202,;213222(2)
(6)251,(6)215A A A A A A --⎛⎫ ⎪=-= ⎪
⎪--⎝⎭
---⎛⎫
⎪=---=- ⎪
⎪--⎝⎭
20.设矩阵
021 252483A -⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
,
求
（1）求A 的特征值；
（2）问A 能能否相似于对角矩阵，若相似，求可逆阵P ，使得1P AP -为对角矩阵。

（3）求n A ,其中n 为正整数.
解（1）解得 A 的特征值为1230,1,3λλλ===
（2）由于A 有三个不同的特征值，故A 能相似于对角矩阵013⎛⎫
⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭
A 的特征值1230,1,3λλλ===对应的特征向量分别是1112,
0,2411-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
取111202411P -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭，则1P AP -=Λ （3）021252483n A A -⎛⎫
⎪=--= ⎪ ⎪--⎝⎭
21.设123,,λλλ是三阶方阵A 的特征值, 对应的特征向量分别是
1001,1,0111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
求()T
n A ,其中n 为正整数
解 由于三阶方阵A 的特征值123,,λλλ对应的特征向量
1001,1,0111⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
是线性无关的，故A 能相似于对角矩阵 因此,取1
23100110,111P λλλ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=Λ= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
则
()()
1123112122233100100110110111011T
T
n T
n
n
n n n n n n n n n n A P P λλλλλλλλλλλλ-=Λ=
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛⎫
-- ⎪
=- ⎪
⎪⎝
⎭
22. 已知三阶方阵A 的特征值分别为1231,0,1λλλ===-,对应的特征
向量分别是
1222,1,2221-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
试求矩阵A .
解:由于A 有三个不同的特征值1231,0,1λλλ===-，故A 能相似于对角矩阵
取122212221P -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,则11203
3122003312103
3A P P -⎛⎫- ⎪⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭
23.设4阶方阵10001002202
32a
A b c
⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，问,,a b c 取何值时，A 能相似于对角矩阵？求出它的相似对角矩阵。

解:由于A 的特征值为12341, 2.λλλλ====A 能相似于对角矩阵的充要条件
4()2,4(2)2r E A r E A --=--=即
0000
00
000000042202102102312311
0001
00010010042202002002302
3
0a a r r a b b c
c a a r r c b b c c ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--
⎪ ⎪-=⇔=⇒= ⎪
⎪
------
⎪ ⎪
--------⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪-=⇔=⇒= ⎪
⎪
----
⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
因此0,0,a c ==b 任意时，A 能相似于对角矩阵1122⎛⎫ ⎪
⎪Λ= ⎪ ⎪
⎝⎭
24. 设向量12112,001αα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三阶方阵A 的对应于特征值2λ=的特征向量,若向量122β-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
,求A β 解 因为12111222020201βαα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪==-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故β也为A 的对应于特征值2λ=的特征向量,因此2244A ββ-⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭。

25.三阶方阵A 的特征值为111,,,223
B A 与相似，试求行列式
21*1
()122D B B E -=+-
其中*B 为B 的伴随矩阵
21**111
()122
1111
.,,22312
1
.
12
D B B
E B A B B B B ---+-==⨯⨯===解：由于方阵的行列式等于该方阵的所有特征值的乘积，故要
求行列式的值，只要求方阵的全部特征值即
可由于相似方阵有相同的行列式故故
21*121121111
()122()12()2122()()
B B E B B E B B E f B ------+-=+-=+-=于是有
2()2 1.
f x x x =+-其中，多项式
11111
,,.
223
2,2,3()(2)9,(2)9,(3)20B B f B f f f --===由于相似矩阵有相同的特征值，故的全部特征值为 可知的全部特征值为，的全部特征值为所以，所求行列式的值为1()99201620
D f B -==⨯⨯=1121126(1,,1)121112..T k A A k A ααλ--⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
.已知向量是矩阵的逆矩阵的一个特征
向量试求常数的值及所对应的的特征值 11
,0,121211111121,12111211112A A k k
k k k k αλαλααλ
λλλλ-=≠=⎧
++=⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪
⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪++=⎪⎩
解法一：由题设条件，有故，且有即
或1
2,1;1,.
4
k k λλ=-===由此解得或12111(1)(4)0,1,1,4.1
1,1,.,2,114
1
4,1,.
4
A A E A A A A k A A k A ααλλλαααα-----=--===-==解法二：因为为的特征向量，知亦是的特征向量
由得的全部特征值为故的全部特征值为由解得此时的特征值为，；
由解得此时的特征值为
1231123327(1,2,2),(0,1,1),(0,0,1),,0,.
(2,3,).
T T T n A A A A A A n αααααααα==-====-=.已知向量方阵满足
求及
1231231231331,0,1,,,,,,100100[,,]210,000211001,
A A P P AP ααααααααα--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==-Λ=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=Λ解：有题设条件知阶方阵有个互不相同的特征值对应的特征向量分别为由特征值与特征向量的性质知线性无关，故相似于对角矩阵
令矩阵对角矩阵则有1100100100100210000210200211001411611A PDP -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故
1111
1()()
()
10010010021000021021100(1)41110020024(1)(1)(1)n n n
n n n
A P P P P P P P P ----+=ΛΛΛ=Λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡
⎤⎢⎥=⎢⎥
+---⎢⎥⎣⎦
28.试求,x y 及可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵。

（1）3221423A x x -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
（2） 1114335A x y -⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
，且A 有三个线性无关的特征向量，2λ=是A
的二重特征值。

解 (1) 先求A 的特征值 由于
311323
22122
101
4
23
123
122
122(1)01
(1)01
1
2
3
1
(1)(1)0
E A x x C C x
x r r •x λλλλλλλλλλλλλλλλ-----=
+-++---+--+--=-+--+-+--++=+-= 得A 的特征值为1231,1λλλ==-= 。

1(A 由于只有一个重特征值－二重）知，
12 212)023()2()1A E A x r E A r E A λλ⇔==-⇔-=⇔--=⇔--=可相似于对角阵
属于重特征值的线性无关特征向量正好有个齐次线性方程组（－的基础解系含个解向量－，42242200422000 1 0 0 , E A x x x x x x A ----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
-=-→-⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
==矩阵
－的秩为当且仅当，
故当且仅当可相似于对角阵。

0 322010423x A A =-⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
当时，矩阵为
12121120102T
T
A •••λλαα==-计算可得的特征值对应于的线性无关特征向量为
＝（，－，），
＝（，，）
[]3312
31110111120002111.1T
••P P AP λαααα-=⎡⎤
⎢⎥
==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
-⎛⎫ ⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
对应于的特征向量为＝（，，）。

故所求的可逆矩阵为
它使得
（2）因为A 有三个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，所以A 的对应于2λ=的线性无关的特征向量有2个，故()21r E A -= 而
1111
112202333000E A x y x x y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---−−−→---⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
行变换
于是，解得2,2x y ==- ，111242335A -⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
，
其特征多项式2111
2
4
2(2)(6)3
3
5
E A λλλλλλ---=--=---，
A 的特征值为122λλ==，36λ=
A 的特征值122λλ==，其对应的特征向量为
12111,001αα-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A 的特征值36λ=对应的特征向量为
312,3α⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
令可逆阵123111[,,]102013P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对角阵200020006⎡⎤
⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1.P AP -=Λ 29.（1）已知3阶方阵5801803325x
A x x -⎛⎫ ⎪=+ ⎪
⎪+⎝⎭
的秩数()3r A <，且3阶方阵B 的三个特征值1,1,0-对应的特征向量依次为:
123122,3,1,121x x x x x x βββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
试求x 及3阶方阵B 。

（2）设矩阵153,10a
c A b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭且1,A =-A 的伴随矩阵A *
有一个特征值为0λ，111α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
是伴随矩阵A *的对应于特征值0λ的一个特征向量，求常数0,,,a b c λ的值。

解 （1）由()3r A <,知5
8
18(1)003325
x
A x x x x -=+=+=+，得0x =或1x =-。

当0x =时，1231020,3,1,121βββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可验证1231020,3,1121βββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性无关，符合要求它们是B 的三个特征值1,1,0-对应的特征向量，即
112233,,0B B B ββββββ==-=⋅
亦即
()()12312,,,,0B βββββ=-.
()()1
121231
,,0,,10010210054603003103011112012112032354633376
8B βββββ--=----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪⎪=--=--- ⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝
⎭
当
1
x =-时
，
123113
2,2,1,110
βββ--⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可
验证
1231132,2,1,110βββ-
-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
线性相关，不符合要求，因为B 的三个不同特征值1,1,0-对应的特征向量应该线性无关，故1x =-不合题意。

（2）由题设条件1,A =- 0A αλα*=，将0A αλα*=两边同乘A ，并由
AA A E E *==-可得
0A λαα=-,
即 01115311,1011a c b c a λ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
得 0000
(11(531,1,3,(11a c b c a b c a λλλλ-++=⎧⎪
--+=⇒===-⎨⎪-+-=-⎩））
） 再由1,A c a =-=可有
11
15
35333210
10a
c
a
a
A b a a c
a a a
---===-=-⇒=----。

因此,02,1,3,c a b λ====-
30. 设3阶方阵A 的特征值为3,2,1321===λλλ，对应的特征向量依次
,931,421,111321⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξξ
又
32122ξξξβ+-=
求A βn (n 为正整数)。

解
123
11223311232222223n n n n n n n n n A A A A βξξξλξλξλξξξξ+=-+=-+=-+
()12132223223223T
n n
n n n n +++++=-+-+-+
（二）
31设n 阶方阵O A ≠，满足O A m =，
为幂零矩阵），并称这样的矩阵为正整数（A m 。

（1） 求A 的特征值；
（2） 证明A 不相似于对角阵； （3） 证明1=+A E ；
（4） 若方阵B 满足AB=BA ，证明B B A =+ （5）证明:当E A k =时，则A 可相似于对角阵。

解 （1）设λ为A 的任意特征值，则m λ为m A 的特征值，且由O A m =，有0=m λ，推出λ=0。

即幂零矩阵A 的特征值全部为零：0=i λ。

（2）
方法1 设A 的对应于0=i λ的特征向量为方程组()00=-x A E 的非零解向量，因为O A ≠，故有()1)(0>=-A r A E r ，A 的对应于λ=0的线性无关的特征向量个数为n n A r n <-≤-1)(，即A 没有n 个线性无关的特征向量，因此A 不相似于对角阵。

方法2 用反证法 假定O A k =时，A 可相似于对角阵 ，即存在可逆阵P ，使得
,2
1
1Λ=⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛=-n AP P λλλ
则()
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛==--k n k
k k
k P A P AP P λλλ 2111 由于O A k =，所以()),...,2,1(001n i AP P i k
==⇒=-λ。

从而02
11=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-n AP P λλλ
得A=O ，与条件相矛盾，故A 不能相似于对角阵；
（3）由于 A 的全部特征值均为零0=i λ，故A+E 的特征值全部为1+11=+=i i λμ，
因此 121==+n A E μμμ （4）分两种情况证明：
当B 可逆时，欲证的等式为
,1111=+⇔=+⇔=+--E A B B A B B B A
利用本题（3）的结果，只要证明A B 1-为幂零矩阵，故有11=+-E A B ，从而问题得证。

由已知，AB=BA ，将两端左乘1-B ，得,1A AB B =-再将
两端右乘1-B ，11--=AB A B ，即1-B 与A 可交换，此时，由O A m =，得到
()()()()()
O A B A B A B A B A B m m
m
===-----11
1
1
1
因此A B 1-为幂零矩阵，故有11=+-E A B 。

当B 不可逆时，既有,0=B 此时欲证的等式为
0=+⇔=+B A B B A
由于,0=B 故B 有特征值0，即存在非零列向量α，使得,00==ααB 故对任意正整数k ，有,0=αk B 由于A ，B 可交换，故有
()0!
2)1(!
2)1(2
21221
=++-+
+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛++-+
+=+----ααααααm m m m m m m m m B B A m m B m A A B B A m m B m A A B A
即齐次方程组()0=+x B A m 有非零解α=x ， 故该方程组的系数行列式为零， 既有()0=+=+m
m B A B A ，
所以0=+B A ，故当B 不可逆时，结论也成立。

综上所述有 B B A =+。

(5) 可以证明E A k =时，A 有n 个不同的特征值。

事实上，设A 的特征值为n λλλ,...,21,，则k A 的特征值为k n k λλλ,...,k 21,，又E A k =故k A 特征值均为1，即1=k i λ，故n λλλ,...,21,是多项式
1)(-=n x x f 的n 个根，由于此多项式无重根，因此，n λλλ,...,
21,两两互异，从而A 可相似于对角阵。

32.设()ij n n A a ⨯=为n 阶方阵，若任意n 维非零列向量都是A 的特征向量，证明为数量矩阵，即存在常数k ，使得n A kE =
(0,
,0,1,0,
,0)(1,2,,)
, (1,2,,)
T j j j j j ••n e j n A Ae e j n λλ====证由题设条件，维单位向量
是的特征向量，故存在常数使得即
10(1,2,,)
0j jj j nj a a j n a λ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦0,(,,1,2,,),(1,2,
,)ij jj j a i j i j n a j n A λ=≠===于是，
即为对角矩阵
1
2n A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
i j i j e e A k ≠当时，由题设条件知非零向量＋也是的特征向量，故存在常数，
()()(1,2,
,)()()0
i j i j i j i j
j j j i i j j i j
i i j j A e e k e e Ae Ae ke ke Ae e j n e e ke ke k e k e λλλλλ=====-=使得
＋＋＋＋由于，得
＋＋－＋(,,1,2,,)
i j i j
e e k i j i j n k k
A kE A k λλ≠=⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪⎝
⎭
因为，线性无关，故得
＝＝于是得，即为数量矩阵。

33证明：三阶方阵()33⨯=ij a A 的特征多项式为
A A tr A tr A E -+-=-*λλλλ)()(23
证明 由于A 的特征多项式
33
32
31
2322
21
1312
11
)(a a a a a a a a a A E f ---------=-=λλλλλ 为λ的首系数为1的3次多项式，其3次项及2次项只在行列式的主对角线上三元素的乘积项中出现，且A 的特征多项式的3次项为3λ，2次项为22332211)()(λλA tr a a a -=++-，常数项为A A A f -=-=-=3)1()0(；经计算可得)(λf 的1次项为：
()222311131112
32
3331332122112233()a a a a a a a a a a a a A A A tr A λλλ
*⎛⎫++
⎪⎝⎭=++=。

于是得
A A tr A tr A E f -+-=-=*λλλλλ)()()(23。

34设A 与B 都是n 阶方阵，证明: (1) AB 与BA 具有相同的特征值; (2) ()()tr AB tr BA = 证明 （1）分两种情形
1）设0λ=是AB 的特征值, 0α≠是AB 的特征值0λ=对应的特征向量,
即()00.AB αα=⋅= 亦即α是齐次方程组
()0.AB α=
的非零解向量，于是齐次方程组的系数行列式
0AB A B BA ===
因而齐次方程组
()0.BA x =
有非零解β，使得()00.BA ββ=⋅= 故0λ=是BA 的特征值。

2）设0λ≠是AB 的任意特征值,我们证明λ也是BA 的特征值。

方法1：设0α≠是AB 的非零特征值λ对应的特征向量,
即.................(1)AB αλα=
用B 左乘上式,有()()()BA B B αλα=,由于（1）式知0B α≠，因此λ也是BA 的特征值。

同理可证BA 的特征值都是AB 的特征值。

因此AB 与BA 具有相同的特征值;
方法2 用分块矩阵的乘积性质 由于
n
n E A E A E AB O O E B E B E E A
E AB
B E E A E A E O B
E O E B E BA E A E AB
B E E AB E BA λλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅=⋅--=-两端取行列式，得再由再两端取行列式，得所以 因此AB 与BA 具有相同的特征值 方法3
O E E A O E E B E O B E E O A E λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
因为
E A
E B
B E
A E λλ=
两端取行列式，得
，
1
1E
O
E O B E
A E
λ---再两端分别乘值为的行列式
与
得：
1
E
O E
A
E
O E B B E B E
A E A
E
λλλ-=
--
由行列式乘法公式有
1
E A
E
B O E BA
O
E AB
λλλ-=
--
故
1E BA E E AB
E BA E AB
λλλλλ--=--=-亦即
因此AB 与BA 具有相同的特征值
（2）设AB 与BA 的特征值为12,,,n λλλ ，则由公式
1212();()n n
tr AB tr BA λλλλλλ=+++=++
+
有()()tr AB tr BA =。

即（2）成立。

35. 设A 与B 都是n 阶方阵，且AB 具有n 个不相等的特征值,证明AB 与BA 相似于同一个对角矩阵.
证明 由上题有：AB 与BA 具有相同的特征值, 且AB 与BA 有n 个不相等的特征值, 因此它们相似于同一个对角矩阵.
36 试证明n 阶方阵2
1111b
b b b b b A a b
b b b
b
b
⎡⎤⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的最大特征值是 []211(1),a n b λ=+-其中01b <<
证明 由于
()
2
22222
2222222222
1
2
2
2
2
(1)n a a b a b a b a b
a a
b a b E A a b
a b a a b
a b
a b
a b
a n a
b a a a b λλλλλλλ----------=--------⎡⎤=----+⎣⎦
A 的特征值为()222123(1),1n a n a b a b λλλλ=+-====-(三重)
由于20,a >且01b <<，因此A 的最大特征值是[]211(1),a n b λ=+- 37设A 与B 都是n 阶方阵，若B 的特征多项式为()f E B λλ=-，证明:矩阵()f A 可逆的充要条件是B 的任意特征值都不是A 的特征值。

证明 设B 的n 个特征值为12,,,n λλλ，则B 的特征多项式
()()
()()121
()n
n i i f E B λλλλλλλλλλ==-=---=-∏
于是
()1()n
i i f A A E λ==-∏
因此()f A 可逆的充要条件是
1()0
(1)
n
i i i f A A E A E i n λλ==-≠⇔-≠≤≤∏
⇔B 的任意特征值i λ都不是A 的特征值.
38设A 是n 阶方阵， A 的n 个特征值12,,,n λλλ对应的特征向量依次为
12,,,n ααα,且12,,,n ααα线性无关.试证明:
(1) 若12n ααα+++是A 的特征向量,则A 的n 个特征值必相等,即
12;n λλλ==
=
(2) 若A 的n 个特征值12,,,n λλλ互不相等，则
112212(,,
,n n
n k k k k k k ααα++
+中至少有两个不为零)
一定不是A 的特征向量.
证明(1) 若12n ααα+++是A 的特征向量,则有A 的某个特征值λ与之对应,使得
()()1212n n A αααλααα++
+=++
+, 1212n n A A A αααλαλαλα⇒+++=++
+
即
()()()11221211220
n n n
n n λαλαλαλαλαλαλλαλλαλλα++
+=++
+⇒-+-+
+-=
由于12,,,n ααα线性无关，故120n λλλλλλ-=-==-=
因此12;n λλλ==
=
(2) 假定向量
112212(,,
,n n
n k k k k k k ααα++
+中至少有两个不为零)
是A 的特征向量，则存在A 的特征值λ与之对应, 使得
()()11221122n n n n A k k k k k k αααλααα++
+=++
+
()1112221122n n n n n k k k k k k λαλαλαλαλαλα⇒+++=++
+
即
()()()1112220n n n k k k λλαλλαλλα-+-++-=
由12,,,n ααα线性无关，故得
()()()11220n n k k k λλλλλλ-=-=
=-=
因为12,,,n k k k 中至少有两个不为零，不妨设某两个数0,0i j k k ≠≠， 所以由 ()()0i i j j k k λλλλ-=-=i j λλ⇒=，这与12,,,n λλλ互不相等矛盾。

因此 1122n n k k k ααα++
+不是A 的特征向量.
39. 设A 与B 都是n 阶方阵，且A 具有n 个不相等的特征值,证明A 的特征向量也是B 的特征向量的充分必要条件是AB BA = 。

证明 必要性
由已知A 具有n 个不相等的特征值,故相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P ，使得
11P AP -=Λ
若A 的特征向量也是B 的特征向量，那么B 也相似于对角矩阵，且可取同一个可逆矩阵P ，使得
12P BP -=Λ
从而
11,A P P -=Λ 12B P P -=Λ
即有
()()()()1111
1212211
121
AB P P P P P P P P P P
P P BA
------=ΛΛ=ΛΛ=ΛΛ=ΛΛ=
因此 A B B A =。

充分性 设α是A 的特征向量，对应的特征值为λ，
则由A αλα= 两边左乘B 得
B A
B αλα= 又由BA AB =有
AB B αλα=
下面证明α是B 的特征向量。

分两种情形：
若0B α≠ ，则B α也是A 的特征向量，而λ为单特征值，故λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而B k αα=，即α也是B 的特征向量。

若0B α= ，则有0B αα=⋅，所以α也是B 的特征向量。

40. 设123,,A A A 是3个非零的3阶方阵，且2 (1,2,3)i i A A i ==，
(,,1,2,3)i j A A O i j i j =≠=。

证明：
（1） i A 的属于特征值1的特征向量是j A 的属于特征值0的特征向量 (,,1,2,3)i j i j ≠=；
（2）若123,,ααα分别是123,,A A A 的属于特征值1的特征向量，则123,,ααα线性无关。

证明 设λ是 i A (1,2,3)i =的特征值，若α是λ对应的特征向量， 则有i A αλα=
由2 i i A A =有2 λαλα=得20λλ-=，即0λ=或 1.λ=
所以0λ=和1λ=是 i A (1,2,3)i =的特征值。

当1λ=是 i A 的特征值α是λ对应的特征向量时，
由1i A αα=⋅两端左乘j A ()i j ≠，并注意到 (,,1,2,3)i j A A O i j i j =≠=得 0j i i j j j A A A A A A ααααα==⇒=⋅ (,,1,2,3)i j i j ≠=
因此 i A 的属于特征值1的特征向量是j A 的属于特征值0的特征向量
(,,1,2,3)i j i j ≠=；
(2) 设1122330k k k ααα++=,两端左乘1A 得
1112123130k A k A k A ααα++=
有题设及(1)有112233000k k k ααα+⋅+⋅= 即110k α=从而10k =,
同理两端分别左乘23,A A 可得230k k ==, 故123,,ααα线性无关。

41.设 n 阶方阵
122
10100
0001000000000001n n A a a a
a a --⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝
⎭
,其中011,,,n a a a -是n 个实数. (1) 试证明;当λ是A 的特征值时， ()2
11T
n αλλλ-=是对
应于λ的特征向量；
(2)若A 的特征值两两互异，求可逆阵P ，使得1P AP -为对角矩阵。

证明(1) 若λ是A 的特征值，则必有
012
21
10
000100000
000
1n n E A a a a a a λλλ
λλλ-----=
=-
+
将行列式按最后一行展开得
()1122332012(1)(1)2121(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a λλλλλ+-+-+-+----+-----+--+--++--+-+=
即221012210n n n n n a a a a a λλλλλ----++++++= 因此()22101221n n n n n a a a a a λλλλλ----=-+++++
又由于
210
122
12
221
12211012210100
10010000000
000011n n n n n n n n n n n A a a a
a a a a a a a λαλλλλλλλλλλλλλλλλλ----------⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-----⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ === ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎝
⎭⎫⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭
即有A αλα=，因此当λ是A 的特征值时， ()
2
11T
n αλλλ
-=是
对应于λ的特征向量。

（2）若A 的特征值两两互异，则A 可对角化，12,,,n λλλ为A 的n 个互异特征值，由（1）知
()2
11T
n i i i i αλλλ-= 1,2,,i n =
是A 的n 个线性无关的特征向量。

令()112
22
22
121121111112
1
111,,
,n n n n n n n n n n n P λλλλαααλλλλλλλλ-------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
，
则1
2
1
.n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
42设A 是n 阶方阵，12,,,s ααα是 n 维线性无关的向量，若
12,,
,s A A A ααα线性相关,证明A 不可逆.
证明 因为12,,,s A A A ααα线性相关,故存在不全为零的数12,,,s k k k ,,使得11220,s s k A k A k A ααα+++=
即()11220,s s A k k k ααα+++=
记1122s s k k k γααα=++
+,有00,A γγ==⋅
由12,,,s ααα线性无关,12,,,s k k k 不全为零知:0.γ≠因此, γ是A 的特征向量,0是A 的特征值,从而00A E A =⋅-=,故A 不可逆. 43. 设A 是n 阶方阵，12,,,n ααα是 n 维非零向量。

若
12231,,
,,0n n n A A A A ααααααα-====，
（1）证明12,,,n ααα线性无关; （2）求A 的特征值及特征向量.
证明 由已知12231,,,,0n n n A A A A ααααααα-====可推得
231121314
11,,,,0n n n A A A A A ααααααααα-=====
若11220,n n k k k ααα+++=
即
()2111213110
n n k k A k A k A αααα-++++=*
用1n A -左乘()*式得，
112211213110,n n n n n k A k A k A k A αααα-+-+++
+=
注意到10n A α=得1110,n k A α-=即10,n k α=
由n α是非零向量,得10,k =类似地,依次用23,,,n n A A A --左乘()*式 得230n k k k ==
==.因此12,,
,n ααα线性无关;
(2)对12231,,,,0n n n A A A A ααααααα-====用分块矩阵表示,有
12323123010(,,,,)(,,,,0)(,,,
,).1
1
0n n n A ααααααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
由(1)知123(,,,,)n P αααα=是n 阶可逆矩阵，故
A 相似于0
10.1
1
0B ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
那么A ,B 有相同的特征值.故A 的特征值是120n λλλ====(n 重)
又因为()()1r A r B n ==-,知齐次方程组
0Ax =
的基础解系含有()()11n r A n n -=--=个向量. 由于 0,0n n A αα=≠,故n α就是0Ax =的基础解系, 所以A 的特征向量为,0n k k α≠.
44设()n n ij a A ⨯= 的秩数为：()1-=n A r ，求A 的伴随矩阵*A 的特征值与特征向量。

解 由()1-=n A r 可知0=A ，且A 的列向量中有1-n 个是线性无关的。

又由于O E A A A ==*，知A 的1-n 个线性无关的列向量都是齐次方程
组 ()O x A E =-*0的解向量，故说明0=λ至少是*A 的1-n 重特征值，而
A 的1-n 个线性无关的列向量即为*A 的特征值0=λ对应的特征向量。

另外，由于*A 的全部特征值之和等于*A 的主对角元素之和nn
A A A +++ 2211（其中ii A 为A 的元素ii a 的代数余子式），所以当0=λ是*A 的1-n 重特征值时，可推得*A 的另一个特征值为
nn n A A A +++= 2211λ。

由()1-=n A r 有()1=*A r ，不妨设*A 的列向量组的极大线性无关组为第
一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n A A A 11211 ，则*A 的其它列向量可由⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛n A A A 11211 线性表示，即存在常数
n k k k ,...,,32，使得
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*n n n n n n nn n
n
n n A k A k A A k A k A A k A k A A A A A A A A A A A 11211212212
1111211
2122212
12111
=()n n k k A A A 2112111⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
上面等式两边的主对角元素之和相等，于是有
n n A k A k A 112
211+++ =nn A A A +++ 2211。

且：()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*n n n n A A A k k A A A A A A A 11211211211112111
()⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∑∑==n n
i ii n i ii n n n n A A A A A A A A A k A k A A A A 11211111121111221111211
因此，向量⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛n A A A 11211 为*A 的属于特征值nn n A A A +++= 2211λ的特征向量.
45 解一阶线性微分方程组
1
12212
243y y y y y y '=+⎧⎨'=+⎩
解 设
1243A ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
则A 的特征值为15λ=与21λ=-.分别对1λλ=及2λλ=解方程
()0E A x λ-=
得到
1211,21αα⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
分别为15λ=与21λ=-对应的特征向量。

这样,对任意 12,c c 向量函数
121122t t y c e c e λλαα=+
5512
1251211212t t
t t t t c e c e c e c e c e c e ---⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(12,c c 为任意常数)
是微分方程组的解。

46 求下列矩阵的最小多项式
（1）110010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
； 解 因为A 的特征多项式为()3
1E A λλ-=-，所以A 的最小多项式 是()3
1x -的因式,显然0A E -≠,而()2
2
010*******A E ⎛⎫
⎪-== ⎪
⎪⎝⎭
，因此A 的最小多项式为()2
1x -
（2）001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
； 解 因为A 的特征多项式为()2
1(1)E A λλλ-=-+，所以A 的最小多项式是()2
1(1)x x -+的因式,显然0A E -≠,0A E +≠而()()0A E A E -+=，因此A 的最小多项式为()()11x x -+
(3)1
10001000
0100
002A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
解 因为A 的特征多项式为()()3
12E A λλλ-=--，所以A 的最小多
项式是()3
1(2)x x --的因式,显然
()
()()()3
0,20,20A E A E A E A E -≠-≠--≠,
而()2(2)0A E A E --=，因此A 的最小多项式为()2
1(2)x x --.
（4）110001000
0200
00
2A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
解 因为A 的特征多项式为()()2
2
12E A λλλ-=--，所以A 的最小多
项式是()2
21(2)x x --的因式,显然
()()
()()()()22
2
0,20,20
20
A E A E A E A E A E A E -≠-≠--≠--≠,
而()2(2)0A E A E --=，因此A 的最小多项式为()2
1(2)x x --
(5) 3131131331311313A --⎛⎫ ⎪-- ⎪
= ⎪-- ⎪--⎝⎭
解 因为A 的特征多项式为43
1311
313
31311313
E A λλλλλλ-----=
=-+---+，
所以A 的最小多项式是4x 的因式,显然
0,A ≠,
而20A =，因此A 的最小多项式为2x .
47 证明:多项式()f x 使得()f A O =的充分必要条件是()f x 可以被A 的最小多项式整除。

证明;必要性：设(),f A O =A 的最小多项式为()A m x ,由带余除法，有
()()()()A f x m x q x r x =+
(其中()0,r x =或[]()()A r x m x ∂<∂⎡⎤⎣⎦)
上式两边用A 替代x 得()()()()A f A m A q A r A =+ 而由于(),f A O =()A m A O =,所以()r A O =。

如果()0,r x ≠则[]()()A r x m x ∂<∂⎡⎤⎣⎦，且()r A O =，与()A m x 为A 的最小多项式相矛盾，所以()0,r x =()()()A f x m x q x =，即()f x 可以被A 的最小多项式整除。

充分性：由最小多项式的定义直接得到; 48 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的最小多项式的常数项不等于零。

证明 由于A 可逆的充分必要条件是A 的特征值都不为零， 又由最小多项式的定义知A 的特征值都是A 的最小多项式的根，因此矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的最小多项式的常数项不等于0。