沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案

沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案
学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
(满分150分，限时120分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.(2023安徽淮南模拟)如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值()
A.都扩大为原来的3倍
B.都缩小为原来的1
3
C.没有变化
D.不能确定
2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是()
A.cos 43°>cos 16°>sin 30°
B.cos 16°>sin 30°>cos 43°
C.cos 16°>cos 43°>sin 30°
D.cos 43°>sin 30°>cos 16°
3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos 50°，则锐角α的度数是()
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
4.在△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A的值为()
A.√5
5B.2√5
5
C.1
2
D.2
5.(2023安徽阜阳质检)下列运算中，值为1
4
的是() A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°
C.tan30°
cos60°
D.(tan 60°)-1
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB，垂足为D，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是()
A.AD
BD B.AC
AB
C.AD
AC
D.CD
BC
7.(2023安徽池州月考)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()
A.√5
5B.1
2
C.2
D.√10
5
8.【新考法】一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知AB=3 m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为()
A.(4+3sin α)m
B.(4+3tan α)m
C.(4+3
sinα)m D.(4+3
tanα
)m
9.(2023安徽合肥庐江期末)如图，在△ABC中，sin B=1
2
，AB=8，AC=5，且∠C 为锐角，cos C的值是()
A.3
5B.4
5
C.√3
2
D.3
4
10.【新情境·双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC=BD=64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()
A.76 cm
B.(64√2+12)cm
C.(64√3+12)cm
D.64 cm
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.如果tan α=1，那么锐角α=度.
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，设∠BCD=α，则tan α=.
13.如图，已知tan O=4
，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，
3
如果MN=2，那么PM=.
，BC=12，D是AB的中点，过点B 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cos A=3
5
作线段CD的垂线，交CD的延长线于点E.
(1)线段CD的长为;
(2)cos∠DBE的值为.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算:2cos 30°-tan 260°3tan45°
+√(sin60°−1)2.
16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，某数学兴趣小组在尝试计算tan 15°时，采用以下方法:
如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，设AC =1，则AB =2，BC =√3，所以tan 15°=AC
CD =
2+√3
=
√3(2+√3)×(2−√3)
=2-√3，类比这种方法，计算tan 22.5°的值(画出计算所需图形，并用
文字、计算说明).
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.(2021广东潮州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.
(1)若AE=1，求△ABD的周长;
BD，求tan∠ABC的值.
(2)若AD=1
3
18.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子.
(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，人是否能安全地使用这架梯子?
(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示)，此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.
(参考数据:sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.(参考数据:sin53°≈4
5
,cos53°≈
3 5,tan53°≈4
3
)
20.【方程思想】李老师给班级布置了一个实践活动，测量某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量.如图，纪念碑设在1.2 m的石台上，他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平方向前进21 m，到达点N处，在点C 处测得点A的仰角为45°，BM=CN=1.7 m，求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93
tan 22°≈0.40，√2≈1.41)
六、(本题满分12分)
21.【主题教育·生命安全与健康】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图，已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为20°，在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求有效测温区间MN的长度.
(参考数据:sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，√3≈1.73，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1 m)
七、(本题满分12分)
22.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶√3，AB=16米，AE=24米.
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)
八、(本题满分14分)
23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:
(1)[探究原理]
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由;
(2)[实地测量]
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P 的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH;(√3≈1.73，结果精确到0.1米)
(3)[拓展探究]
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距地面的高度PH (如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E 、F (E 、F 、H 在同一直线上)，分别测得点P 的仰角为α、β，再测得E 、F 间的距离为m 米，点O 1、O 2到地面的距离O 1E 、O 2F 均为1.5米.求PH (用α、β、m 表示).
参考答案与解析
1.C Rt △ABC 的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt △ABC 是相似的，∴锐角A 的大小是不变的，∴锐角A 的正弦值、余弦值没有变化.
2.C ∵sin 30°=cos 60°，16°<43°<60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos 16°>cos 43°>sin 30°.
3.C ∵sin(70°-α)=cos 50°，∴70°-α+50°=90°，解得α=30°.故选C.
4.A 在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，因为tan A =a
b =2，所以a =2b ，由勾股定理得
c =√a 2+b 2=√5b
所以cos A =b
c =√5b =√5
5
.
5.B
sin 45°×cos 45°=√22×√22=1
2，故
A 不符合题意;
tan 45°-cos 2
30°=1-(√32)2=1-34=14
，故B 符合题意;
tan30°cos60°
=√3
312
=2
3
√3，故C 不符合题意;
(tan 60°)-1=(√3)-1=√33
，故D 不符合题意. 6.A
AD BD
不一定等于sin β，故A 符合题意;
∵△ABC 是直角三角形，∴sin β=AC AB
，故B 不符合题意; ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ACD +∠A =∠B +∠A =90°
∴∠ACD =∠B ，∴sin β=AD
AC
，故C 不符合题意;
∵△BCD 是直角三角形，∴sin β=CD
BC
，故D 不符合题意.
7.B 如图，取格点D ，连接BD
由题意得AD 2=22+22=8，BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，∴AD 2+BD 2=AB 2 ∴△ABD 是直角三角形，∴∠ADB =90°，在Rt △ABD 中 AD =2√2，BD =√2，∴tan A =
BD
AD =
√22√2=1
2
. 8.A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图
∵AD ⊥BC ，∠ABC =α，∴sin α=AD AB
=AD
3
，∴AD =3sin α m ，∴房顶A 离地面EF 的
高度=AD +BE =(4+3sin α)m .
9.A 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D
∴∠ADB =∠ADC =90°
在Rt △ABD 中，sin B =1
2
，AB =8，∴AD =AB ·sin B =8×1
2
=4
在Rt △ADC 中，AC =5，∴CD =√AC 2−AD 2=√52−42=3，∴cos C =CD AC =3
5
.
10.A 如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，在Rt △ACE 中，AE =1
2
AC =1
2
×64=32(cm)，同理可得BF =32 cm ，∵点A 与B 之间的距离为12 cm ，
∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).
11.45
解析 ∵tan α=1，∴锐角α=45度. 12.3
4
解析 ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠α+∠B =∠A +∠B =90°，∴∠α=∠A ∴tan α=tan A =68=3
4.
13.√17
解析 如图，过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D
∵tan O =
PD OD =43
，∴设PD =4x ，则OD =3x
∵OP =5，由勾股定理得(3x )2+(4x )2=52，∴x =1(已舍负)，∴PD =4 ∵PM =PN ，PD ⊥OB ，MN =2，∴MD =ND =1
2MN =1
在Rt △PMD 中，由勾股定理得PM =√MD 2+PD 2=√17. 14.(1)15
2
(2)24
25
解析 (1)在Rt △ABC 中，cos A =AC AB =3
5
∴设AC =3x ，则AB =5x ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(5x)2−(3x)2=4x ∵BC =12，∴4x =12，∴x =3，∴AB =15，AC =9，∵D 是AB 的中点 ∴CD =1
2
AB =15
2
.
(2)∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴△CBD 的面积=1
2
×△ABC 的面积，
∴12
CD ·BE =12
×12
AC ·BC ，∴
152
BE =12
×9×12，∴BE =
365
，在Rt △BDE 中
cos ∠DBE =BE BD
=36
5152
=24
25
.
15.解析
原式=2×√32-(√3)23×1+1-√32=√3-1+1-√32=√3
2
. 16.解析 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D.
∵∠ABC =45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5° 设AC =1，则BC =1，AB =√2AC =√2 ∴CD =CB +BD =CB +AB =1+√2 ∴tan 22.5°=tan D =AC
CD =
1+√2=
√2−1
(1+√2)×(√2−1)=√2-1.
17.解析 (1)如图，连接BD ，设BC 的垂直平分线交BC 于点F ，∴BD =CD ∴C △ABD =AB +AD +BD =AB +AD +DC =AB +AC. ∵AB =CE ，∴C △ABD =AC +CE =AE =1 故△ABD 的周长为1.
(2)设AD =x ，∴BD =3x.
∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x
在Rt△ABD中，AB=√BD2−AD2=√(3x)2−x2=2√2x
∴tan∠ABC=AC
AB =
2√2x
=√2.
18.解析(1)在Rt△AOB中，cos α=OB
AB
∴OB=AB·cos α
当α=50°时，OB=AB·cos α≈6×0.64=3.84
当α=75°时，OB=AB·cos α≈6×0.26=1.56.
∵1.56<2.5<3.84
∴此时人能安全地使用这架梯子.
(2)此时人不能安全地使用这架梯子.理由如下:
当∠ABO=75°时
∵sin∠ABO=AO
AB
∴AO=AB·sin 75°≈6×0.97=5.82(米)
∵梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点
∴OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).
当∠ABO=50°时
∵sin∠ABO=AO
AB
∴AO=AB·sin∠ABO≈6×0.77=4.62(米)
∵4.32<4.62
∴此时人不能安全地使用这架梯子.
19.解析过A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，如图所示
则∠ACD=45°，∠ABD=53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD=AD
CD
∴CD=AD
tan45°=AD
1
=AD
在Rt△ABD中，tan∠ABD=AD
BD ，∴BD=AD
tan53°
≈AD4
3
=3
4
AD
由题意得AD-3
4
AD=75，∴AD=300 m，∵此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100
米，气温会下降约0.6 ℃，∴此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为
20-300
100
×0.6=18.2(℃).
答:此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为18.2 ℃.
20.解析延长BC交AF于E，延长AF交MN的延长线于D，如图
则四边形BMNC、四边形BMDE是矩形
∴BC=MN=21 m，DE=CN=BM=1.7 m
∵∠AEC=90°，∠ACE=45°
∴△ACE是等腰直角三角形
∴CE=AE
设AE=CE=x m
∴BE=(21+x)m
∵∠ABE=22°
∴tan 22°=AE BE =x
21+x
≈0.40，解得x =14
∴AE =14 m
∴AD =AE +ED =14+1.7=15.7(m) ∴纪念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m). 答:纪念碑的高度约为14.5 m . 21.解析 延长BC 交AD 于点E
则DE =CM =BN =1.6 m ，BC =MN ，∠AEB =90° ∵AD =2.2 m
∴AE =AD -DE =2.2-1.6=0.6(m) 在Rt △ACE 中，∠ACE =60° ∴CE =
AE tan60°=√3
≈0.35(m)
在Rt △ABE 中，∠ABE =20° ∴BE =
AE tan20°≈
0.6
0.36
≈1.67(m)
∴MN =BC =BE -CE =1.67-0.35=1.32(m) ∴有效测温区间MN 的长度约为1.32 m .
22.解析 (1)Rt △ABH 中，tan ∠BAH =√3=√3
3 ∴∠BAH =30°，∴BH =1
2AB =8米.
(2)如图，过B 作BG ⊥DE 于G 由(1)得BH =8米，易得AH =8√3米
∴BG=HE=AH+AE=(8√3+24)米，在Rt△BGC中，∠CBG=45°
∴CG=BG=(8√3+24)米.
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=24米，∴DE=√3AE=24√3米.
∴CD=CG+GE-DE=8√3+24+8-24√3=32-16√3≈4.3(米).
答:广告牌CD的高约为4.3米.
23.解析(1)∵∠COG=90°，∠AON=90°
∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON
∴∠POC=∠GON.
(2)由题意可得KH=OQ=5米，QH=OK=1.5米，∠PQO=90°，∠POQ=60°在Rt△PQO中，tan∠POQ=PQ
OQ
∴tan 60°=PQ
5
∴PQ=5√3米
∴PH=PQ+QH=5√3+1.5≈10.2(米)
即树高PH约为10.2米.
(3)由题意可得O1O2=m米，O1E=O2F=DH=1.5米，tan β=PD
O2D ，tan α=PD
O1D
∴O2D=PD
tanβ，O1D=PD
tanα
∵O1O2=O2D-O1D，∴m=PD
tanβ-PD tanα
∴PD=mtanα·tanβ
tanα−tanβ米，∴PH=PD+DH=(mtanα·tanβ
tanα−tanβ
+1.5)米。