2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步章末专题整合讲义 苏教版必修2

x＋2 x3＝3，
∴
y＋2 y3＝2，
解得x＝6－x3， y＝4－y3.
代入 l 的方程后，得 3x3－y3－17＝0， 即 l3 的方程为 3x－y－17＝0.
数形结合的思想 (1)数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来 考查的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转 化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数 量关系的问题去研究，简而言之，就是“数形相互取长补短”．
直线的方程及两直线的位置关系 (1)直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件 灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的直线方程时，注意其 适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论． (2)两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种，主要考查 两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断 两条直线的位置关系，解题时要注意分析斜率是否存在，用 一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．
对称问题 对称问题包括点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于 直线、以及曲线关于点、直线的对称．该问题一直是高考考查 的重点．对称是图形的一种几何特征，如角平分线、入(反)射 光线、在一条定直线上求一个点到两个定点的距离之和最小、 差的绝对值最大等问题都隐含着对称的关系，因此求解对称问 题的关键是转化． (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点 P(x，y)关 于 Q(a，b)的对称点为 P′(2a－x,2b－y)．
32＋－12 32＋－12 即|b＋7|＝10，解得 b＝－17 或 b＝3(舍去)， ∴直线 l′的方程为 y′＝3x′－17， 即对称直线的方程为 3x－y－17＝0.
法二：设直线 l 关于点 A(3,2)对称的直线为 l3，则直线 l 上任 一点 P(x，y)关于点 A 的对称点 P3(x3，y3)一定在直线 l3 上，反 之也成立．
y′2＋5＝3×x′2＋4＋3， 即 xy′′－－54×3＝－1，
解得x′＝－2， y′＝7，
∴点 P′的坐标为(－2,7)． (2)法一：设直线 l1：y＝x－2 关于直线 l 对称的直线为 l2，则 l1 上任一点 P1(x1，y1)关于 l 的对称点 P2(x2，y2)一定在 l2 上， 反之也成立．
若 x，y 满足 x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求 x2＋y2 的最值． [解] 如图所示，方程 x2＋y2－6x－4y＋12 ＝0 可化为(x－3)2＋(y－2)2＝1，它表示圆 心为 C(3,2)，半径 r＝1 的圆，令 P(x，y)是 圆 x2＋y2－6x－4y＋12＝0 上任意一点，再设 t＝x2＋y2，则 t ＝(x－0)2＋(y－0)2＝OP2，圆心
直线与圆的位置关系 (1)判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利 用圆的几何性质以简化解题过程． 相切是直线与圆的一种重要位置关系，其主要问题有两个， 一是求圆的切线方程；二是与圆的切线相关的一些取值范 围、最值等问题，主要难点是如何利用圆的切线性质对问题 进行转化．
(2)在两圆的位置关系中一般有两个主要问题．一个是判断两 圆的位置关系，其关键就是抓住两圆的圆心和半径，根据圆 心距和半径的和差大小关系作出判断；二是当两圆相交时求 其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相 减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据 其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
2x2＋(D＋E－2)x＋(1－E＋F)＝0， Δ＝(D＋E－2)2－8(1－E＋F)＝0.③ 将①②代入③中，得(－D－2)2－8(1－2D－5)＝0，即 D2＋20D ＋36＝0，解得 D＝－2，或 D＝－18. 代入①②得 D＝－2，E＝4，F＝3，或 D＝－18，E＝36，F ＝67. 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 或 x2＋y2－18x＋36y ＋67＝0.
(2014·湖南师大附中高一检测)已知圆 C1：(x－a)2＋(y －2)2＝4(a＞0)及直线 l：x－y＋3＝0.当直线 l 被圆 C1 截得的弦 长为 2 2时． (1)求 a 的值； (2)求过点(3,5)且与圆 C1 相切的直线方程； (3)若圆 C1 与圆 C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0 相离，求 k 的范围．
[解] (1)依题意可得圆心 C(a,2)，半径 r＝2， 则圆心到直线 l：x－y＋3＝0 的距离 d＝ |1a2－＋2＋－31|2＝|a＋21|.
由勾股定理可知 d2＋(2 2 2)2＝r2， 代入化简得|a＋1|＝2.解得 a＝1，或 a＝－3，又 a＞0，所以 a＝1. (2)由(1)知圆 C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4， 又(3,5)在圆外，∴①当切线的斜率存在时， 设直线方程为 y－5＝k(x－3)．
(2)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设 P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，若 P 关于 l 的对 称点 Q 的坐标为(x，y)，则 l 是 PQ 的垂直平分线，即①PQ⊥ l；②PQ 的中点在 l 上．解方程组
xy－ －xy00·－AB＝－1， A·x＋2 x0＋B·y＋2 y0＋C＝0，
过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4,1)为端点 的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围及倾斜角的 范围． [解] 如图所示，
①直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值，
所以 tan α1＝0－3－－03＝1，即 α1＝45°. ②直线 l 过点 B(－4,1)时，即为直线 MB，倾斜角 α2 为最大值， 所以 tan α2＝1－－4－ －30＝－1，即 α2＝135°. 所以直线 l 倾斜角 α 的取值范围是[45°，135°]． 当 α＝90°时，直线 l 的斜率不存在； 当 45°≤α<90°时，直线 l 的斜率 k＝tan α≥1； 当 90°<α≤135°时，直线 l 的斜率 k＝tan α≤－1. 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
②单调性 当 α 由 0°→90°→180°(不含 180°)变化时，k 由 0(含 0)逐渐增大 到＋∞，然后由－∞逐渐增大到 0. (2)经过 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式 k ＝xy22－ －yx11(x1≠x2)，应用时注意其适用的条件 x1≠x2，当 x1＝x2 时，直线的斜率不存在．
＝
|5λ|
＝5
2λ2＋8λ＋10
2
2.
∴2λ2＋8λ＋10＝λ2×2，解得 λ＝－54， ∴符合条件的直线方程为－14y－74x－242＝0，即 7x＋y＋22＝0. (3)法一：设直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线为 l′， 由于 l∥l′，可设 l′为 y′＝3x′＋b(b≠3)． 由点到直线的距离公式得|3×3－2＋b|＝|3×3－2＋3|，
(1)直线 l 过点 P(－6,3)，且它在 x 轴上的截距和它在 y 轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_x_＋__2_y_＝__0_或__x_＋___y＋__3__＝_0 (2)若直线 x－2y＋5＝0 与直线 2x＋my－6＝0 互相垂直，则实 数 m＝____1____. [解析] (1)若截距相等且都为 0 时，设直线方程为 y＝kx，由 3＝－6k，即 k＝－12，故直线方程为 x＋2y＝0.
设其方程为(y－3x－3)＋λ(y－x＋2)＝0.
即(1＋λ)y－(3＋λ)x＋2λ－3＝0.
在 l 上任取一点(0,3)．
∵点(0,3)到
y－x＋2＝0
的距离为
d＝|3＋2|＝5 2
2
2 .
Baidu Nhomakorabea
于是点(0,3)到 l1 的距离为 d＝|1＋λ×31－＋λ32＋＋λ3×＋0λ＋2 2λ－3|
(2)涉及与圆有关的最值问题，可借助图形的性质，利用数形结 合求解，一般地：①当直线
圆相离时，圆上的点到直线的最大距离是 d＋r，最小距离是 d －r，其中 r 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离；②形如 u＝ xy－－ba形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；③ 形如 y＝ax＋b 形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最 值问题．
若截距相等且不为 0 时，设直线方程为xa＋ay＝1(a≠0)，由于直 线 l 过点 P(－6,3)，故－a6＋3a＝1，解得 a＝－3，从而所求直 线方程为 x＋y＋3＝0. (2)法一：由题意知，两直线的斜率分别为 k1＝12，k2＝－m2 ， 由于两直线垂直，故12×(－m2 )＝－1，解得 m＝1. 法二：由 1×2－2m＝0 可得 m＝1.
由圆心到切线的距离 d′＝r＝2 可解得 k＝152，∴切线方程为 5x－12y＋45＝0. ②当过(3,5)的切线斜率不存在时，易知直线 x＝3 与圆相切． 综合①②可知切线方程为 5x－12y＋45＝0 或 x＝3. (3)把圆 C2 的方程化为标准方程，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， ∴50－k＞0，即 k＜50，且 r1＋r2＝ 50－k＋2，C1(1,2)，C2(1,7)， ∵C1 与 C2 两圆外离，∴C1C2＞r1＋r2，即 5＞ 50－k＋2， 解得 k＞41，又 k＜50，故所求 k 的范围是 41＜k＜50.
求圆的方程 求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般 方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方 程的一般步骤： (1)选择圆的方程的某一形式． (2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)． (3)解出a，b，r(或D，E，F)． (4)代入圆的方程．
已知圆经过点 A(2，－1)，圆心在直线 2x＋y＝0 上，与 直线 x－y－1＝0 相切，求圆的方程． [解] 法一：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为 (－D2 ，－E2)． ∵圆经过点 A(2，－1)，∴5＋2D－E＋F＝0.① 又圆心在直线 2x＋y＝0 上， ∴2·(－D2 )＋(－E2)＝0，即 2D＋E＝0.② 将 y＝x－1 代入圆的方程得
可得 Q 点的坐标．
(3)曲线(直线)关于点的对称可以转化为点关于点的对称． (4)曲线(直线)关于直线的对称可以分别转化为点关于直线的 对称．
已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． [解] (1)设点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)，则PP′ 的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
y1＋2 y2＝3×x1＋2 x2＋3， 则 xy11－ －yx22×3＝－1，
x1＝－45x2＋53y2－95，
解得
y1＝35x2＋45y2＋35，
把(x1，y1)代入 y＝x－2，整理得 7x2＋y2＋22＝0， ∴l2 的方程为 7x＋y＋22＝0.
法二：由已知要求的直线 l1 过 y＝3x＋3 与 y＝x－2 的交点，
第2章 平面解析几何初步
第2章 平面解析几何初步
直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它 们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜 角α与斜率k的对应关系和单调性，是做题的易错点，应引起 特别的重视． ①对应关系 a．α≠90°时，k＝tan α.b.α＝90°时，斜率不存在．
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)． ∵圆心在直线 2x＋y＝0 上， ∴b＝－2a，即圆心为(a，－2a)． 又圆与直线 x－y－1＝0 相切，且过点 A(2，－1)， ∴|a＋2a－1|＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，即(3a－1)2＝2(2
2 －a)2＋2(－1＋2a)2，解得 a＝1，或 a＝9. ∴a＝1，b＝－2，r2＝2，或 a＝9，b＝－18，r2＝338. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2 或(x－9)2＋(y＋18)2 ＝338.