20-21版：4.1.1 第一课时 有理数指数幂（创新设计）

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些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于 1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici logarithmorum canonis descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(NaplogX).
3 22
x·x5
3
4
x·x5
39
x5
（x5）3
x5
21 2
21 2
1
(3)原式＝[(b－3)4]－3＝b－3×4×(－3)＝b9.
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规律方法 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数化为分数指数的分母， 被开方数(式)的指数化为分数指数的分子. (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数 指数幂的运算法则解题.
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【训练3】 计算下列各式：
1
2
(1)2350＋2－2×214－2－0.010.5；(2)2790.5＋0.1－2＋21207－3－3π0＋3478；
2
(3) 614－ 3 338＋4 0.062 5＋0.06413－2.55－π0.
解 (1)原式＝1＋14×23－110＝1165.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用 对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，
1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科，可是由于 数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些 繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时 间.Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比 数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平 方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这
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拓展深化 [微判断]
1.实数a的n次方根有且只有一个.( × )
提示 当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.
2.n an＝(n a)n.( × )
提示 当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.
6
3
3.(－2)4＝(－2)2.( × )
6
3
提示 (－2)4>0，而(－2)2无意义，故错误.
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希帕索斯
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问题 若x2＝3，这样的x有几个？怎么表示？ 提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作± 3.
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1.n次方根 (1)a的n次方根的定义 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a 的n次方根. (2) a的n次方根的表示 求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论 根据方程 xn＝a 解的情况不难看出：
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【训练2】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)
b3 a2·
ab26(a>0，b>0)；
(2) a－4b23 ab2(a>0，b>0).
解 (1)
b3 a2·
ab26＝
ba32·ba3＝a－12.
(2)
a－4b23 ab2＝
1
a－4b2·（ab2）3＝
12
a－4b2a3b3＝
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2.根式的 性质 根式的性质是化简根式的重要依据
n (1)(
a)n＝__a__
(n>1
且
n∈N*).
(2)当 n 为奇数时，n an＝__a__；当 n 为偶数时，n an＝_|_a_| _.
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3. 分数指数幂 根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据
2
(2)原式＝5320.5＋(10－1)－2＋433－3－3＋3478＝53＋100＋196－3＋3478＝100.
1
1
1
1
2
(3)原式＝2452－2873＋106205004＋1 604003×（－2.5）×5－1＝52－32＋12＋25－1－1＝3.
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一、素养落地 1.通过学习n次方根、n次根式的概念及分数指数幂的含义，提升数学抽象素养；通
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3.溶液pH值的变化规律可以用对数函数模型来表示.
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问题1：你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？ 问题2：人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来表示数字的庞大.古时候， 人们是如何来计算这些“天文数字”的呢？
问题3：你知道同底的指数函数与对数函数有什么关系吗？ 链接：对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数
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[微训练]
3
1.a－5(a>0)化为根式的形式为________.
解析
3
a－5＝
13＝
a5
5
1 .
a3
答案 1 5 a3
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3 2.
（m－n）2(m>n)表示为分数指数幂的形式为________.
解析
3
2
（m－n）2＝(m－n)3.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2176.
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规律方法 1.有理数指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂
2
答案 (m－n)3
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3.化简 （x＋3）2－3 （x－3）3＝________.
解析 原式＝|x＋3|－(x－3)， 当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x. 答案 6或－2x
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[微思考] 1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶
字变为较小的数字，简化了数的运算.
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在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可 以用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.在本章我们将类比二次函 数的研究方法，学习指数函数、对数函数和幂函数的概念、图像和性质，并对 这几类基本初等函数的变化进行比较，并学会选择合适的函数关系构造函数模 型解决上面提出的问题.
①0 的任意正整数次方根均为 0，记为n 0＝0.
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②正数 a 的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 a 的 n 次算 术根，记为n a，负的方根记为－n a；负数的偶数次方根在实数范围内_不__存__在___， 即当 a<0 且 n 为偶数时，n a在实数范围内没有意义. ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为n a.而且正数的奇数次方根是一个 _正__数____，负数的奇数次方根是一个__负__数___. (3)根式 当n a有意义的时候，n a称为根式，n 称为___根__指__数____，a 称为被开方数.
数呢？
提示 当 n 为奇数时，对任意实数 a，都存在 n 次方根，可表示为n a；当 n 为偶 数时，若 a<0 时，则 a 没有 n 次方根；若 a＝0，则 a 的 n 次方根为 0；若 a>0， 则 a 有两个 n 次方根，可表示为±n a.
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2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题？ 提示 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简 时要结合条件或分类讨论. 3.分数指数幂 amn 可以理解为mn 个 a 相乘吗？ 提示 不可以.事实上，它是根式的一种新写法，amn ＝n am.
m，n∈N*，n>1，mn 为既约分数，
m
(1)规定正分数指数幂的意义是：a n ＝(
n
a)m＝__n_a_m__
(n
a有意义).
1
(2)规
定
负分数
指
数
幂
的意义是
：
m
a－n ＝
1
m
an
＝ （
n
1 ＝___n__a_m___
a）m
n (
a有意义且
a≠0).
4.有理数指数幂的运算法则
asat＝___a_s＋_t_，(as)t＝ __a_s_t __ ，(ab)s＝ __a_s_b_s_ ，其中s，t∈Q.
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题型一 利用根式的性质化简或求值 【例1】 求下列各式的值：
(1)7 （－2）7；(2)4 （3a－3）4(a≤1)；
(3)3 a3＋4 （1－a）4. 解 (1)7 （－2）7＝－2.
(2)4 （3a－3）4＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a(a≤1). (3)3 a3＋4 （1－a）4＝a＋|1－a|＝12， a－a≤ 1，1， a>1.
的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)运用分数指数幂的运算法则求解.
3.对于化简或求值结果的要求
对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是
化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.
11
11 4
a－ 3 b8＝a－ 6 b3.
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题型三 利用分数指数幂的运算性质化简、求值 【例 3】 化简：(1)5x－32y21·－14x－1y12·－56x13y－61(其中 x>0，y>0)；
4
(2)0.064－13－－780＋（－2）3－3＋16－0.75. 解 (1)原式＝5×－14×－56x－23＋(－1)＋13·y12＋12－16＝2254x－43y56.
(3)( a－1)2＋ （1－a）2＋3 （1－a）3. 解 (1)4 （3－π）4＝|3－π|＝π－3. (2) （a－b）2＝|a－b|＝a－b(a>b). (3)由题意知a－1≥0，即a≥1.所以原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a －1＋1－a＝a－1.
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课Байду номын сангаас预习
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4.1 指数与指数函数 4.1.1 实数指数幂及其运算
第一课时 有理数指数幂
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课标要求
素养要求
1.通过学习n次方根、n次根式概念
1.理解n次方根、n次根式的概念， 及有理数指数幂含义，提升数学抽
能正确运用根式运算性质化简求值. 象素养.
2.理解有理数指数幂的含义，能正 2.通过根式运算性质、有理数指数
确运用其运算法则进行化简、计算. 幂运算法则的应用，提升数学运算
素养.
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新知探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯 学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题： 边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一 长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希帕索 斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2的诞生.
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题型二 根式与分数指数幂的互化
【例2】 将下列根式化为分数指数幂的形式：
3 (1)
a a(a>0)；(2)
1
4 22 ；(3)( b－3)－3(b>0).
3 x（5 x2）2
3
解 (1)原式＝
a·a12＝ 3
3 33 1
a2＝ a4＝a4.
(2)原式＝
1
＝
1
＝1＝
1
9
1＝ 13＝x－35.
[读图探新]——发现现象背后的知识 1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究.
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2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有 活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地 吸收碳14，在有机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组 织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的 含量，就可推断其年代，这就是考古学家常用的碳14测年法.
过正确运用根式运算性质、根式与分数指数幂的互化及运用有理数指数幂的运算 法则，培养数学运算素养. 2.一个数有没有n次方根，一定先考虑被开方数是正数还是负数，还要分n为奇数或 偶数这两种情况. 3.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将 根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运 算性质准确求解.
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规律方法 n 为奇数时，(n a)n＝n an＝a，a 为任意实数均可；n 为偶数时，a≥0 时，(n a)n 才有意义，且(n a)n＝a，而 a 为任意实数n an均有意义，且n an＝|a|.
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【训练1】 化简下列各式： (1)4 （3－π）4； (2) （a－b）2(a>b)；