广东省深圳市乐而思教育2017-2018学年高二数学选修2-1《圆锥曲线的定值问题》专题练习(无答案)

《圆锥曲线的定值问题》专题专练
解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
例题精讲
例1、如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D ( O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2 相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2 .证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
例2、已知椭圆
，，，，的面积为1. （1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.
求证：为定值.
()22
22:10x y C a b a b
+=>>(),0A a ()0,B b ()0,0O OAB △C P C PA y M PB x N AN BM ⋅
专题练习
1、已知△ABC 的三个顶点(均异于坐标原点O )都在抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上，且抛物线的焦点F 满足＋＋＝0，若BC 边上的中线所在直线l 的方程为mx ＋ny －m ＝0(m ，n 为常数且m ≠0)．
(1)求p 的值；
(2)记△OF A ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，求证：S 21＋S 22＋S 23为定值．
FA FB FC
2、在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且.直线是过点的任意一条直线． (1)求动点所在曲线的轨迹方程；
(2)设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程； (3)若直线与曲线交于两点，与线段交于点(点不同于点)，直线与直线交于点，求证：是定值．
(,)M x y (0,1),(0,1),(1,0),A B D -N M y x =212
AN BN x ⋅= l D M C l C G H
、||GH =l l C G H 、AB P P O A B 、、GB HA Q OP OQ ⋅
3、已知F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，抛物线上点G (2,2p )满足|GF |＝3.
(1)求抛物线的方程；
(2)M 点的坐标为(4,0)，过点F 作斜率为k 1的直线与抛物线交于A ，B 两点，A ，B 两点的横坐标均不为4，连接AM ，
BM 并延长交抛物线于C ，D 两点，设直线CD 的斜率为k 2，问k 1k 2
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
4、已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2
＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．
5、已知椭圆长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若、是椭圆的左右端点，为原点，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交轴于、，问是否为定值，说明理由．
E 2
12y x =E A B E O P E A B AP BP y M N ⋅
6、如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
7、已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(1，0)，点H(2，
210
3)在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
8、已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过椭圆右焦点斜率为的直线与椭圆C 相交于E 、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线的斜率为，求证：为定值.
()22
22:10x y C a b a b
+=>>122F 1:340l x y +=352F ()0k k ≠l 3x =2PF k 'k k '⋅
10、如图所示，已知点是抛物线上一定点，直线AM 、BM 的斜率互为相反数，且与抛物线另交于
A 、
B 两个不同的点.
（1）求点M 到其准线的距离；
（2）求证：直线AB 的斜率为定值.
)3,(a M x y 42 x A
B M
O
y。