线性代数 模拟题及答案

第一套模拟题

一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计18分）

1．计算3阶行列式=600

300

301395200

199

204

100

103 .

2．设A 为三阶方阵,且2||−=A ，则=+

−*1

)3(121A A .

3. 设n 阶方阵A 满足关系式0322

=++E A A ,则1

−A = . 4．直线152

121

x y z +++=

=与平面2260x y z ++−=的交点为 .

5. 已知4阶方阵),,,(4321αααα=A ，且2)(=A R ，若0324321=+−+αααα，

b =+−4213ααα，b =+−+43212αααα，则非齐次线性方程组b Ax =的通解

为 .

6. 设三阶方阵A 满足|2||23|||A E A E A E +=+=−=0,则A 的特征值为 . 二、单项选择题（将正确的选项填在括号内）（每小题3分，总计18分）

1．下列命题中，正确的是（ ）.

（A ）如果矩阵E AB =，那么A 可逆，且B A =−1； （B ）如果n 阶方阵A ，B 均可逆，那么B A +必可逆； （C ）如果n 阶方阵A ，B 均不可逆，那么B A +必不可逆； （D ）如果n 阶方阵A ，B 均不可逆，那么AB 必不可逆.

2．已知三阶方阵 =100001

0101P ， =1010100012P ，

=3332

312322211312

11

a a a a a a a a a A ，

+++=133312

321131

131211

23

2221

a a a a a

a a a a a a a B ，则必有（ ）. （A ）B P AP =21； （B ）B P AP =12； （C ）B A P P =21； （D ）B A P P =12.

（A ）α必可由δγβ,,线性表示； （B ）β必不可由δγα,,线性表示； （C ）δ必可由γβα,,线性表示； （D ）δ必不可由γβα,,线性表示.

4．设有向量组)4,2,1,1(1−=α，)2,1,3,0(2=α，)14,7,0,3(3=α，)0,2,2,1(4−=α，

)10,5,1,2(5=α, 则该向量组极大无关组是（ ）.

（A ）321,,ααα； （B ）421,,ααα； （C ）521,,ααα； （D ）5421,,,αααα.

5．设A 是n m ×矩阵，B 是m n ×矩阵,则线性方程组0)(=x AB （ ）. （A ）当m n >时,仅有零解； （B ）当m n >时,必有非零解； （C ）当n m >时,仅有零解； （D ）当n m >时,必有非零解.

6．设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征值,则A 的伴随矩阵*A 的特征值之一是（ ）.

（A ）n A ||1−λ； （B ）||1A −λ； （C ）||A λ； （D ）n A ||λ. 三、解答下列各题（每小题10分，总计50分）

1．计算4阶行列式：3

020

0013

21321b b b a a a x

D =

.

2．已知矩阵

−−=10000

1010A ，矩阵AP P B 1−=，其中P 为三阶可逆矩阵，求220082A B −.

3．设22

R

× 的两个子空间为1

211234340;x x W A x x x x x x

==−+−=

212{,},W span B B =110,23B = 211,01B −

=

求12W W +与12W W 1的基与维数. 4．设3阶方阵B (2)(≥B R )的每一个列向量均是方程组

=−+=+−=−+3

3,22,

122321

321321x x x x x x x x x λ

的解，(1) 求λ; (2) 设A 为此线性方程组的系数矩阵，求n

AB )(.

5．若三阶方阵

−−−−=542452222

A ，求一个正交阵T ,使AT T 1−为对角阵.

四、证明题（每小题7分，总计14分）

１．已知A 是n m ×矩阵，B 是p n ×矩阵，如果0=AB ，且n B R =)(，证明矩阵0=A . ２．若向量β可由s ααα,,,21 线性表示,且表法唯一,证明s ααα,,,21 线性无关．

第一套模拟题答案

一、1．2000； 2．108； 3．)2(3

1

E A +−； 4．()2,1,1； 5. T T T k k x )3,0,1,1()2,1,3,0()3,2,1,1(21−+−+−=; 6 . 2,2

3

,1−− .

二、1．D ； 2．C ； 3．C ； 4．B ； 5．D ； 6. B .

三、1．解：D 3

02000010323213

322114

313

2

12

1132a a a b a b a b a x c c c c c b c b b −−

−−========

−− =

−−

−32!3332211b a b a b a x =

−−−326332211b a b

a b a x ……………10分

2．解：因为

−−= −− −−==1000100011000010101000010102

AA A

= −− −−==100010001100010001100010001224A A A ，

AP P P A PP A P AP P AP P AP P B )()()())((1111112008−−−−−−==

,)(5024120081E P A P P A P ===−−

−= −−− =−1000300031000100012100010001222008

A B ……………10分

3．解： 可取 110,01A =

201,01A =

− 30011A = 作为子空间1W 的一组基，则