【小学奥数题库系统】1-2-2-1 分数裂项.教师版

【例 2】
1-2-2-1.分数裂项.题库
பைடு நூலகம்
教师版
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50 + + + + = × (1 − + − + … + − ） = 1× 3 3 × 5 5 × 7 99 × 101 2 3 3 5 99 101 101 50 【答案】 101
【解析】
分数裂项计算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较高。
【例 1】
1 1 1 + + ...... + 10 × 11 11 × 12 59 × 60 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 = ( − ) + ( − ) + ...... + ( − ) = − = 10 11 11 12 59 60 10 60 12 1 【答案】 12
知识点拨
分数裂项
一、 “裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整 数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算， 一般都是中间部分消去的过程， 这样的话， 找到相邻两项的相似部分， 让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数， 即
1 1 1 1 那么有 = ( − ) a×b b − a a b 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即a <b， a×b
(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 1 ， 形式的，我们有： n × (n + 1) × (n + 2) n × (n + 1) × (n + 2) × (n + 3)
【巩固】 1 +
2 2 2 = 1+ + + + 2 × 3 3× 4 7×8
1 1 1 1 1 1 1 = 2 + − + − + + − 7 8 2 2 3 3 4 1 7 =2 × 1 − = 8 4
【答案】
7 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ − − − − − − − − 2 6 12 20 30 42 56 72 90 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2006 年，第 4 届，走美杯，6 年级，决赛 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 =− ( + + + + + + + ) 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7 7 × 8 8 × 9 9 × 10
【巩固】
1 1 1 5 = × − = 3 2 17 34 5 【答案】 34
1-2-2-1.分数裂项.题库
教师版
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1 1 1 1 + + ++ 1× 3 × 5 3 × 5 × 7 5 × 7 × 9 2001 × 2003 × 2005 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2005 年，第 10 届，华杯赛，总决赛，二试
【巩固】 计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 【例 4】 计算： ( + + + + + + + ) × 128 = 8 24 48 80 120 168 224 288 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，101 中学 1 1 1 1 【解析】 原式 =（ + + + + ） × 128 2× 4 4×6 6×8 16 × 18 1 1 1 1 1 1 1 = × （ − + − ++ − ） × 128 2 2 4 4 6 16 18 1 1 = （ − ） × 64 2 18 4 = 28 9 4 【答案】 28 9 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 + + _______ + + + + + = 6 12 20 30 42 56 72 90 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，第六届，走美杯，初赛，六年级 【解析】 根据裂项性质进行拆分为：
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1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 6 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7 7 × 8 8 × 9 9 × 10 1 1 2 = − = 2 10 5 2 【答案】 5 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 3 6 10 15 21 28 【考点】分数裂项 【难度】6 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，第 6 届，走美杯，6 年级，决赛 1 1 1 1 【解析】 原式 = 1+ + + + + 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
1 1 1 1 + + + + 【巩固】 计算： 25 × = 23 × 25 1× 3 3 × 5 5 × 7 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2009 年，迎春杯，初赛，六年级 1 1 1 1 1 1 1 1 25 24 − = 25 × × 1 − = = 12 【解析】 原式 = 25 × × 1 − + − + + × 2 3 3 5 23 25 2 25 2 25 【答案】 12
1 1 1 1 = [ − ] n × (n + 1) × (n + 2) 2 n × (n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 1 1 = [ − ] n × (n + 1) × (n + 2) × (n + 3) 3 n × (n + 1) × (n + 2) (n + 1) × (n + 2) × (n + 3)
【巩固】 计算：
=
1 1 1 1 1 1 1 − ( − + − ++ − ) 2 2 3 3 4 9 10
1 1 1 1 = −( − ) = 2 2 10 10
【答案】
1 10
1 1 1 1 1 。 + + + + = 10 40 88 154 238 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 【解析】 原式 = + + + + 2 × 5 5 × 8 8 × 11 11 × 14 14 × 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = × − + − + − + − + − 3 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、 “裂和”型运算：
【巩固】
1 1 1 1 + + + + 1 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + + 100 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单 的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的 1 1 2 1 1 2 代入有 ， ，……， = = = = 1 (1 + 1) × 1 1 × 2 1 + 2 (1 + 2) × 2 2 × 3 2 2 2 2 2 2 1 200 99 原式 = + + + + = 2 × (1 − )= = 1 1× 2 2 × 3 3 × 4 100 × 101 101 101 101 99 【答案】 1 101 1 1 1 1 【例 3】 + + + + = 1× 3 3 × 5 5 × 7 99 × 101 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【巩固】
3 2 4 5 6 7 1 + + + + + + = 2 × 5 5 × 7 7 × 11 11 × 16 16 × 22 22 × 29 29 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 = − + − + − + − + − + − + = 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2 1 【答案】 2
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
1-2-2-1.分数裂项.题库
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a 2 + b2 a2 b2 a b a+b a b 1 1 = + = + （2） = + = + a×b a×b a×b b a a×b a×b a×b b a 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的， 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 5】 计算：
= 【解析】 原式
1 1 1 1 1 1 1 − − − + + + 4 1 × 3 3 × 5 3 × 5 5 × 7 2001 × 2003 2003 × 2005
1 1 1 1004003 = × − = 4 1 × 3 2003 × 2005 12048045
251 251 251 251 251 + + + + + 4 × 8 8 × 12 12 × 16 2000 × 2004 2004 × 2008 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，台湾，小学数学竞赛，初赛 251 1 1 1 1 1 × + + + + + 【解析】 原式 = 16 1 × 2 2 × 3 3 × 4 500 × 501 501 × 502 251 1 1 1 1 1 1 1 = × 1 − + − + − + + − 16 2 2 3 3 4 501 502 251 501 501 21 = × = = 15 16 502 32 32 21 【答案】 15 32
【巩固】
2 2 2 2 + + + + = 10 × 9 9 × 8 5× 4 4×3 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 2× − = 【解析】 原式 = 2 × − + − + + − + − = 4 5 3 4 3 10 15 9 10 8 9 7 【答案】 15
（1）
例题精讲
1 1 1 1 1 。 + + + + = 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 1 1 1 1 1 1 1 1 5 【解析】 原式 = − + − + + − = − = 1 2 2 3 5 6 1 6 6 1 1 1 1 ，计算过程就要变为： 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： + + + 1× 3 3 × 5 5 × 7 7 × 9 1 1 1 1 1 1 1 + + + = − × ． 1× 3 3 × 5 5 × 7 7 × 9 1 9 2 5 【答案】 6