2018届高考数学(理)解题方法指导：快稳细活填空稳夺(含答案)

快稳细活 填空稳夺
一、直接法
直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等得出正确的结论．
【例1】 (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4
5，cos C ＝
5
13
，a ＝1，则b ＝________. 【答案】21
13
【解析】因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝5
13，
所以sin A ＝35，sin C ＝12
13
，
所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝35×513＋45×1213＝63
65.
又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝asin B sin A ＝6365×53＝21
13.
【对点训练】
1．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x ＋a ＋x 2
)为偶函数，则a ＝________. 【答案】1
【解析】∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x ＋a ＋x 2
)－xln(x ＋a ＋x 2
)＝0恒成立，∴xln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1. 2．(2014·全国卷Ⅰ)(x －y)(x ＋y)8
的展开式中x 2y 7
的系数为________．(用数字填写答案) 【答案】－20
【解析】(x ＋y)8
中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r
，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 6
8＝8－28＝－20.
二、特殊值法
当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替即可得到结论．
【例2】 (2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E
上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E 的离心率是________．
【答案】2
【解析】法一：(特殊值法)利用双曲线的性质，设特殊值求解． 如图，由题意知|AB|＝2b
2
a
，|BC|＝2c ，
又2|AB|＝3|BC|，∴设|AB|＝6，|BC|＝4，则|AF 1|＝3，|F 1F 2|＝4， ∴|AF 2|＝5.由双曲线的定义可知，a ＝1，c ＝2，∴e ＝c
a ＝2.故填2.
法二：(直接法)利用双曲线的性质，建立关于a ，b ，c 的等式求解． 如图，由题意知|AB|＝2b
2
a ，|BC|＝2C ．
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×2b 2
a
＝3×2c，即2b 2
＝3ac ，
∴2(c 2
－a 2
)＝3ac ，两边同除以a 2
并整理得2e 2
－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 【对点训练】
(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.
【答案】1
【解析】法一：(特殊值法)由题意知a 1，a 3，a 5成等差数列，a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5成等比数列，所以观察可设a 1＝5，a 3＝3，a 5＝1，所以q ＝1.故填1.
法二：(直接法)因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2
＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2
＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.
三、数形结合法
根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．
【例3】 (2016· 全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.
【答案】4
【解析】由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|
m 2
＋1. 由|AB|＝23得⎝ ⎛⎭
⎪⎫3m －3m 2
＋12
＋(3)2＝12， 解得m ＝－
33
. 又直线l 的斜率为－m ＝
33
， 所以直线l 的倾斜角α＝π
6
.
画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π
6
.
在Rt △CDE
中，可得|CD|＝|AB|cos π6
＝23×2
3＝4.
【对点训练】
1．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，
2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．
【答案】4
【解析】画出可行域(如图所示)．
∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z.
∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －2＝0，
x －2y ＋1＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，即B(1,1)，
∴z max ＝3×1＋1＝4.
2．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值范围是________．
【答案】(－1,3)
【解析】∵f(x)是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，
＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x －1)>0，得－2<x －1<2，即－
1<x<3.
四、等价转化法
通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而得到正确的结果． 【例4】 (2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．
【答案】64
【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q(a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q
2
＝10，∴a 1＝8.
故a
1a 2…a n ＝a n 1q
1＋2＋…＋(n －1)
＝23n
·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12－2
＝23n －n 2
2＋n 2＝2－n 2
2＋7
2
n.
记t ＝－n 2
2＋7n 2＝－12(n 2－7n)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋49
8
，
结合n ∈N *
可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t
为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26
＝64. 【对点训练】
1．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f(2
|a －1|
)＞f(－2)，则a 的取值范围是________．
【答案】⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32 【解析】∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f(2)， ∴f(2
|a －1|
)＞f(2)，∴2
|a －1|
＜2＝21
2
，
∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜3
2
.
2．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y≤0，
x ＋y －4≤0，则y
x
的最大值为________． 【答案】3
【解析】画出可行域如图阴影部分所示，
∵y
x
表示过点(x ，y)与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y)在点A 处时y
x
最大．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝3.
∴A(1,3)．
∴y
x 的最大值为3. 五、构造法
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识和解决问题． 【例5】 (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *
，则a 1＝________，S 5＝________.
【答案】1 121
【解析】∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝
⎛
⎭⎪⎫S n ＋12，
∴数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
S n ＋12是公比为3的等比数列，
∴S 2＋
1
2S 1＋
12
＝3.
又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34
＝2432，
∴S 5＝121. 【对点训练】
(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e ，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b 的最大值是________．
【答案】1
2
【解析】由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b
|a ＋b|，
则|a·e|＋|b·e|＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪＋|a ＋b|
＋⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪＋|a ＋b|
≥⎪⎪⎪⎪
⎪⎪＋|a ＋b|＋＋|a ＋b|
＝⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪＋
＋
|a ＋b|
＝|a ＋b|. ∵|a·e|＋|b·e|≤6，∴|a ＋b|≤6， ∴(a ＋b)2
≤6，∴|a|2
＋|b|2
＋2a·b≤6. ∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6， ∴a·b≤12，∴a·b 的最大值为1
2
.
六、分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论．
【例6】(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
________．
【答案】1和3
【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.
【对点训练】
(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
【答案】A
【解析】由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．。